2022-2023學(xué)年廣東省梅州市豐順縣東海中學(xué)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.如圖所示的幾何體的主視圖是()

A.

B.

C.

D.

2.用配方法解方程，變形后的結(jié)果正確的是()

A.B.C.D.

3.如圖，在平行四邊形中，、是上兩點(diǎn)，，連接、、、，添加一個條件，使四邊形是矩形，這個條件是()

A.B.

C.D.

4.如圖所示，是的角平分線，交于，交于，則四邊形為()

A.矩形

B.正方形

C.菱形

D.不是平行四邊形

5.已知點(diǎn)是一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)，當(dāng)一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值時，的取值范圍是()

A.或B.

C.或D.

6.如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形的邊在軸上，邊在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將矩形沿對角線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，且交軸于點(diǎn)，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.

B.

C.

D.

7.有四張質(zhì)地相同的卡片，它們的背面相同，其中兩張的正面印有“粽子”的圖標(biāo)，另外兩張的正面印有“龍舟”的圖案，現(xiàn)將它們背面朝上，洗均勻后排列在桌面，任意翻開兩張，那么兩張圖案一樣的概率是()

A.B.C.D.

8.在中，隨的增大而減小，，則在同一平面直角坐標(biāo)系中，和的圖象大致為()

A.B.

C.D.

9.在數(shù)學(xué)拓展課折疊矩形紙片上，小林折疊矩形紙片進(jìn)行如下操作：把翻折，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕交邊于點(diǎn)；把翻折，點(diǎn)落在邊長的點(diǎn)處，折痕交邊于點(diǎn)若，，則的值是()

A.B.C.D.

10.對角線長分別為和的菱形如圖所示，點(diǎn)為對角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)折疊菱形，使，兩點(diǎn)重合，是折痕．若，則的長為()

A.

B.

C.

D.

二、填空題（本大題共7小題，共28.0分）

11.順次連接矩形四邊中點(diǎn)所得的四邊形必定是______．

12.以下給出的幾何體：球、正方體、圓柱、圓錐中，主視圖是矩形，俯視圖是圓形的是______．

13.如圖，直線，點(diǎn)，分別在直線，上，且，直線交線段于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，是射線上一點(diǎn)，連接，若，，，是等腰直角三角形，則的值為______．

14.一個正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，則的值為______．

15.在元旦前夕，某通訊公司的每位員工都向本公司的其他員工發(fā)出了條祝賀元旦的短信．已知全公司共發(fā)出條短信，那么這個公司有員工______人．

16.如圖，點(diǎn)是矩形的對角線的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，則的長為______．

17.如圖，直線，，，分別為直線，，上的動點(diǎn)，連接，，，線段交直線于點(diǎn)設(shè)直線，之間的距離為，直線，之間的距離為，若，，且，則的最大值為______．

三、計算題（本大題共1小題，共6.0分）

18.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

．

．

四、解答題（本大題共7小題，共56.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

19.本小題分

在一個不透明的紙箱里裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球，它們除顏色外完全相同，其中紅球有個，黃球有個，藍(lán)球有個．現(xiàn)有一張電影票，小明和小亮決定通過摸球游戲定輸贏贏的一方得電影票游戲規(guī)則是：兩人各摸次球，先由小明從紙箱里隨機(jī)摸出個球，記錄顏色后放回，將小球搖勻，再由小亮隨機(jī)摸出個球．若兩人摸到的球顏色相同，則小明贏，否則小亮贏．這個游戲規(guī)則對雙方公平嗎？請你利用樹狀圖或列表法說明理由．

20.本小題分

為觀看世界杯決賽，名球迷分別乘坐兩輛小汽車于某日凌晨一起趕往飛機(jī)場，其中一輛小汽車在距機(jī)場千米的地方出了故障，此時距規(guī)定到達(dá)機(jī)場的時間僅剩分鐘，但唯一可以使用的交通工具只剩一輛小汽車，連司機(jī)在內(nèi)限坐人這輛汽車分兩批送這人去機(jī)場，平均速度千米時．

方案一：小汽車送走第一批人后，第二批人在原地等待汽車返回接送，那么所有人趕到機(jī)場共需______分鐘，______能不能在規(guī)定時間內(nèi)趕到機(jī)場；

方案二：小汽車送走第一批人的同時，第二批人以千米時的平均速度往機(jī)場方向步行，等途中遇到返回的汽車時再上車前行，那么所有人趕到機(jī)場共需______小時，______能不能在規(guī)定時間內(nèi)趕到機(jī)場．

