第二篇函數(shù)與導數(shù)專題4不等式微點8高考題、強基題中的重要不等式專題綜合訓練

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不等式微點8

高考題、強基體中的重要不等式專題綜合訓練1．設，且，試求的取值范圍．【答案】【分析】由柯西不等式求解即可.【詳解】由柯西不等式得：，即，從而．當，，時，；當，，時，．所以的取值范圍是．2．若實數(shù)x、y、z滿足（a為常數(shù)），求的最小值．【答案】【分析】利用柯西不等式進行解答即可.【詳解】因為，所以，即，當且僅當時等號成立，故，即的最小值為．3．設a，b，c都是正數(shù)，求證：.【答案】見解析【分析】由，利用柯西不等式，即可作出證明．【詳解】證：因為所以.【點睛】本題主要考查了利用柯西不等式的證明問題，其中解答中合理化簡，利用柯西不等式證明是解答的關鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎題．4．設、、…、是正數(shù)、、…、的一個排列，求證：．【答案】證明見解析【分析】不妨設，再利用排序不等式證明.【詳解】不妨設，則．又、、…、是、、…、的任意一個排列，故．即.故原題得證.（2008年江蘇省數(shù)學高考試題）5．已知，求證.【答案】證明見解析.【分析】利用基本不等式證得不等式成立【詳解】，要使兩個不等號同時成立，則需且，即時等號成立.所以.6．在實數(shù)集內(nèi)解方程組.【答案】，，【分析】根據(jù)柯西不等式結合已知方程組，由不等式的取等條件即可求得實數(shù)集內(nèi)方程組的解.【詳解】由柯西不等式，得．（1）因為且，所以．即不等式（1）中只有等號成立，從而由柯西不等式中等號成立的條件，得．它與聯(lián)立，解得，，．7．已知，且．求證．【答案】證明見解析【分析】由排序不等式結合柯西不等式證明即可.【詳解】證明：令，由同序和≥混序和得，，，把以上四式相加得．由柯西不等式可得．所以．即．8．已知實數(shù)滿足，設．(1)求的最小值；(2)當時，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由柯西不等式即可求解的最小值；（2）利用柯西不等式即可求得的取值范圍．【詳解】（1）因為，所以，當且僅當時，t的最小值為．（2）由，得，解得．9．設，，求證：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）設分離常數(shù)得，再結合已知等式利用柯西不等式求得，從而可證得結論；（2）利用柯西不等式證明結論即可.【詳解】（1）證明：．因為，，所以，得，即，當且僅當時，取到等號．（2）證明：因為，，由柯西不等式得，所以，當且僅當時，取到等號．10．（1）設，，是正實數(shù)，且滿足，證明：；（2）設，，為正實數(shù)，證明：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【分析】（1）設，所證不等式轉化為，結合均值不等式即可證得結論；（2）結合均值不等式與柯西不等式證明即可.【詳解】證明：（1）設，不等式可變?yōu)椋捎?，；；，以?個式子相乘即可證得結論．（2）因為，，相加得，所以．．證畢．11．利用麥克勞林替代法證明均值不等式：．【答案】證明見解析【分析】若保持，以分別代替和，這時兩個數(shù)的和仍然是S，但兩個數(shù)的積卻增加了，即有，由于表示兩個數(shù)的算術平均值大于幾何平均值，且當兩個數(shù)相等時等號成立．【詳解】證明：當變動，，…，，但保持它們的和不變時，乘積必須在時取極大值．因為只要，我們用分別代替和，這時和仍然不變，但它們的乘積卻增加了，即有：．當且僅當時，．故（，，2，…，n），即命題成立．12．利用證明均值不等式：．【答案】證明見解析【分析】由不等式得，累乘得，即可證得結論.【詳解】證明：設，，由不等式，可知，對于每一i都有：，，2，…，n．求其乘積，得，故，即（，，2，…，n）．13．利用不等式證明均值不等式：．【答案】證明見解析【分析】假設，．當時，等號顯然成立．只需要證，式中是不全相等的n個正數(shù)．再利用不等式以及數(shù)學歸納法證明.【詳解】證明：假設，．要證（，，2，…，n，），當時，等號顯然成立．故只需要證，式中是不全相等的n個正數(shù)．利用不等式以及數(shù)學歸納法證