九年級數(shù)學下冊第26章二次函數(shù)26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)3求二次函數(shù)的表達式教案新版華東師大版

Page33．求二次函數(shù)的表達式【知識與技能】使學生掌握用待定系數(shù)法由已知圖象上一個點的坐標求二次函數(shù)y＝ax2的關系式．【過程與方法】使學生掌握用待定系數(shù)法由已知圖象上三個點的坐標求二次函數(shù)的關系式．【情感態(tài)度】讓學生體驗二次函數(shù)的函數(shù)關系式的應用，提高學生運用數(shù)學的意識．【教學重點】已知二次函數(shù)圖象上一個點的坐標或三個點的坐標，分別求二次函數(shù)y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的關系式是教學的重點．【教學難點】已知圖象上三個點坐標求二次函數(shù)的關系式是教學的難點．一、情境導入，初步認識一般地，函數(shù)關系式中有幾個獨立的系數(shù)，那么就需要有相同個數(shù)的獨立條件才能求出函數(shù)關系式．例如：我們在確定一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的關系式時，通常需要兩個獨立的條件；確定反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的關系式時，通常只需要一個條件；如果要確定二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的關系式，又需要幾個條件呢？【教學說明】通過類比的思想，使學生明白二次函數(shù)的解析式所需要的獨立條件．二、思考探究，獲取新知1．如圖，某建筑的屋頂設計成橫截面為拋物線形(曲線AOB)的薄殼屋頂．它的拱寬AB為4m，拱高CO為0.8m.施工前要先制造建筑模板，怎樣畫出模板的輪廓線呢？分析：為了畫出符合要求的模板，通常要先建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，再寫出函?shù)關系式，然后根據(jù)這個關系式進行計算，放樣畫圖．解：如圖所示，以AB的垂直平分線為y軸，以過點O作y軸的垂線為x軸，建立直角坐標系。這時，屋頂?shù)臋M截面所成拋物線的頂點在原點，對稱軸是y軸，開口向下，所以可設它的函數(shù)關系式為：y＝ax2(a＜0)(1)因為y軸垂直平分AB，并交AB于點C，所以CB＝eq\f(AB,2)＝2(m)，又CO＝0.8m，所以點B的坐標為(2，－0.8)．因為點B在拋物線上，將它的坐標代入(1)，得－0.8＝a×22，所以a＝－0.2，因此，所求函數(shù)關系式是y＝－0.2x2.2．根據(jù)下列條件，分別求出對應的二次函數(shù)的關系式．(1)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(0，－1)、B(1，0)、C(－1，2)；(2)已知拋物線的頂點為(1，－3)，且與y軸交于點(0，1)；解：(1)設二次函數(shù)關系式為y＝ax2＋bx＋c，由已知，這個函數(shù)的圖象過(0，－1)，可以得到c＝－1.又由于其圖象過點(1，0)、(－1，2)兩點，可以得到eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1,a－b＝3))，解這個方程組，得：a＝2，b＝－1.所以，所求二次函數(shù)的關系式是y＝2x2－x－1.(2)因為拋物線的頂點為(1，－3)，所以設二此函數(shù)的關系式為y＝a(x－1)2－3，又由于拋物線與y軸交于點(0，1)，可以得到：1＝a(0－1)2－3，解得：a＝4.所以，所求二次函數(shù)的關系式是y＝4(x－1)2－3＝4x2－8x＋1.【教學說明】二次函數(shù)的關系式有幾種形式，函數(shù)的關系式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c就是其中一種常見的形式．二次函數(shù)關系式的確定，關鍵在于求出三個待定系數(shù)a、b、c，由于已知三點坐標必須適合所求的函數(shù)關系式，故可列出三個方程，求出三個待定系數(shù)．【歸納結論】確定二次函數(shù)的關系式的一般方法是待定系數(shù)法，在選擇把二次函數(shù)的關系式設成什么形式時，可根據(jù)題目中的條件靈活選擇，以簡單為原則．二次函數(shù)的關系式可設如下二種形式：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，給出三點坐標可利用此式來求．