21.本小題分

如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在的延長線上，且．

求證：∽；

若，，，求的長．

22.本小題分

如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交，其中一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．

求的值；

若將一次函數(shù)的圖象向下平移個單位長度，平移后所得到的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)，求此時線段的長．

23.本小題分

某商品的進(jìn)價為每件元，售價為每件元，每個月可賣出件；如果每件商品的售價每上漲元，則每個月少賣件每件售價不能高于元設(shè)每件商品的售價上漲元為正整數(shù)，每個月的銷售利潤為元．

求與的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量的取值范圍；

每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？

每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為元？根據(jù)以上結(jié)論，請你直接寫出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于元？

24.本小題分

【問題情境】

如圖，四邊形是正方形，是邊上的一點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，平分．

【探究展示】

證明：；

是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

【拓展延伸】

若四邊形是長與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖，探究展示、中的結(jié)論是否成立？請分別作出判斷，不需要證明．

25.本小題分

在圖，，中，已知，，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，連接，以為邊向上作菱形，且．

如圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，______；

如圖，連接．

填空：______填“”，““，“”；

求證：點(diǎn)在的平分線上；

如圖，連接，，并延長交的延長線于點(diǎn)，當(dāng)四邊形是平行四邊形時，求的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：從正面看，是一個“田”字．

故選：．

找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中．

本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．

2.【答案】

【解析】解：，

，

，

，

故選：．

根據(jù)解一元二次方程的配方法即可求出答案．

本題考查一元二次方程的解法配方法，解題的關(guān)鍵是掌握解一元二次方程的配方法的步驟和完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．

3.【答案】

【解析】解：添加一個條件，使四邊形是矩形，這個條件是，理由如下：

四邊形是平行四邊形，

，，

對角線上的兩點(diǎn)、滿足，

，

即，

四邊形是平行四邊形，

，

，

四邊形是矩形．

故選：．

由平行四邊形的性質(zhì)可知，，，再證，則四邊形是平行四邊形，然后證，即可得出結(jié)論．

本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

4.【答案】

【解析】解：，，

四邊形是平行四邊形，，

是的角平分線，

，

，

，

平行四邊形是菱形，

故選：．

先證四邊形是平行四邊形，，再證，則，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論．

本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定等知識，熟練掌握菱形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

5.【答案】

【解析】解：點(diǎn)是一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)，

代入得：，，

解得：，，

即，，

解方程組得：，，

即兩函數(shù)的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)是，

當(dāng)一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值時，的取值范圍是或，

故選：．

把點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩函數(shù)的解析式，求出和，再求出兩函數(shù)組成的方程組的解，再根據(jù)兩函數(shù)的圖象和性質(zhì)得出即可．

本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象，用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式，解方程組等知識點(diǎn)，能求出兩函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵．

6.【答案】

【解析】解：如圖，過作于，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，，

根據(jù)折疊可知：，

而，，

≌，

，，

設(shè)，那么，，

在中，，

，

，

又，

，

∽，

而，

，

，

即，

，，

，

的坐標(biāo)為

故選：．

如圖，過作于，根據(jù)折疊可以證明≌，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到，，設(shè)，那么，，利用勾股定理即可求出的長度，而利用已知條件可以證明∽，而，接著利用相似三角形的性質(zhì)即可求出、的長度，也就求出了的坐標(biāo)．

此題主要考查了圖形的折疊問題，也考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把握折疊的隱含條件，利用隱含條件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它們的性質(zhì)即可解決問題．

7.【答案】

【解析】解：列樹狀圖得：

共有種情況，兩張圖案一樣的有種情況，所以概率是，故選A．

列舉出所有情況，看所求的情況占總情況的多少即可．

如果一個事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現(xiàn)種結(jié)果，那么事件的概率注意本題是不放回實(shí)驗(yàn)．

8.【答案】

【解析】解：在中，隨的增大而減小，

，

函數(shù)圖象在二、四象限，

，

，

函數(shù)的圖象在一、三象限，

故選：．

先根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)判斷出的符號，即可根據(jù)判斷的符號，再根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．

本題考查的是正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知正比例函數(shù)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．

9.【答案】

【解析】解：四邊形是矩形，

，，，

由翻折可知：，，，，

，

在中，，

，

設(shè)，在中：，

，

設(shè)，在中，，

，

，

，

故選：．

依據(jù)折疊的性質(zhì)以及勾股定理可得，即可得到，設(shè)，在中：，求得，設(shè)，在中，，求得，即可得到的值．

本題考查矩形的性質(zhì)，翻折變換等知識，解題時常設(shè)要求的線段長為，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．

