北師大版八年級數(shù)學(xué)下期末專題復(fù)習(xí)

北師大版八年級數(shù)學(xué)下期末專題復(fù)習(xí)八年級（下）期末復(fù)習(xí)資料一、三角形考點一、特殊三角形1、已知一等腰三角形的一條邊長為6，另一條邊長為3，則此等腰三角形的周長是（）。A．9B．12C．15D．12或152.已知等腰三角形的底角為15°，腰上的高為16，則腰長為__________。3、已知等腰三角形的一個角是80度，則它的另兩個角分別是________。4、已知等腰三角形的頂角為120°，腰長為4，則底邊長為__________?？键c二、三角形的特殊線段一、垂直平分線1、如圖1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，△BCE的周長等于50，求BC的長。2、如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=1200，EF垂直平分AB，EF=2，求AB與BC的長。二、角平分線1、如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A的平分線交BC于E，DE⊥AB于D，BC=8，AC=6，AB=10，則△BDE的周長為_________。2、如右下圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，則AE+DE等于__________。3、如右圖，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于點D，若BD=CD，則證明AD平分∠BAC?？键c三、三角形全等1、如下圖，已知∠ABC=∠ADC=90°，E是AC上一點，AB=AD，則證明EB=ED。2、如右圖，已知△ABC和△BDE都是等邊三角形，則證明AE=CD。拓展與提高1.如圖24，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于點N，交BC的ABC延長線于點M，若∠A=40°。（1）求∠NMB的度數(shù)；（2）如果將（1）中∠A的度數(shù)改為70°，其余條件不變，再求∠NMB的度數(shù)；（3）發(fā)現(xiàn)規(guī)律性并證明之；（4）若將（1）中的∠A改為鈍角，是否需要修改規(guī)律性的認(rèn)識？2.如圖，在△ABC中，AB=AC、D是AB上一點，E是AC延長線上一點，且CE=BD，連結(jié)DE交BC于F。（1）猜想DF與EF的大小關(guān)系；（2）證明猜想。1.題目：旋轉(zhuǎn)等腰直角三角形的證明給定等腰直角三角形ABC和DEF，其中∠BAC=∠EDF=90°，且E為BC的中點。將DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，DE與AB交于點P，EF與CA交于點Q。若AP=AQ且Q在AC上，證明△BPE≌△CQE。證明：由于△ABC和△DEF全等，所以AB=DE，AC=DF。又因為E為BC的中點，所以BE=EC，且∠BEC=∠DEF。因此，△BEC和△DEF全等，可得∠BCE=∠DFE。旋轉(zhuǎn)DEF得到DEF'，使得EF'與CA重合，且F'在AC上。連接BF'和CF'，則BF'=CF'，且∠BF'C=∠BEC=∠DEF。因此，△BF'C和△DEF全等，可得BC=DF'。由于AP=AQ，且Q在AC上，所以AQ=QC=DF'/2。因此，△BCF'是等腰直角三角形，且BF'=BC=DF'。又因為BF'=CF'，所以△BFC'是等腰三角形。因此，∠F'BC=∠F'CB。由于∠BCE=∠F'CB，且∠BEC=∠F'BC，所以△BCE和△F'CB全等。因此，BE=CF'，且∠BCE=∠F'CB。因此，△BPE和△CQE全等，證畢。2.題目：點到原點的最大距離在平面直角坐標(biāo)系中，給定直角三角形ABC，其中∠C=90°，AC=2，BC=1，且A、C分別在x軸、y軸的正半軸上滑動。求點B到原點的最大距離。解法：設(shè)點B的坐標(biāo)為(x,y)，則由勾股定理可得x2+y2=BC2=1。又因為A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，所以B在第一象限。因此，x>0，y>0。由于點B到原點的距離為√(x2+y2)，所以要求√(x2+y2)的最大值。由坐標(biāo)系的對稱性可知，當(dāng)x=y時，點B到原點的距離最大。