動(dòng)態(tài)微分方程模型

動(dòng)態(tài)微分方程模型動(dòng)態(tài)微分方程模型

傳染病模型

(四個(gè)模型)動(dòng)態(tài)微分方程模型問(wèn)題提出

本世紀(jì)初，瘟疫常在世界上某地流行，隨著人類文明的不斷進(jìn)步，很多疾病，諸如天花、霍亂已經(jīng)得到有效的控制．然而，即使在今天，一些貧窮的發(fā)展中國(guó)家，仍出現(xiàn)傳染病流行的現(xiàn)象,醫(yī)療衛(wèi)生部門的官員與專家所關(guān)注的問(wèn)題是：（1）如何描述傳染病的傳播過(guò)程（2）如何分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律（3）如何預(yù)報(bào)傳染病高潮的到來(lái)．動(dòng)態(tài)微分方程模型問(wèn)題分析

不同類型傳染病的傳播過(guò)程有不同的特點(diǎn)。故不可能從醫(yī)學(xué)的角度對(duì)各種傳染病的傳播過(guò)程一一進(jìn)行分析，而是按一般的傳播機(jī)理建立模型．由于傳染病在傳播的過(guò)程涉及因素較多，在分析問(wèn)題的過(guò)程中，不可能通過(guò)一次假設(shè)建立完善的數(shù)學(xué)模型．思路是：先做出最簡(jiǎn)單的假設(shè)，對(duì)得出的結(jié)果進(jìn)行分析，針對(duì)結(jié)果中的不合理之處，逐步修改假設(shè)，最終得出較好的模型。動(dòng)態(tài)微分方程模型模型一模型假設(shè)：（1）一人得病后，久治不愈，人在傳染期內(nèi)不會(huì)死亡。（2）單位時(shí)間內(nèi)每個(gè)病人傳染人數(shù)為常數(shù)k。為什么假設(shè)不會(huì)死亡？（因?yàn)樗劳龊蟊悴粫?huì)再傳播疾病，因而可認(rèn)為此時(shí)已退出系統(tǒng)）動(dòng)態(tài)微分方程模型模型建立：I（t）——表示t時(shí)刻病人的數(shù)量，時(shí)間：天則：I（t+Δt）—I（t）＝k0I（t）Δt于是模型如下：模型的解：動(dòng)態(tài)微分方程模型舉個(gè)實(shí)例最初只有1個(gè)病人，1個(gè)病人一天可傳染1個(gè)人動(dòng)態(tài)微分方程模型模型的缺點(diǎn)問(wèn)題：隨著時(shí)間的推移，病人的數(shù)目將無(wú)限增加，這一點(diǎn)與實(shí)際情況不符．原因：當(dāng)不考慮傳染病期間的出生、死亡和遷移時(shí)，一個(gè)地區(qū)的總?cè)藬?shù)可視為常數(shù)。因此

k0應(yīng)為時(shí)間t的函數(shù)。在傳染病流行初期，

k0較大，隨著病人的增多，健康人數(shù)減少，被傳染的機(jī)會(huì)也減少，于是k0將變小。模型修改的關(guān)鍵：k0的變化規(guī)律動(dòng)態(tài)微分方程模型模型二(SI模型)設(shè)t時(shí)刻健康人數(shù)為S(t)．病人數(shù)為I(t)模型假設(shè)：（1）總?cè)藬?shù)為n不變，既不考慮生死，也不考慮遷移，I(t)十S(t)＝n（2）一人得病后，久治不愈，且在傳染期內(nèi)不會(huì)死亡。（3）一個(gè)病人在單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)與當(dāng)時(shí)健康的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k（稱之為傳染系數(shù)）動(dòng)態(tài)微分方程模型模型改進(jìn)方程的解：動(dòng)態(tài)微分方程模型對(duì)模型作進(jìn)一步分析傳染病人數(shù)與時(shí)間t關(guān)系傳染病人數(shù)的變化率與時(shí)間t的關(guān)系