(2)頂點式：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)，給出兩點，且其中一點為頂點時可利用此式來求．三、運用新知，深化理解1．見教材P22例6、例7.2．已知：二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交于A、B兩點，其中A點坐標為(－1，0)，點C(0，5)，另拋物線經(jīng)過點(1，8)，求拋物線的解析式．分析：應用待定系數(shù)法求出a，b，c的值．解：依題意：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋c＝0,c＝5,a＋b＋c＝8))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝4,c＝5))，拋物線的解析式為y＝－x2＋4x＋5.3．已知拋物線對稱軸是直線x＝2，且經(jīng)過(3，1)和(0，－5)兩點，求二次函數(shù)的關系式．分析：可設二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，已知兩點的坐標，可列兩個方程，再根據(jù)對稱軸x＝2列出一個方程，則可求出a，b，c的值．解法1：設所求二次函數(shù)的解析式是y＝ax2＋bx＋c，因為二次函數(shù)的圖象過點(0，－5)，可求得c＝－5，又由于二次函數(shù)的圖象過點(3，1)，且對稱軸是直線x＝2，可以得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)＝2,9a＋3b＝6))解這個方程組，得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2,b＝8))，所以所求的二次函數(shù)的關系式為y＝－2x2＋8x－5.解法2：設所求二次函數(shù)的關系式為y＝a(x－2)2＋k，由于二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(3，1)和(0，－5)兩點，可以得到eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（3－2）2＋k＝1,a（0－2）2＋k＝－5))解這個方程組，得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2,k＝3))所以，所求二次函數(shù)的關系式為y＝－2(x－2)2＋3，即y＝－2x2＋8x－5.4．已知拋物線的頂點是(2，－4)，它與y軸的一個交點的縱坐標為4，求函數(shù)的關系式．分析：根據(jù)頂點坐標公式可列出兩個方程．解法1：設所求的函數(shù)關系式為y＝a(x＋h)2＋k，依題意，得y＝a(x－2)2－4，因為拋物線與y軸的一個交點的縱坐標為4，所以拋物線過點(0，4)，于是a(0－2)2－4＝4，解得a＝2.所以，所求二次函數(shù)的關系式為y＝2(x－2)2－4，即y＝2x2－8x＋4.解法2：設所求二次函數(shù)的關系式為y＝ax2＋bx＋c依題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)＝2,\f(4ac－b2,4a)＝－4,c＝4))，解這個方程組，得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝－8,c＝4))，所以，所求二次函數(shù)關系式為y＝2x2－8x＋4.5．已知二次函數(shù)，當x＝－3時，有最大值－1，且當x＝0時，y＝3，求二次函數(shù)的關系式．解法1：設所求二次函數(shù)關系式為y＝ax2＋bx＋c，因為圖象過點(0，3)，所以c＝3，又由于二次函數(shù)當x＝－3時，有最大值－1，可以得到：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)＝－3,\f(12a－b2,4a)＝－1))解這個方程組，得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(4,9),b＝\f(8,3)))所以，所求二次函數(shù)的關系式為y＝eq\f(4,9)x2＋eq\f(8,3)x＋3.解法2：所求二次函數(shù)關系式為y＝a(x＋h)2＋k，依題意，得y＝a(x＋3)2－1，因為二次函數(shù)圖象過點(0，3)，所以有3＝a(0＋3)2－1解得a＝eq\f(4,9)，所以，所求二次函數(shù)的關系為y＝eq\f(4,9)(x＋3)2－1，即y＝eq\f(4,9)x2＋eq\f(8,3)x＋3.【教學說明】凡是能用“頂點式”確定的，一定可用“一般式”確定，進一步明確兩種表達式只是形式的不同和沒有本質(zhì)的區(qū)別；在做題時，不僅會使用