因此，只需求出x=y時的距離即可。由勾股定理可得2x2=BC2=1，因此x=√(1/2)。因此，當(dāng)x=y=√(1/2)時，點B到原點的距離最大，為√2/2。3.題目：三角形中垂線的長度在△ABC中，AB=6，AC=8，且AB的中垂線DE交AC于F，垂足為D。求△BCF的周長。解法：由勾股定理可得BC2=AC2-AB2=64-36=28。因此，BC=2√7。由于DE是AB的中垂線，所以DE=AB/2=3。又因為△ADE和△ABC相似，所以DE/AB=AD/AC，即AD=9/4。由于DF是△ADF的中垂線，所以DF=AF/2。由勾股定理可得AF2=AC2-AD2=64-81/16=223/16。因此，AF=√(223/16)。由勾股定理可得BF2=AB2-AF2=36-223/16=133/16。因此，BF=√(133/16)。因此，△BCF的周長為BC+BF+FC=2√7+√(133/16)+√(223/16)。1、關(guān)于$x$的一元一次不等式組$\begin{cases}x>b+2\\x<3b-2\end{cases}$有解，則直線$y=-x+b$不經(jīng)過第二象限。改寫：若不等式組$\begin{cases}x>b+2\\x<3b-2\end{cases}$有解，則直線$y=-x+b$不經(jīng)過第二象限。2、已知不等式$3x-a\leqslant0$的整數(shù)解恰好為$1,2,3$，則$a$的取值范圍是（）。改寫：已知不等式$3x-a\leqslant0$的整數(shù)解為$1,2,3$，則$a$的取值范圍是（）。3、如果關(guān)于$x$的方程$2|x-4|+(5x-y-m)=0$有一個解，則不等式$x-\frac{9}{3-x}>x-1$的解也是，求$m$的取值范圍。改寫：若方程$2|x-4|+(5x-y-m)=0$有一個解，則不等式$x-\frac{9}{3-x}>x-1$的解也是，求$m$的取值范圍。4、若$y\geqslant\frac{1}{2}|x-4|+m$，求$m$的取值范圍。改寫：已知$y\geqslant\frac{1}{2}|x-4|+m$，求$m$的取值范圍，使得$y\geqslant0$。5、若不等式組$\begin{cases}x+a\geqslant1\\2x-1\leqslanta\end{cases}$有解，則$a$的取值范圍是。改寫：若不等式組$\begin{cases}x+a\geqslant1\\2x-1\leqslanta\end{cases}$有解，則$a$的取值范圍是。1、電器城進(jìn)貨方案為了改善經(jīng)營，電器城決定經(jīng)銷B型號彩電，已知A型號彩電每臺進(jìn)貨價為1800元，B型號彩電每臺進(jìn)貨價為1500元，電器城預(yù)計用不多于10萬元且不少于1萬元的資金購進(jìn)這兩種彩電共20臺，求有哪幾種進(jìn)貨方案。電器城可以采用以下進(jìn)貨方案：1）進(jìn)10臺A型號彩電，進(jìn)10臺B型號彩電；2）進(jìn)11臺A型號彩電，進(jìn)9臺B型號彩電；3）進(jìn)12臺A型號彩電，進(jìn)8臺B型號彩電；4）進(jìn)13臺A型號彩電，進(jìn)7臺B型號彩電；5）進(jìn)14臺A型號彩電，進(jìn)6臺B型號彩電；6）進(jìn)15臺A型號彩電，進(jìn)5臺B型號彩電；7）進(jìn)16臺A型號彩電，進(jìn)4臺B型號彩電；8）進(jìn)17臺A型號彩電，進(jìn)3臺B型號彩電；9）進(jìn)18臺A型號彩電，進(jìn)2臺B型號彩電；10）進(jìn)19臺A型號彩電，進(jìn)1臺B型號彩電；11）進(jìn)20臺B型號彩電。2、電器城最大利潤電器城準(zhǔn)備把A型號彩電繼續(xù)以原價每臺2000元的價格出售，B型號彩電以每臺1800元的價格出售，在這批彩電全部賣出的前提下，如何進(jìn)貨才能使電器城獲利最大？最大利潤是多少？電器城最大利潤的進(jìn)貨方案是進(jìn)14臺A型號彩電，進(jìn)6臺B型號彩電，最大利潤為24000元。3、電腦公司的數(shù)學(xué)題某電腦公司經(jīng)銷甲種型號電腦，今年三月份的電腦售價比去年同期每臺降低1000元，如果賣出相同數(shù)量的電腦，去年銷售額為10萬元，今年售價8萬元。（1）今年三月份甲種電腦每臺售價為7000元。（2）電腦公司可以采用以下進(jìn)貨方案：進(jìn)5臺甲種電腦，進(jìn)3臺乙種電腦；進(jìn)4臺甲種電腦，進(jìn)4臺乙種電腦；進(jìn)3臺甲種電腦，進(jìn)5臺乙種電腦。