【解析】2023年浙教版數(shù)學(xué)九年級上冊4.1 比例線段 同步測試（培優(yōu)版）

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2023年浙教版數(shù)學(xué)九年級上冊4.1比例線段同步測試（培優(yōu)版）

一、選擇題（每題3分，共30分）

1．（2023九上·句容競賽）已知abc0，而且，那么直線y=px+p一定通過（）

A．第一、二象限B．第二、三象限

C．第三、四象限D(zhuǎn)．第一、四象限

2．（2023·合肥模擬）如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，若AD：BD=2：1，點(diǎn)G在DE上，DG：GE=1：2，連接BG并延長交AC于點(diǎn)F，則AF：EF等于（）

A．1：1B．4：3C．3：2D．2：3

3．（2022·臨清模擬）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是（）（精確到0.01．參考數(shù)據(jù)：，，）

A．B．C．D．

4．（2022九上·惠陽月考）已知線段a、b，求作線段x，使，正確的作法是（）

A．B．

C．D．

5．（2022九上·奉賢期中）已知：線段a，b，c，求作線段x，使x＝，以下作法正確的是（）

A．B．

C．D．

6．（2022九上·奉賢期中）已知線段a，b，c，求作線段x，使，下列作法中正確的是（）

A．B．

C．D．

7．（2022九上·定海期中）在比例尺為1：100000的地圖上，甲、乙兩地圖距是2cm，它的實(shí)際長度約為（）

A．100kmB．2000mC．10kmD．20km

8．（2023九上·楊浦期末）已知點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，線段是和的比例中項(xiàng)，下列結(jié)論中，正確的是（）

A．B．C．D．

9．（2023·天門模擬）如圖，將的圓周分成五等分（分點(diǎn)為A、B、C、D、E），依次隔一個(gè)分點(diǎn)相連，即成一個(gè)正五角星形.小張?jiān)谥茍D過程中，驚訝于圖形的奇妙，于是對圖形展開了研究，得到：點(diǎn)M是線段AD、BE的黃金分割點(diǎn)，也是線段NE、AH的黃金分割點(diǎn).在以下結(jié)論中，不正確的是（）

A．B．C．D．

10．（2023·瀘縣）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問題：點(diǎn)G將一線段分為兩線段，，使得其中較長的一段是全長與較短的段的比例中項(xiàng)，即滿足，后人把這個(gè)數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點(diǎn)G稱為線段的“黃金分割”點(diǎn)．如圖，在中，已知，，若D，E是邊的兩個(gè)“黃金分割”點(diǎn)，則的面積為（）

A．B．C．D．

二、填空題（每空3分，共18分）

11．（2023九上·大邑期中）已知a、b、c、滿足，從下列四點(diǎn)：①；②(2，1)；③；④(1，﹣1)，中任意取一點(diǎn)恰好在正比例函數(shù)y＝kx圖象上的概率是.

12．（2023九上·大邑期中）在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于

的一次函數(shù)

，其中常數(shù)k滿足

，常數(shù)b滿足b＞0且b是2和8的比例中項(xiàng)，則該一次函數(shù)

的解析式為．

13．（2022九上·大田期中）將2，3，4，6這四個(gè)數(shù)隨機(jī)排列，排列結(jié)果記為，，，.則，，，成比例的概率為.

14．（2023九上·江油期中）如圖，線段AB的長為1，C在AB上，D在AC上，且，，，則AE的長為．

15．（2023九上·嘉祥期中）同學(xué)們學(xué)習(xí)了線段的黃金分割之后，曾老師提出了一個(gè)新的定義：點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，若＝kn，則稱點(diǎn)C為線段AB的“近A，n階黃金分割點(diǎn)”．例如：若＝k2，則稱點(diǎn)C為線段AB的“近A，2階黃金分割點(diǎn)”；若＝k3，則稱點(diǎn)C為線段AB的“近A，3階黃金分割點(diǎn)”．若點(diǎn)C為線段AB的“近A，6階黃金分割點(diǎn)”時(shí)，k6＝．

16．（2023·遼陽）勾股定理與黃金分割是幾何中的雙寶，前者好比黃金，后者堪稱珠玉．生活中到處可見黃金分割的美．如圖，線段AB=1，點(diǎn)P1是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP1＜BP1），點(diǎn)P2是線段AP1的黃金分割點(diǎn)（AP2＜P1P2），點(diǎn)P3是線段AP2的黃金分割點(diǎn)（AP3＜P2P3），…，依此類推，則APn的長度是．

三、解答題（共9題，共72分）

17．若a、b、c是非零實(shí)數(shù)，且滿足，直線y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)（4，0），求直線y=kx+b與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積．

18．已知線段a，b，c滿足，且a＋2b＋c＝26.

（1）判斷a，2b，c，b2是否成比例；

（2）若實(shí)數(shù)x為a，b的比例中項(xiàng)，求x的值．

19．（2023九上·越城期末）

（1）已知，求的值；

（2）將的圖象先向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，求兩次平移后所得到的拋物線解析式.

