流體力學(xué)第六章相似原理與量綱分析

流體力學(xué)第六章相似原理與量綱分析第1頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)

因次(量綱)分析

一、量綱和單位

單位（unit）：量度各種物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)量，稱(chēng)單位。如長(zhǎng)度單位為m或cm等。——“量”的表征。

量綱（dimension）：是指撇開(kāi)單位的大小后，表征物理量的性質(zhì)和類(lèi)別。如長(zhǎng)度量綱為[L]?！百|(zhì)”的表征。

基本量綱（fundamentaldimension）：具有獨(dú)立性的不能由其他量量綱綱推導(dǎo)出來(lái)的量綱叫做基本量綱。一般取長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì)量，即[L-M-T]

誘導(dǎo)量綱（deriveddimension）:是指由基本量綱導(dǎo)出的量綱。

量綱公式:

幾何學(xué)量綱：α≠0,β=0,γ=0，

分類(lèi)運(yùn)動(dòng)學(xué)量綱：α≠0，β≠0，γ=0

動(dòng)力學(xué)量綱：α≠0，β≠0，γ≠0

無(wú)量綱數(shù)（純數(shù)，如相似準(zhǔn)數(shù)）：α=0,β=0,γ=0，即[x]=[1]。

特點(diǎn)：（1）無(wú)量綱單位，它的大小與所選單位無(wú)關(guān)；

（2）具有客觀性；

（3）在超越函數(shù)（對(duì)數(shù)、指數(shù)、三角函數(shù)）運(yùn)算中，均應(yīng)用無(wú)量綱數(shù).

第2頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、量綱和諧原理

量綱和諧原理（theoryofdimensionalhomogeneity）：

凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程，其各項(xiàng)的量綱必須是一致的，即只有方程兩邊量綱相同，方程才能成立。這稱(chēng)為量綱和諧原理。

量綱和諧原理的重要性：

a.一個(gè)方程在量綱上應(yīng)是和諧的，所以可用來(lái)檢驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)公式的正確性和完整性。

b.量綱和諧原理可用來(lái)確定公式中物理量的指數(shù)。

c.可用來(lái)建立物理方程式的結(jié)構(gòu)形式。

第3頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

物理過(guò)程的有量綱表達(dá)形式為，其中m個(gè)物理量的量綱被選為基本量綱，余下n-m個(gè)物理量可各自與這m個(gè)物理量組合成無(wú)量綱量，

定理的結(jié)論是：物理過(guò)程的無(wú)量綱表達(dá)形式為

1.

定理

物理過(guò)程涉及n個(gè)物理量，其中有m個(gè)物理量的量綱是互相獨(dú)立的，選這些量綱為基本量綱，可組成n-m個(gè)無(wú)量綱量，物理過(guò)程則可由這n-m個(gè)無(wú)量綱量的關(guān)系式描述。否則就違反了量綱和諧原理。第4頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例初速為零的自由落體運(yùn)動(dòng)位移ss

～g,tg,t選為基本量綱三個(gè)量只能組成一個(gè)無(wú)量綱量

s/gt2初速為零的自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律s/gt2=C做一次實(shí)驗(yàn)測(cè)得C=1/2

，就不用再做類(lèi)似實(shí)驗(yàn)，包括在月球上做實(shí)驗(yàn)。第5頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

π定理的解題步驟：

（1）確定關(guān)系式：根據(jù)對(duì)所研究的現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)，確定影響這個(gè)現(xiàn)象的各個(gè)物理量及其關(guān)系式:

（2）確定基本量：從n個(gè)物理量中選取所包含的m個(gè)基本物理量作為基本量綱的代表，一般取m=3。在管流中，一般選d，v，ρ三個(gè)作基本變量，而在明渠流中，則常選用H，v，ρ。

（3）確定π數(shù)的個(gè)數(shù)N（π）=（n-m），并寫(xiě)出其余物理量與基本物理量組成的π表達(dá)式

（4）確定無(wú)量綱π參數(shù)：由量綱和諧原理解聯(lián)立指數(shù)方程，求出各π項(xiàng)的指數(shù)x，y，z，從而定出各無(wú)量綱π參數(shù).（5）寫(xiě)出描述現(xiàn)象的關(guān)系式