（3）為了打開乙種電腦的銷路，公司決定每售出一臺乙種電腦，返還顧客現(xiàn)金200元，此時，a值應(yīng)該是100元，進(jìn)貨方案為進(jìn)5臺甲種電腦，進(jìn)3臺乙種電腦，此方案對公司更有利。4、因式分解(1)多項式15mn+5mn-20mn的公因式是5mn。(2)(x-y)2-2(y-x)=0。(3)an-a3n+an+2=an(1-a2)+an+2。1.已知三角形ABC的三條邊長分別為a，b，c，且滿足a2+b2+c2=ab+bc+ca，則該三角形的形狀是（）。A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形。2.分解因式：（1）4(a2+1)2-4a(a2+1)+4a2(5)4a2-(a2+1)2（2)-xy3+(2-x)2-(4x-16)(x-1)2求證：當(dāng)n為自然數(shù)時，(n+7)-(n-5)能被24整除。25.已知三角形ABC的三條邊長為a，b，c，且滿足(a+b+c)2=3(a2+b2+c2)。求證：該三角形是等邊三角形。6.計算：1-1/(2√3)三、分組分解法。（一）分組后能直接提公因式1.分解因式：（1）a(m+n)+b(m+n)（2）2ax-10ay+5by-bx（3）a2-ab+ac-bc（4）xy-x-y+1（二）分組后能直接運用公式2.分解因式：（1）x2-y2+a(x+y)（2）a2-2ab+b2-c2（3）x2-x-9y2-3y（4）x2-y2-z2-2yz四、十字相乘法。（一）二次項系數(shù)為1的二次三項式直接利用公式x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)進(jìn)行分解。特點：（1）二次項系數(shù)是1；（2）常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；（3）一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。1.分解因式：（1）x2+5x+6（2）y2-2y-15（二）二次項系數(shù)不為1的二次三項式——ax2+bx+c條件：（1）a=a?a?，c=c?c?；（2）b=a?c?+a?c?；分解結(jié)果：ax2+bx+c=(a?x+c?)(a?x+c?)2.分解因式：（1）3x2-11x+10（2）3x2-7x+2（3）10x2-17x+3（三）二次項系數(shù)為1的齊次多項式3.分解因式：（1）a2-8ab-128b2（2）m2-6mn+8n2（3）a2-ab-6b2（四）二次項系數(shù)不為1的齊次多項式一、多項式的基本概念多項式是由若干個單項式相加或相減而成的式子。例如，3x2+5x-2和4a3b2-2ab+7a-5b都是多項式。二、多項式的加減法多項式的加減法就是將同類項相加或相減。例如，將3x2+5x-2和2x2-3x+1相加，得到5x2+2x-1。將4a3b2-2ab+7a-5b和3a3b2+4ab-2a+6b相減，得到a3b2-6ab+9a-11b。三、多項式的乘法多項式的乘法就是將每一項相乘再相加。例如，將3x+2和4x-1相乘，得到12x2+5x-2。四、換元法換元法就是將多項式中的變量用另一個變量來代替，以便于分解因式。例如，將x2+x-6用x+2和x-3分解因式，可以先將x用y+1代替，得到y(tǒng)2+3y-4，然后再用(y+4)(y-1)代替，最終得到(x+2)(x-3)。五、添項、拆項、配方法添項、拆項、配方法是分解因式時常用的方法。例如，將x3-6x2+32分解因式，可以先拆項得到x3-2x2-4x2+8x+32，然后再用配方法得到(x-4)(x2-2x-8)，最終得到(x-4)(x+2)(x-4)。六、待定系數(shù)法待定系數(shù)法就是假設(shè)分解因式的形式，然后根據(jù)系數(shù)的條件來確定未知系數(shù)。例如，分解x2+xy-6y2+x+13y-6，假設(shè)分解因式為(x+ay+b)(x+cy+d)，然后根據(jù)同類項系數(shù)相等的條件，可以得到a+c=1，ac+b+d=1，ad+bc=13，bd=-6，從而求出a=2，b=-3，c=-1，d=3，最終得到分解因式為(x+2y-3)(x-y+3)。七、分式分式是由分子、分母和分?jǐn)?shù)線組成的式子。例如，3/4、x/(x+1)和(a+b)/(a-b)都是分式。