染病人數(shù)由開(kāi)始到高峰并逐漸達(dá)到穩(wěn)定

增長(zhǎng)速度由低增至最高后降落下來(lái)動(dòng)態(tài)微分方程模型疾病的傳染高峰期此時(shí)計(jì)算高峰期得：意義：1、當(dāng)傳染系數(shù)k或n增大時(shí)，t0隨之減少，表示傳染高峰隨著傳染系數(shù)與總?cè)藬?shù)的增加而更快的來(lái)臨，這與實(shí)際情況比較符合。2、令λ=kn，表示每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)，稱日接觸率。t0與λ成反比。λ表示該地區(qū)的衛(wèi)生水平，λ越小衛(wèi)生水平越高。故改善衛(wèi)生水平可推遲傳染病高潮的來(lái)臨。動(dòng)態(tài)微分方程模型模型的缺點(diǎn)缺點(diǎn)：當(dāng)t→∞時(shí)，I(t)→n，這表示所有的人最終都將成為病人，這一點(diǎn)與實(shí)際情況不符合原因：這是由假設(shè)〔1)所導(dǎo)致，沒(méi)有考慮病人可以治愈及病人病發(fā)身亡的情況。思考題：考慮有病人病發(fā)身亡的情況，再對(duì)模型進(jìn)行修改。動(dòng)態(tài)微分方程模型模型三(SIS模型)

有些傳染?。ㄈ缌〖?愈后免疫力很低，還有可能再次被傳染而成為病人。模型假設(shè)：（1）健康者和病人在總?cè)藬?shù)中所占的比例分別為s(t)、i(t)，則：s(t)+i(t)＝1（2）一個(gè)病人在單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)與當(dāng)時(shí)健康人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k（3）病人每天治愈的人數(shù)與病人總數(shù)成正比，比例系數(shù)為μ(稱日治愈率)，病人治愈后成為仍可被感染的健康者，稱1/μ為傳染病的平均傳染期(如病人數(shù)保持10人，每天治愈2人，μ

＝1/5，則每位病人平均生病時(shí)間為1/μ

＝5天)。動(dòng)態(tài)微分方程模型模型的建立假設(shè)2、3得：將假設(shè)1代入，可得模型：動(dòng)態(tài)微分方程模型模型的解：動(dòng)態(tài)微分方程模型閾值σ=λ/μ的意義

一個(gè)病人在平均傳染期內(nèi)傳染的人數(shù)與當(dāng)時(shí)健康的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為σ動(dòng)態(tài)微分方程模型模型的意義（t,i(t)）圖（1）當(dāng)σ≤1時(shí)，指?jìng)魅酒趦?nèi)被傳染的人數(shù)不超過(guò)當(dāng)時(shí)健康的人數(shù)。病人在總?cè)藬?shù)中所占的比例i(t)越來(lái)越小，最終趨于零。（2）當(dāng)σ＞l時(shí)，i(t)最終以1-1/σ為極限；（3）當(dāng)σ增大時(shí)，i(∞)也增大，是因?yàn)殡S著傳染期內(nèi)被傳染人數(shù)占當(dāng)時(shí)健康人數(shù)的比例的增加，當(dāng)時(shí)的病人數(shù)所占比例也隨之上升動(dòng)態(tài)微分方程模型模型四（SIR模型）

某些傳染病如麻疹等，治愈后均有很強(qiáng)的免疫力，所以病愈的人既非健康人，也非病人。模型假設(shè)：（1）人群分為健康者、病人、病愈免疫者三類，這三類人在總?cè)藬?shù)中所占的比例分別為s(t)，

i(t)，r(t)，則有s(t)+i(t)+r(t)＝1。（2）單位時(shí)間內(nèi)，一個(gè)病人傳染的人數(shù)與當(dāng)時(shí)健康者人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k（3）在單位時(shí)間內(nèi)，病愈免疫的人數(shù)與當(dāng)時(shí)病人人數(shù)成正比，比例系數(shù)為μ動(dòng)態(tài)微分方程模型模型的建立從此方程無(wú)法求出i(t)與s(t)的解析解。我們可以從相軌線作定性分析動(dòng)態(tài)微分方程模型相軌線相軌線（s，i）圖中箭頭表示了隨著時(shí)間t的增加s(t)和i(t)的變化趨向動(dòng)態(tài)微分方程模型相軌線分析結(jié)果1、不論初始條件s0、i0如何．病人終將消失。2、最終未被感染的健康者的比例是s∞，圖中可看出是在(0，1/σ)內(nèi)的單根。3、若s0>1/σ，則i(t)先增加，當(dāng)s＝1/σ時(shí)，i(t)達(dá)到最大。4、若s0≤1/σ，則i(t)單調(diào)減小至零動(dòng)態(tài)微分方程模型閾值1/σ的意義1、減小傳染期接觸數(shù)σ，即提高閾值l/σ，使得

s0≤1/σ(即σ≤1/s0)，傳染病就不會(huì)蔓延。2、衛(wèi)生、醫(yī)療水平：σ=λ/μ3、交換數(shù)的意義：σs=λs?1/μ是傳染期內(nèi)一個(gè)病人傳染的健康者的平均人數(shù)，稱為交換數(shù)，其含義是一個(gè)病人被σs個(gè)健康者交換。4、σ的估計(jì)動(dòng)態(tài)微分方程模型模型驗(yàn)證——印度孟買的一個(gè)例子