或顯解一個(gè)π參數(shù)，如：

或求得一個(gè)因變量的表達(dá)式

第6頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

選擇基本量時(shí)的注意原則：

1）基本變量與基本量綱相對(duì)應(yīng)。即若基本量綱（M，L，T）為三個(gè)，那么基本變量也選擇三個(gè)；倘若基本量綱只出現(xiàn)兩個(gè)，則基本變量同樣只須選擇兩個(gè)。

2）選擇基本變量時(shí)，應(yīng)選擇重要的變量。換句話說(shuō)，不要選擇次要的變量作為基本變量，否則次要的變量在大多數(shù)項(xiàng)中出現(xiàn)，往往使問(wèn)題復(fù)雜化，甚至要重新求解。

3）不能有任何兩個(gè)基本變量的因次是完全一樣的，換言之，基本變量應(yīng)在每組量綱中只能選擇一個(gè)。

第7頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

2.雷利法

雷利法是量綱和諧原理的直接應(yīng)用，

雷利法的計(jì)算步驟：

1.確定與所研究的物理現(xiàn)象有關(guān)的n個(gè)物理量；

2.寫(xiě)出各物理量之間的指數(shù)乘積的形式，如：FD=kDx

Uyρz

μa

3.根據(jù)量綱和諧原理，即等式兩端的量綱應(yīng)該相同，確定物理量的指數(shù)x,y,z,a

，代入指數(shù)方程式即得各物理量之間的關(guān)系式。

應(yīng)用范圍：一般情況下，要求相關(guān)變量未知數(shù)n小于等于4~5個(gè).第8頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)

相似的基本概念

原型：天然水流和實(shí)際建筑物稱(chēng)為原型。

模型：通常把原型（實(shí)物）按一定比例關(guān)系縮?。ɑ蚍糯螅┑拇砦?，稱(chēng)為模型。

水力學(xué)模型試驗(yàn)：是依據(jù)相似原理把水工建筑物或其它建筑物的原型按一定比例縮小制成模型，模擬與天然情況相似的水流進(jìn)行觀測(cè)和分析研究，然后將模型試驗(yàn)的成果換算和應(yīng)用到原型中，分析判斷原型的情況。

水力學(xué)模型試驗(yàn)的目的：利用模型水流來(lái)模擬和研究原型水流問(wèn)題。

關(guān)鍵問(wèn)題：模型水流和原型水流保持流動(dòng)相似。

流動(dòng)相似：兩個(gè)流動(dòng)的相應(yīng)點(diǎn)上的同名物理量（如速度、壓強(qiáng)、各種作用力等）具有各自的固定比例關(guān)系，則這兩個(gè)流動(dòng)就是相似的。

第9頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型和原型保證流動(dòng)相似，應(yīng)滿足：

幾何相似

運(yùn)動(dòng)相似

動(dòng)力相似

初始條件和邊界條件相似

1.幾何相似

幾何相似：指原型和模型兩個(gè)流場(chǎng)的幾何形狀相似，即原型和模型及其流動(dòng)所有相應(yīng)的線性變量的比值均相等。

長(zhǎng)度比尺：

（6-1）

面積比尺：

（6-2）

體積比尺：

（6-3）

第10頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.

運(yùn)動(dòng)相似

運(yùn)動(dòng)相似：是指流體運(yùn)動(dòng)的速度場(chǎng)相似，也即兩流場(chǎng)各相應(yīng)點(diǎn)（包括邊界上各點(diǎn)）的速度u及加速度a方向相同，且大小各具有同一比值。

速度比尺：

（6-4）

加速度比尺：

（6-5）

3.動(dòng)力相似

動(dòng)力相似：是指兩流動(dòng)各相應(yīng)點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)所受的同名力方向相同，其大小比值相等。

力的比尺：

（6-6）第11頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.初始條件和邊界條件的相似

初始條件：適用于非恒定流。

邊界條件：有幾何、運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力三個(gè)方面的因素。如固體邊界上的法線流速為零，自由液面上的壓強(qiáng)為大氣壓強(qiáng)等

。

流動(dòng)相似的含義：

幾何相似是運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似的前提與依據(jù)；

動(dòng)力相似是決定二個(gè)液流運(yùn)動(dòng)相似的主導(dǎo)因素；

運(yùn)動(dòng)相似是幾何相似和動(dòng)力相似的表現(xiàn)；

凡流動(dòng)相似的流動(dòng)，必是幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似的流動(dòng)。