題型一、分式的意義及分式的值1、若分式(x-1)/[(x+3)(x-1)]有意義，則x應(yīng)滿足x≠-3。2、在y=x2-1中，若y的值是4，則x的值是±3。3、已知分式2x+x-2/(x+1)，當(dāng)x=2時，分式的值是2。4、分式2x-3/(x+1)的整數(shù)值共有無窮多組。5、當(dāng)x發(fā)生變化時，分式x2+2x-2/x+1的最小值是-1。題型二、解分式方程①$\frac{x^2}{x-2}-\frac{x}{x-1}=0$將兩個分式通分，得到$\frac{x^3-2x^2-x^2+2x}{(x-2)(x-1)}=0$，化簡后得到$\frac{x(x-2)}{x-1}=0$，解得$x=0$或$x=2$。③$\frac{x+2}{3}-\frac{1}{x(x-1)}=0$將兩個分式通分，得到$\frac{x(x-1)(x+2)-3}{3x(x-1)}=0$，化簡后得到$x(x-1)(x+2)-3=0$，解得$x=1$或$x=-3$。題型三、化簡求值（1）$\frac{a-1+2x-6x+3x^2+6x+9}{2(a+1)}$將分子化簡，得到$3x^2-4x+4$，代入$a=2-1=1$，得到$\frac{3x^2-4x+4}{4}$。（2）$\frac{3-x}{4-x}-\frac{4+x}{3+x}$將兩個分式通分，得到$\frac{(3-x)(3+x)-(4+x)(4-x)}{(4-x)(3+x)}$，化簡后得到$\frac{-2x-7}{x^2-x-12}$，代入$x=2$，得到$\frac{-11}{3}$。（3）$\frac{11y}{x-y}-\frac{2x}{x^2-2xy+y^2}$將兩個分式通分，得到$\frac{11y(x^2-2xy+y^2)-2x(x-y)}{(x-y)(x^2-2xy+y^2)}$，化簡后得到$\frac{11xy-9y^2}{x^3-3x^2y+3xy^2-y^3}$，代入$x=1+2y$和$y=1-0.5x$，得到$\frac{33}{32}$。（4）$\frac{3x^2-7x+2AB}{(x-1)(x+1)x}-\frac{2AB}{(x-2)(x+1)}$將兩個分式通分，得到$\frac{3x^2-7x+2AB-2ABx(x-2)}{(x-1)(x+1)x(x-2)}$，化簡后得到$\frac{3x^2-7x}{(x-1)(x+1)x(x-2)}$，代入$x=3$，得到$\frac{6}{11}$。（5）$\frac{2A+3B}{(x-1)(x+1)}=\frac{3}{x-1}-\frac{1}{x+1}$將分式右移，得到$\frac{2A+3B-3(x+1)+1(x-1)}{(x-1)(x+1)}=0$，化簡后得到$2A+3B-3x-2=0$，代入$x=2$，得到$A+B=3$。（6）$m^2-n^2=mn$將$m^2-n^2$因式分解，得到$(m-n)(m+n)=mn$，代入$m+n=4mn$，得到$n=\frac{1}{2}$，代入原式，得到$m=\frac{3}{2}$，所以$\frac{m}{n}=3$。（7）$\frac{2b-c-a}{2c-a-b}+\frac{a^2-ab-ac+bc}{b^2-ab-bc+ac}$將第一個分式的分子和分母同時乘以$-1$，得到$\frac{c+a-2b}{b+c-2a}$，將第二個分式的分子和分母同時乘以$(a-b+c)$，得到$\frac{(a-b+c)(a+c-b)}{(b-a+c)(b+c-a)}$，將兩個分式相加，得到$\frac{(a-b+c)(a+c-b)+2(c+a-2b)(a-b+c)}{(b-a+c)(b+c-a)}$，化簡后得到$-1$。題型四、關(guān)于增根、無解及解的正負(fù)1、$\frac{4}{3}$2、$-\frac{1}{2}$3、$-\frac{3}{2}$4、$a<0$題型五、應(yīng)用題1、（1）設(shè)甲工程隊單獨完成需要$x$天，乙工程隊單獨完成需要$y$天，則$\frac{20}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}=20$，$\frac{20}{y+30}+\frac{20-a}{\frac{20a}{20-a}}=20$，解得$x=50$，$y=80$。（2）$\frac{20a}{20-a}+20\left(\frac{1}{50}+\frac{1}{80}\right)=1$，解得$a=\frac{125}{3}$，所以甲工程隊至少要單獨施工$\frac{125}{3}$天后，再由甲、乙兩工程隊合作施工完成剩下的工程，才能使施工費不超過64萬元。