人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差 A組基礎(chǔ)同步訓(xùn)練含解析

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人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)

7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差A(yù)組基礎(chǔ)同步訓(xùn)練（原卷版）

一、選擇題

1．（2023·全國(guó)高二課時(shí)練）甲、乙兩臺(tái)自動(dòng)機(jī)床各生產(chǎn)同種標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品件，表示甲機(jī)床生產(chǎn)件產(chǎn)品中的次品數(shù)，表示乙機(jī)床生產(chǎn)件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的考察，，的分布列分別如表一，表二所示．據(jù)此判斷（）

表一

表二

A．甲比乙質(zhì)量好B．乙比甲質(zhì)量好

C．甲與乙質(zhì)量相同D．無(wú)法判定

2．（2023·云南昆明高二月考）已知隨機(jī)變量X的分布列如下：

013

若隨機(jī)變量Y滿(mǎn)足，則Y的方差（）

A．B．C．D．

3．（2023·浙江高二期末）設(shè)，，隨機(jī)變量X的分布列是（）

a

則方差（）

A．既與有關(guān)，也與有關(guān)B．與有關(guān)，但與無(wú)關(guān)

C．與有關(guān)，但與無(wú)關(guān)D．既與無(wú)關(guān)，也與無(wú)關(guān)

4．（2023·浙江麗水市高二月考）已知隨機(jī)變量的分布列如下：

12

Pnm

則的最大值（）

A．B．C．D．

5．（多選題）（2023·全國(guó)高二課時(shí)練）已知X的分布列為

X－101

Pa

則下列說(shuō)法正確的有（）

A．P(X＝0)＝B．E(X)＝－

C．D(X)＝D．P(X＞－1)＝

6．（多選題）（2023·浙江杭州市高二月考）已知，隨機(jī)變量的分布列如下表所示，若，則下列結(jié)論中可能成立的是（）

A．B．C．D．

二、填空題

7．（2023·福建莆田一中高二期末）隨機(jī)變量的分布列如下表：

01

Pab

且，則______.

8．（2023·廣東高二期末）已知離散型隨機(jī)變量的取值為0，1，2，且，，；若，則___________.

9．（2023·山西朔州市·應(yīng)縣一中高二）隨機(jī)變量的分布列如下表：

012

其中，，成等差數(shù)列，若，則的值是________.

10．（2023·江蘇常州市高二期中）設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列如下表所示：

123

其中，，成等差數(shù)列，若隨機(jī)變量的均值為，則的方差為_(kāi)________．

三、解答題

11．（2023·全國(guó)高二單元測(cè)）甲乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動(dòng)物的種類(lèi)和數(shù)量也大致相等，而兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別如下，試評(píng)定這兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平.

甲保護(hù)區(qū)：

X0123

P0.30.30.20.2

乙保護(hù)區(qū)：

Y012

12．（2023·北京大興高二期末）根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量（單位：）對(duì)工期的影響如下表：歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量小于、、的概率分別為、、．求：

降水量

工期延誤天數(shù)

（1）工期延誤天數(shù)的均值與方差；

（2）在降水量至少是的條件下，工期延誤不超過(guò)天的概率．

人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)

7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差A(yù)組基礎(chǔ)同步訓(xùn)練（解析版）

一、選擇題

1．（2023·全國(guó)高二課時(shí)練）甲、乙兩臺(tái)自動(dòng)機(jī)床各生產(chǎn)同種標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品件，表示甲機(jī)床生產(chǎn)件產(chǎn)品中的次品數(shù)，表示乙機(jī)床生產(chǎn)件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的考察，，的分布列分別如表一，表二所示．據(jù)此判斷（）

表一

表二

A．甲比乙質(zhì)量好B．乙比甲質(zhì)量好

C．甲與乙質(zhì)量相同D．無(wú)法判定

【答案】B

【詳解】由分布列可求甲的次品數(shù)期望為，乙的次品數(shù)期望為，

，

，

，，乙比甲質(zhì)量好.