圖中，實(shí)際數(shù)據(jù)用圓點(diǎn)表示．可以看出，理論曲線與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合得相當(dāng)不錯(cuò)。動(dòng)態(tài)微分方程模型SIR模型的兩個(gè)應(yīng)用被傳染比例的估計(jì)群體免疫和預(yù)防動(dòng)態(tài)微分方程模型被傳染比例的估計(jì)假定很小，接近于1其中這個(gè)結(jié)果表明，被傳染人數(shù)比例約為的2倍，當(dāng)該地區(qū)的衛(wèi)生和醫(yī)療水平不變，即不變時(shí)，這個(gè)比例就不會(huì)改變。而當(dāng)閾值提高時(shí)，減小，于是這個(gè)比例就會(huì)降低。動(dòng)態(tài)微分方程模型群體免疫和預(yù)防

根據(jù)對(duì)模型的分析，當(dāng)時(shí)，傳染病不會(huì)蔓延，因而制止傳染病蔓延的途徑有兩條

1．提高衛(wèi)生和醫(yī)療水平（使閾值變大）；

2．通過(guò)預(yù)防接種使群體得到免疫（降低）只要通過(guò)群體免疫使初始時(shí)刻的移出者比例（即免疫者比例）滿足（＊）式，就可以制止傳染病的蔓延．（＊）動(dòng)態(tài)微分方程模型課后任務(wù)

請(qǐng)各位同學(xué)進(jìn)行一些調(diào)查，根據(jù)模型算一算在廣州，非典型肺炎爆發(fā)的高潮大概是在何時(shí)，與實(shí)際情況相吻合嗎？根據(jù)模型請(qǐng)給出你的建議。動(dòng)態(tài)微分方程模型思考題1

設(shè)某城市共有n+1人，其中一人出于某種目的編造了一個(gè)謠言。該城市具有初中以上文化程度的人占總?cè)藬?shù)的一半，這些人只有1/4相信這一謠言，而其他人約有1/3會(huì)相信。又設(shè)凡相信此謠言的人每人在單位時(shí)間內(nèi)傳播的平均人數(shù)正比于當(dāng)時(shí)尚未聽(tīng)說(shuō)此謠言的人數(shù)，而不相信此謠言的人不傳播謠言。試建立一個(gè)反映謠傳情況的微分方程模型。動(dòng)態(tài)微分方程模型思考題2

汽車停車距離可分為兩段：一段為發(fā)現(xiàn)情況到開(kāi)始制動(dòng)這段時(shí)間里駛過(guò)的距離DT，這段時(shí)間為反應(yīng)時(shí)間；另一段則為制動(dòng)時(shí)間駛過(guò)的距離DR，現(xiàn)考核某司機(jī)，考核結(jié)果如下：

行駛速度DTDR

36公里/小時(shí)3米4．5米

50公里/小時(shí)5米12．5米

70公里/小時(shí)7米24．5米（1）作出停車距離D的經(jīng)驗(yàn)公式（2）設(shè)制動(dòng)力正比于車重，建立理論分析模型并求出D的公式。動(dòng)態(tài)微分方程模型思考題3

本世紀(jì)初，在倫敦曾觀察到一種現(xiàn)象，大約每?jī)赡臧l(fā)生—次麻疹傳染病。生物數(shù)學(xué)家H·E索珀試圖解釋這種現(xiàn)象，他認(rèn)為易受傳染者的人數(shù)因人口中新添新的成員而不斷得到補(bǔ)充。試建立數(shù)學(xué)模型。動(dòng)態(tài)微分方程模型思考題4

房屋管理部門想在房頂?shù)倪吘壈惭b一個(gè)檐槽，其目的是為了雨天出入方便。簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)，從屋脊到屋檐的房頂可以看成是一個(gè)12米長(zhǎng)，6米寬的矩形平面，房頂與水平方向的傾斜角