2、（1）設(shè)第一次每支鉛筆的進(jìn)價為$x$元，則第二次每支鉛筆的進(jìn)價為$2x$元，設(shè)第一次購進(jìn)了$n$支鉛筆，則$nx=600$，$(n-30)2x=600$，解得$x=6$，所以第一次每支鉛筆的進(jìn)價是6元。（2）設(shè)每支鉛筆的售價為$y$元，則第一次購進(jìn)的鉛筆總售價為$nx$元，第二次購進(jìn)的鉛筆總售價為$(n-30)2x$元，總售價為$nx+(n-30)2x$元，總成本為$1200$元，所以$nx+(n-30)2x-1200\geq420$，解得$y\geq7.5$，所以每支鉛筆的售價至少是7.5元。3、某項工程接到甲、乙兩個工程隊的投標(biāo)書，施工需付甲隊萬元，乙隊l．1萬元。工程領(lǐng)導(dǎo)小組根據(jù)甲乙兩隊的投標(biāo)書測算，可有三種施工方案：（1）甲隊單獨完成這項工程剛好如期完成；（2）乙隊單獨完成這項工程要比規(guī)定日期多用5天；（3）若甲、乙兩隊合作4天，余下的工程由乙隊單獨也正好如期完成。問：甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需多少天？在不耽誤工期的情況下，哪種施工方案最節(jié)省工程款？4、為了美化都勻市環(huán)境，打造中國優(yōu)秀旅游城市，現(xiàn)欲將劍江河進(jìn)行清淤疏通改造?，F(xiàn)有兩家清淤公司可供選擇，這兩家公司提供信息如表所示：（1）若劍江河首批需要清淤的淤泥面積大約為萬平方米，平均厚度約為米。請說明哪個清淤公司進(jìn)行清淤費用較省，并說明理由（體積可按面積×高進(jìn)行計算）。（2）若甲公司單獨做了2天，乙公司單獨做了3天，恰好完成全部清淤任務(wù)的一半；若甲公司先做2天，剩下的清淤工作由乙公司單獨完成，則乙公司所用時間恰好比甲公司單獨完成清淤任務(wù)所用時間多1天，則甲、乙兩公司單獨完成清淤任務(wù)各需多少時間？1．（2014·浙江金華）在式子中，x可以取2和3的是（）A．11,,x2,x3B．x2x3C．11D．x3x2B．=a32、（2014?呼和浩特）下列運算正確的是（）A．?=﹣（﹣）=B．（+）2÷（﹣）=C．（﹣a）÷a3=（﹣a）6D．（﹣a）9÷a3=（﹣a）63、（2014?濟(jì)寧）如果從一卷粗細(xì)均勻的電線上截取1米長的電線，稱得它的質(zhì)量為a克，再稱得剩余電線的質(zhì)量為b克，那么原來這卷電線的總長度是米．4、（2014?德州）分式方程﹣1=的解是（）A．x=1B．x=﹣1C．x=2D．無解5、（2014?泰州）已知a2+3ab+b2=0（a≠0，b≠0），則代數(shù)式+的值等于（）6、（2014?廣西賀州）張華在一次數(shù)學(xué)活動中，利用“在面積一定的矩形中，正方形的周長最短”的結(jié)論，推導(dǎo)出“式子x+（x＞）的最小值是2”．其推導(dǎo)方法如下：在面積是1的矩形中設(shè)矩形的一邊長為x，則另一邊長是，矩形的周長是2（x+）；當(dāng)矩形成為正方形時，就有x=（＞），解得x=1，這時矩形的周長2（x+）=4最小，因此x+（x＞）的最小值是2．模仿張華的推導(dǎo)，你求得式子（x＞）的最小值是（）7、由于貨源緊缺，小王和小李兩個商販分別以不同的價格在同一家公司購買了A型香米。他們的采購方式不同，小王每次購進(jìn)c千克大米，小李每次購進(jìn)d元的大米。兩次購買的單價分別為a和b（其中a<b，單位為元/千克）。如果只考慮采購單價，哪個商販更劃算？選項：A.小王更劃算B.小李更劃算C.一樣劃算D.無法確定8、馬小虎家距離學(xué)校1800米。有一天，他去上學(xué)時出發(fā)10分鐘后，他的父親發(fā)現(xiàn)他忘記帶數(shù)學(xué)課本了，于是父親帶上課本去追他。在距離學(xué)校200米的地方，他們相遇了。已知父親的速度是馬小虎速度的2倍。求馬小虎的速度。9、學(xué)校新到了一批理、化、生實驗器材需要整理。如果實驗管理員李老師一個人單獨整理，需要40分鐘完成?，F(xiàn)在李老師和工人王師傅一起整理了20分鐘后，李老師因事外出了。然后王師傅再單獨整理了20分鐘才完成任務(wù)。(1)王師傅單獨整理這批實驗器材需要多少分鐘？(2)學(xué)校要求王師傅的工作時間不能超過30分鐘。為了完成整理這批器材，李老師至少要工作多少分鐘？五、圖形的平移和旋轉(zhuǎn)1.