2．（2023·云南昆明高二月考）已知隨機(jī)變量X的分布列如下：

013

若隨機(jī)變量Y滿(mǎn)足，則Y的方差（）

A．B．C．D．

【答案】D

【詳解】由題意可知，，則，

則，又，所以．

3．（2023·浙江高二期末）設(shè)，，隨機(jī)變量X的分布列是（）

a

則方差（）

A．既與有關(guān)，也與有關(guān)B．與有關(guān)，但與無(wú)關(guān)

C．與有關(guān)，但與無(wú)關(guān)D．既與無(wú)關(guān)，也與無(wú)關(guān)

【答案】B

【詳解】由分布列可得，

故.故選：B

4．（2023·浙江麗水市高二月考）已知隨機(jī)變量的分布列如下：

12

Pnm

則的最大值（）

A．B．C．D．

【答案】C

【詳解】解:有題得，即，所以，

故，

因?yàn)?，故?/p>

所以由二次函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)，的最大值.

5．（多選題）（2023·全國(guó)高二課時(shí)練）已知X的分布列為

X－101

Pa

則下列說(shuō)法正確的有（）

A．P(X＝0)＝B．E(X)＝－

C．D(X)＝D．P(X＞－1)＝

【答案】ABD

【詳解】由分布列的性質(zhì)可知＝1，即a＝.∴P(X＝0)＝，故A正確；

E(X)＝，故B正確；

D(X)＝，故C錯(cuò)誤；

P(X＞－1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝，故D正確．故選：ABD.

6．（多選題）（2023·浙江杭州市高二月考）已知，隨機(jī)變量的分布列如下表所示，若，則下列結(jié)論中可能成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】ABC

【詳解】由題意得，

．

因?yàn)椋裕?/p>

所以，又，所以，

故不可能成立，而選項(xiàng)A，B，C均有可能成立.

二、填空題

7．（2023·福建莆田一中高二期末）隨機(jī)變量的分布列如下表：

01

Pab

且，則______.

【答案】

【詳解】因?yàn)椋郑?/p>

所以，.

8．（2023·廣東高二期末）已知離散型隨機(jī)變量的取值為0，1，2，且，，；若，則___________.

【答案】

【詳解】由題意知：，解得，

所以.

9．（2023·山西朔州市·應(yīng)縣一中高二）隨機(jī)變量的分布列如下表：

012

其中，，成等差數(shù)列，若，則的值是________.

【答案】

【詳解】因?yàn)椋忠驗(yàn)?，，成等差?shù)列，所以

所以,又因?yàn)椋?/p>

所以.

10．（2023·江蘇常州市高二期中）設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列如下表所示：

123

其中，，成等差數(shù)列，若隨機(jī)變量的均值為，則的方差為_(kāi)________．

【答案】

【詳解】因?yàn)?，，成等差?shù)列，則，其在分布列中，

所以，又因?yàn)闄C(jī)變量的均值，

且,故

所以的方差為

三、解答題

11．（2023·全國(guó)高二單元測(cè)）甲乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動(dòng)物的種類(lèi)和數(shù)量也大致相等，而兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別如下，試評(píng)定這兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平.

甲保護(hù)區(qū)：

X0123

P0.30.30.20.2

乙保護(hù)區(qū)：

Y012

P0.10.50.4

【詳解】解：甲保護(hù)區(qū)違規(guī)次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差為

E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3，

D(X)=(01.3)2×0.3+(11.3)2×0.3+(21.3)2×0.2+(31.3)2×0.2=1.21.

乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望和方差為

E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3，

D(Y)=(01.3)2×0.1+(11.3)2×0.5+(21.3)2×0.4=0.41.

因?yàn)镋(X)=E(Y)，D(X)>D(Y)，所以?xún)蓚€(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)生的違規(guī)事件的平均次數(shù)相同，但甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對(duì)分散和波動(dòng)，乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更加集中和穩(wěn)定，所以乙保護(hù)區(qū)的管理水平比甲高.

12．（2023·北京大興高二期末））根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量（單位：）對(duì)工期的影響如下表：歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量小于、、的概率分別為、、．求：

降水量

工期延誤天數(shù)

（1）工期延誤天數(shù)的均值與方差；

（2）在降水量至少是的條件下，工期延誤不超過(guò)天的概率．

【答案】（1）的均值為，方差為；