10.【答案】

【解析】解：連接、，如圖，

點(diǎn)為菱形的對角線的交點(diǎn)，

，，，

在中，，

，

，

在和中，

，

≌，

，

過點(diǎn)折疊菱形，使，兩點(diǎn)重合，是折痕，

，

，

，

故選：．

連接、，利用菱形的性質(zhì)得，，，再利用勾股定理計算出，由證得≌得到，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)得，則，即可得出結(jié)果．

本題考查了折疊的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握折疊與菱形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．

11.【答案】菱形

【解析】解：如圖，連接、，

、、、分別是矩形的、、、邊上的中點(diǎn)，

，三角形的中位線等于第三邊的一半，

矩形的對角線，

，

四邊形是菱形．

故答案為：菱形．

作出圖形，根據(jù)三角形的中位線定理可得，，再根據(jù)矩形的對角線相等可得，從而得到四邊形的四條邊都相等，然后根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形解答．

本題考查了中點(diǎn)四邊形，三角形的中位線定理，菱形的判定，矩形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出三角形，然后利用三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．

12.【答案】圓柱

【解析】解：俯視圖是圓的有球、圓柱、圓錐，

主視圖是矩形的有正方體、圓柱，

故答案為：圓柱．

根據(jù)三視圖的基本知識，分析各個幾何體的三視圖然后可解答．

本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關(guān)鍵．注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在三視圖中．

13.【答案】或或

【解析】解：，，

，

為直角三角形，

在中，，，

由勾股定理得：，

，

是等腰直角三角形，

有以下三種情況：

當(dāng)，時，如圖：

，

又，

，

在和中，

，

≌，

，

在中，，，

由勾股定理得：，

，

整理得：，

解得：，不合題意，舍去，

當(dāng)，時，

過點(diǎn)作于，則，如圖：

同理：≌，

，

在中，，，

由勾股定理得：，

在中，，

由勾股定理得：，

，

，

，

整理得：，

解得：，不合題意，舍去，

當(dāng)，時，

過點(diǎn)作，則，如圖：

同理：≌，

，

在中，，，

由勾股定理得：，

，

整理得：，

解得：，不合題意，舍去．

綜上所述：當(dāng)是等腰直角三角形，則的值為或或．

先在中求出，再根據(jù)，得，然后由是等腰直角三角形，分三種情況討論如下：

當(dāng)，時，證和全等得，然后在中由勾股定理構(gòu)造關(guān)于的方程，再解方程求出即可；

當(dāng)，時，過點(diǎn)作于，則，同理可證和全等得，然后在中由勾股定理構(gòu)造關(guān)于的方程，再解方程求出即可；

當(dāng)，時，過點(diǎn)作，則，同理可證和全等得，然后在中由勾股定理構(gòu)造關(guān)于的方程，再解方程求出即可，綜上所述即可得的值．

此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線間的距離，勾股定理，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法與技巧，難點(diǎn)是根據(jù)是等腰直角三角形進(jìn)行分類討論，漏解是解答此題的易錯點(diǎn)之一．

14.【答案】

【解析】解：兩點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，

，，且，，

，

，

，

，

故答案為：．

先根據(jù)解析式及圖象上的點(diǎn)，則坐標(biāo)滿足解析式，得：，，由正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，得：，，將所求的式子化簡后代入可得結(jié)論．

本題考查了反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，明確正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱．

15.【答案】

【解析】解：設(shè)這個公司有員工人，則每人需發(fā)送條祝賀元旦的短信，

依題意，得：，

解得：，不合題意，舍去．

故答案為：．

設(shè)這個公司有員工人，則每人需發(fā)送條祝賀元旦的短信，根據(jù)全公司共發(fā)出條短信，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．

16.【答案】

【解析】解：四邊形是矩形，

，

是矩形的對角線的中點(diǎn)，，

是的中位線，

，

，

，

，

，

故答案為：

已知是的中位線，再結(jié)合已知條件則的長可求出，所以利用勾股定理可求出的長，由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)則的長即可求出．

本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)以及三角形的中位線的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出的長．

17.【答案】

【解析】解：解：過作于，延長交于，過作于，過作于，

設(shè)，，，，

，

，，

，

，

，

∽，

，即，

，

，

∽，

，即，

，

，

，

，

，

，

當(dāng)時，，

的最大值，

故答案為：．

過作于，延長交于，過作于，過作于，設(shè)，，，，得到，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，，由可得，由，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求的最大值，即可求解．