平移不改變圖形的形狀，只改變圖形的位置。2.鐘表的分針旋轉(zhuǎn)一周需要60分鐘，它的旋轉(zhuǎn)中心是鐘表的中心，經(jīng)過20分鐘，分針旋轉(zhuǎn)了120度。3.在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，∠B與∠C互余，將AB、DC分別平移到EF和EG的位置，則△EFG為等腰三角形，若AD=2cm，BC=8cm，則FG=6cm。4.小正六邊形沿著大正六邊形的邊緣順時針滾動，小正六邊形的邊長是大正六邊形邊長的一半。當(dāng)小正六邊形由圖①位置滾動到圖②位置時，線段OA繞點O順時針轉(zhuǎn)過的角度為60度。5.將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90度，得到△A'OB'。如果點A的坐標(biāo)為(a,b)，則點A'的坐標(biāo)為(-b,a)。三、解答題O1、如圖所示：正方形ABCD中E為BC的中點，將面ABE旋轉(zhuǎn)后得到△CBF。(1)指出旋轉(zhuǎn)中心及旋轉(zhuǎn)角度。旋轉(zhuǎn)中心為點B，旋轉(zhuǎn)角度為90度。(2)判斷AE與CF的位置關(guān)系。AE和CF是重合的。(3)如果正方形的面積為18cm2，△BCF的面積為4cm2，問四邊形AECD的面積是多少？四邊形AECD的面積為14cm2。Bx2.如圖，已知正方形ABCD，點E、F分別在BC、CD上，且BE=CF。連接AF、BE、CF，交于點O。證明：△OEF與△OAB全等。（2）三角板繞點P旋轉(zhuǎn)時，線段PD和PE的長度相等。證明：如圖②所示，連接PA、PB，由于PA=PB，所以∠PAB=∠PBA，又因為∠PAB+∠ABC=180°，所以∠PAB=∠ABC/2。同理可得∠PBA=∠ACB/2。由于三角板繞點P旋轉(zhuǎn)時，∠ABC和∠ACB不變，所以∠PAB和∠PBA也不變，即∠PAB=∠PBA。又因為三角板繞點P旋轉(zhuǎn)時，AD和BE的長度不變，所以PD和PE的長度相等。（3）當(dāng)且僅當(dāng)角BPE=60°時，△PBE為等腰三角形。證明：如圖③所示，連接PE、PC，由于∠BPC=90°，所以∠BPE=∠CPD。又因為三角板繞點P旋轉(zhuǎn)時，PD和PE的長度相等，所以△CPD≌△BPE，即∠BPE=∠CPD。所以∠BPE=∠CPD，又因為∠BPC=90°，所以∠BPC=2∠CPD。因此，∠BPE=∠CPD=∠BPC/2=30°。所以，當(dāng)且僅當(dāng)角BPE=60°時，△PBE為等腰三角形，此時CE=2。因為角BPE=60°時，角CPD也為60°，所以角DPE=60°，即△PDE為等邊三角形，所以PD=PE=2。因此，當(dāng)角BPE=60°時，AE=2+2=4=BE+FD，且角DAE=∠BPE/2=30°，所以AF平分∠DAE。當(dāng)角BPE≠60°時，△PBE不是等腰三角形，所以無法使AF平分∠DAE。4、如圖所示，連接PC、P'C，由于PAC和P'AB都是正三角形，所以∠APC=∠AP'C=60°，PC=P'C=10-6=4。又因為PA=6，PB=8，所以AB=2√13。由余弦定理，cos∠APB=(62+82-AB2)/(2×6×8)=31/48，所以∠APB≈54.6°。由正弦定理，PP'=(4/sin60°)×sin(60°-∠APB)≈2.309。所以點P與點P'之間的距離為2.309，∠APB≈54.6°。例1.能判別一個四邊形是平行四邊形的是（A）一組對邊相等，另一組對邊平行。變式：1、因為AD平行且等于CB，所以CD=AB，且∠A=∠B，所以ABCD是平行四邊形，選項C錯誤。例2.如上右圖所示，對四邊形ABCD是平行四邊形的下列判斷，正確的打“∨”，錯誤的打“×”。（1）因為AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四邊形。（∨）（2）因為AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四邊形。（∨）（3）因為AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四邊形。（×）（4）因為AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四邊形。（∨）（5）因為AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四邊形。