第12頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)

相似準(zhǔn)則

動(dòng)力相似準(zhǔn)則：在兩相似的流動(dòng)中，各種力之間保持固定不變的比例關(guān)系。

流體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變是慣性力和其他各種作用力相互作用的結(jié)果。因此，各種作用力之間的比例關(guān)系應(yīng)以慣性力為一方來(lái)相互比較。

則

根據(jù)動(dòng)力相似有

λF=λI

第13頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月即

（6-7）

若稱(chēng)

牛頓數(shù)，即

（6-8）

所以兩個(gè)相似流動(dòng)的牛頓數(shù)應(yīng)相等，這是流動(dòng)相似的重要標(biāo)志和準(zhǔn)則，稱(chēng)為牛頓數(shù)相似準(zhǔn)則。

完全的動(dòng)力相似，要求慣性力與其他力比值都相等，但實(shí)際上不可能達(dá)到，所以常選一個(gè)對(duì)流動(dòng)起決定作用的力給予滿足。

第14頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.雷諾（粘滯力）準(zhǔn)則

（6-9）

式中：L——為流場(chǎng)中的特征線性長(zhǎng)度。

Re——雷諾數(shù)

當(dāng)粘滯力起主要作用時(shí)，動(dòng)力相似有：

（6-10）

適用范圍：主要受水流阻力即粘滯力作用的流體流動(dòng)，凡是有壓流動(dòng)，重力不影響流速分布，主要受粘滯力的作用，這類(lèi)液流相似要求雷諾數(shù)相似。另外，處于水下較深的運(yùn)動(dòng)潛體，在不至于使水面產(chǎn)生波浪的情況下，也是以雷諾數(shù)相等保證液流動(dòng)力相似。如層流狀態(tài)下的管道、隧洞中的有壓流動(dòng)和潛體繞流問(wèn)題等。

第15頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.弗汝德（重力）準(zhǔn)則

（6-11）

一般取

（6-12）

當(dāng)重力起主要作用時(shí)，動(dòng)力相似有：

（6-13）

適用范圍：凡有自由水面并且允許水面上下自由變的各種流動(dòng)（重力起主要作用的流動(dòng)），如堰壩溢流、孔口出流、明槽流動(dòng)、紊流阻力平方區(qū)的有壓管流與隧洞流動(dòng)等。第16頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第17頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月.歐拉準(zhǔn)則

流體流動(dòng)以動(dòng)水總壓力為主要作用力的情況：

（6-14）

當(dāng)壓力起主要作用時(shí)，動(dòng)力相似有：

一般，兩液流的雷諾數(shù)相等，歐拉數(shù)也相等；兩液流的弗勞德數(shù)相等，歐拉數(shù)也相等。只有出現(xiàn)負(fù)壓或存在氣蝕情況的液體，才需考慮歐拉數(shù)相等來(lái)保證液流相似。

4.韋伯準(zhǔn)則

表面張力為主導(dǎo)作用力時(shí)的相似準(zhǔn)則：

（6-16）

當(dāng)表面張力起主要作用時(shí)，動(dòng)力相似有：

（6-17）（6-15）

第18頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月5.馬赫數(shù)

彈性力為主導(dǎo)作用力時(shí)的相似準(zhǔn)則（例水擊現(xiàn)象）：

柯西數(shù)

（6-18）

令

式中：

——流體聲速

——彈性模量

第19頁(yè)，課件共23頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

當(dāng)彈性力起主要作用時(shí)，如水擊，空氣動(dòng)力學(xué)中的亞音速或超音速運(yùn)動(dòng)等，動(dòng)力相似有：

（6-20）

6.斯特哈羅數(shù)（時(shí)間準(zhǔn)則）

斯特哈羅數(shù)：非恒定流體流動(dòng)中，當(dāng)?shù)丶铀俣?，這個(gè)加速度所產(chǎn)生的慣性作用與遷移加速度的慣性作用之比。

（6-21）

f——振動(dòng)頻率

對(duì)非恒定流，表明有變力作用，動(dòng)力相似有：

（6