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

18.【答案】解：移項(xiàng)，得，

所以，

所以．

所以，．

，

．

．

或．

，．

【解析】利用直接開平方法求解比較簡便；

利用因式分解法求解比較簡便．

本題考查了解一元二次方程，掌握直接開平方法、因式分解法是解決本題的關(guān)鍵．

19.【答案】解：此游戲不公平．

理由如下：列樹狀圖如下，

列表如下，

由上述樹狀圖或表格知：所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有種．

小明贏，小亮贏．

此游戲?qū)﹄p方不公平，小亮贏的可能性大．

說明：答題時只需用樹狀圖或列表法進(jìn)行分析即可

【解析】游戲是否公平，關(guān)鍵要看游戲雙方獲勝的機(jī)會是否相等，即判斷雙方取勝的概率是否相等，或轉(zhuǎn)化為在總情況明確的情況下，判斷雙方取勝所包含的情況數(shù)目是否相等．

本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．

20.【答案】不能能

【解析】解：所有人趕到機(jī)場共需：

，

，

，

這名球迷不能在規(guī)定時間內(nèi)趕到機(jī)場；

故答案為：，不能；

設(shè)第二批人走了小時后與小汽車相遇，

根據(jù)題意得，

，

解得：，

第二批人坐上小汽車前共走了，

第二批人坐上小汽車后到機(jī)場用時，

則所有人趕到機(jī)場共需，

，

能在規(guī)定時間內(nèi)趕到機(jī)場．

故答案為：，能．

小汽車送完所有人后一共行駛了千米，根據(jù)時間路程速度求出所需的時間，再與規(guī)定到達(dá)機(jī)場的時間進(jìn)行比較即可解答；

設(shè)第二批人走了小時后與小汽車相遇，根據(jù)“第二批人走的路程小汽車行駛的路程”列出方程解出，再求出第二批人坐上小汽車后到機(jī)場所需時間，即可求出所有人趕到機(jī)場所需時間，再與規(guī)定到達(dá)機(jī)場的時間進(jìn)行比較即可解答．

本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)“路程速度時間”找到正確的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．

21.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，

，．

，．

又，

．

∽；

∽，

，

四邊形是平行四邊形，

．

．

．

．

【解析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行四邊形的性質(zhì)得出，．

由平行四邊形的性質(zhì)可知，所以，，又因?yàn)橛?，進(jìn)而可證明：∽；

由可知：∽，所以，由平行四邊形的性質(zhì)可知，所以，代入計算即可．

22.【答案】解：將代入，

交點(diǎn)的坐標(biāo)為，

將代入，

解得：；

將一次函數(shù)的圖象向下平移個單位長度得到，

由，

解得：或，

，，

．

【解析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，體現(xiàn)了方程思想，綜合性較強(qiáng)．

將代入，故其中交點(diǎn)的坐標(biāo)為，將代入反比例函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

一次函數(shù)的圖象向下平移個單位得到，一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式聯(lián)立，解方程組求得、的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理即可求解．

23.【答案】解：由題意得：

且為整數(shù)；

由中的與的解析式配方得：．

，當(dāng)時，有最大值．

，且為整數(shù)，

當(dāng)時，，元，當(dāng)時，，元

當(dāng)售價定為每件或元，每個月的利潤最大，最大的月利潤是元．

當(dāng)時，，解得：，．

當(dāng)時，，當(dāng)時，．

當(dāng)售價定為每件或元，每個月的利潤為元．

當(dāng)售價不低于元且不高于元且為整數(shù)時，每個月的利潤不低于元．

當(dāng)售價不低于元且不高于元且為整數(shù)時，每個月的利潤不低于元或當(dāng)售價分別為，，，，，，，，，元時，每個月的利潤不低于元．

【解析】根據(jù)題意可知與的函數(shù)關(guān)系式．

根據(jù)題意可知，當(dāng)時有最大值．

設(shè)，解得的值．然后分情況討論解．

本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題，是一道綜合題．

24.【答案】方法一：

解：如圖過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，

平分，

在和中，

，，

，

≌

，，

在中，

≌，

，；

方法二：

證明：延長、交于點(diǎn)，如圖，

四邊形是正方形，．

，

平分，

．

．

．

在和中，

≌，．

．

成立．

方法一：

證明：將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到新，如圖，

，．

，．

，

．

．

方法二：

證明：過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，如圖所示．

四邊形是正方形，

，，．

，．

．

在和中，

≌．

，．

，．

，

．

．

．

結(jié)論仍然成立．結(jié)論不成立．

【解析】

【分析】

本題考查了正方形及矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識，考查了基本模型的構(gòu)造平行