（∨）（6）因為AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四邊形。（∨）例3、如圖所示：四邊形ABCD是平行四邊形，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC。試證明四邊形BFDE是平行四邊形。解：如圖所示，連接AC，因為ABCD是平行四邊形，所以∠ADC=∠ABC，∠AED=∠BFC，所以∠AED+∠EDF+∠BFC+∠FBE=360°。又因為∠AED=∠BFC，∠FBE=∠EDF，所以2∠AED+2∠EDF=360°，即∠AED+∠EDF=180°。所以∠BFC+∠FBE=180°，即BFDE是平行四邊形。例4：已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，點G，H分別是AB，CD的中點，點E，F(xiàn)在AC上，且AE=CF。求證：四邊形EGFH是平行四邊形。解：如圖所示，連接EG、EH、FH、FG，因為ABCD是平行四邊形，所以AG=GC，BH=HD，又因為G、H分別是AB、CD的中點，所以AG=GB，DH=HC。因此，AG=GB=GC，DH=HD=HC，所以AE=CF。又因為AE=CF，所以△AEC≌△CFA，所以∠AEC=∠CFA，所以∠GEH=∠GFH，所以EGFH是平行四邊形。如圖，在菱形ABCD中，AE=3，BE=4，求菱形的周長。首先，我們可以利用菱形的性質(zhì)，即對角線相等，來求出AC的長度。因為ABCD是菱形，所以AC=BD。又因為AC是菱形的一條對角線，所以AC垂直平分BD。因此，我們可以利用勾股定理求出AC的長度：AC2=AB2+BC2=32+42=25AC=5由于菱形的四條邊長度相等，所以菱形的周長為4×AC=20。給定菱形ABCD，已知AE=3，BE=4，求菱形的周長。根據(jù)菱形的性質(zhì)，對角線相等，可以得到AC=BD。因此，我們可以利用勾股定理求出AC的長度為5。由于菱形的四條邊長度相等，所以菱形的周長為20。1、已知菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為6cm、8cm，AEBC于點E，求AE的長。根據(jù)菱形性質(zhì)，對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，因此可以得出AC和BD互相垂直。設(shè)AC的中點為O，則BO=OD=4cm，AO=OC=3cm。由勾股定理可得AE的長為√(AB2-EB2)=√(42-32)=√7cm。2、已知菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點，P是對角線BD上一點，求PM+PN的最小值。由菱形性質(zhì)可知，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，因此可以得出AC和BD互相垂直。設(shè)AC的中點為O，則BO=OD=4，AO=OC=3。由勾股定理可得AB的長為√(42+32)=5，CD的長為√(82-52)=√39。因為M、N是BC、CD的中點，所以MN=1/2CD=1/2√39。設(shè)PM=x，則PN=8-x，根據(jù)勾股定理可得PN2+PM2=BD2=64，化簡可得x2-8x+39=0。解得x=4-√7或x=4+√7，因此PM+PN的最小值為4-√7+4-√7=8-2√7。例1、在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，BE=2DE，延長DE到點F，使得EF=BE，連接CF。求證：四邊形BCFE是菱形。因為D、E是AB、AC的中點，所以DE平行于BC且DE=1/2BC。又因為BE=2DE，所以BE=BC/2。根據(jù)判定一可知，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，因此可以得出BE=CF，EF=BC，BCFE是菱形。例2、在△ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點O作EF⊥AC交BC于點E，交AD于點F，連接AE、CF。求證：四邊形AECF是菱形。因為AC和BD互相垂直，所以根據(jù)判定三可知，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。因此，只需要證明AECF是平