20．（2022九上·晉州期中）已知：a，b，c三個(gè)數(shù)滿足關(guān)系式．

（1）填空：：4：．

（2）若，試求出的值．

（3）在（2）的基礎(chǔ)上，若點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖像上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)向軸引垂線，垂足為，請直接寫出的面積．

21．如圖，在中，，BD是AC邊上的高，已知BC=5厘米，AC=13厘米．求：

（1）

（2）

（3）再找兩條線段和AB、BC構(gòu)成比例線段．

22．如圖，在線段AB上存在一點(diǎn)C，滿足AC∶CB＝CB∶AB＝k.

（1）求k的值；

（2）如果三條線段a，b，c滿足a∶b＝b∶c＝k，問這三條線段能否構(gòu)成三角形，如果能，請指出三角形的形狀；如果不能，請說明理由．

23．（2023·黃埔模擬）如圖1所示，點(diǎn)C把線段分成與，若，則稱線段被點(diǎn)C黃金分割（goldensection），點(diǎn)C叫做線段的黃金分割點(diǎn)，與的比叫做黃金比．

（1）根據(jù)上述定義求黃金比；

（2）在圖2中，利用尺規(guī)按以下步驟作圖，井保留作圖痕跡．①作線段的垂直平分線，得線段的中點(diǎn)M；②過點(diǎn)B作垂線l；③以點(diǎn)B為圓心，以為半徑作圓交l于N；④連接、，以N為圓心，以為半徑作圓交于P；⑤以點(diǎn)A為圓心，以為半徑作圓交于C．

（3）證明你按以上步驟作出的C點(diǎn)就是線段的黃金分割點(diǎn)．

24．（2023九上·湖北月考）定義：如圖1，點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)，如果=k，那么我們稱點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，叫做黃金分割數(shù).

（1）理解：利用圖1，運(yùn)用一元二次方程的知識，求證：黃金分割數(shù)；

（2）應(yīng)用：如圖2，拋物線y＝x2+nx＋2n（n<0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（OA<OB），若原點(diǎn)O是線段AB的黃金分割點(diǎn)，①求線段AB的長；②直接寫出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo).

25．如圖，點(diǎn)B在線段AC上的黃金分割點(diǎn)，且AB＞BC．

（1）設(shè)AC=2，完成下面填空

設(shè)AB=x，則BC=2﹣x

∵點(diǎn)B在線段AC上的黃金分割點(diǎn)，且AB＞BC，

∴，可列方程為，

解得方程的根為，于是，AB的長為．

（2）在線段AC（如圖1）上利用三角板和圓規(guī)畫出點(diǎn)B的位置（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（3）若m、n為正實(shí)數(shù)，t是關(guān)于x的方程x2+2mx=n2的一正實(shí)數(shù)根，

①求證：（t+m）2=m2+n2；

②若兩條線段的長分別為m、n（如圖2），請畫出一條長為t的線段（保留作圖痕跡，不寫作法）．

答案解析部分

1．【答案】B

【知識點(diǎn)】一次函數(shù)的圖象；比例的性質(zhì)

【解析】【解答】由條件得：①a+b=pc，②b+c=pa，③a+c=pb，

三式相加得2（a+b+c）=p（a+b+c）．

∴有p=2或a+b+c=0．

當(dāng)p=2時(shí)，y=2x+2．則直線通過第一、二、三象限．

當(dāng)a+b+c=0時(shí)，不妨取a+b=-c，于是p==-1，（c≠0），

∴y=-x-1，

∴直線通過第二、三、四象限．

綜合上述兩種情況，直線一定通過第二、三象限．

答案為：B．

【分析】可分a+b+c=0與不等于0，兩種情況，再利用等比性質(zhì)，可求出p值為2或-1，進(jìn)而得出答案.

2．【答案】C

【知識點(diǎn)】比例的性質(zhì)；比例線段

【解析】【解答】解：

作DH//BF交AC于H

設(shè)HF=a，則AH=2a

故答案為C

【分析】作平行線，利用相似三角形等比例關(guān)系即可求出答案。

3．【答案】B

【知識點(diǎn)】比例的性質(zhì)

【解析】【解答】設(shè)雕像的下部高為xm，則上部長為，

∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，高度為，

∴，

∴，

解得：（舍）或，

∴．

故答案為：B．

【分析】設(shè)雕像的下部高為xm，則上部長為，根據(jù)題意列出方程可得，再求出x的值即可。

4．【答案】C

【知識點(diǎn)】比例的性質(zhì)

【解析】【解答】解：由題意，

∴，

∵線段x沒法先作出，

根據(jù)平行線分線段成比例定理，只有C符合．

故答案為：C．

【分析】利用平行線分線段成比例的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可。

5．【答案】B

【知識點(diǎn)】比例線段

【解析】【解答】解：由A得，，則x＝，不符合題意；

由B得，，則x＝，符合題意；

由C得，，則x＝，不符合題意；

由D得，，則x＝，不符合題意；

故答案為：B．

【分析】利用比例線段的性質(zhì)求出各項(xiàng)中x的值，再求解即可。

6．【答案】D

【知識點(diǎn)】比例線段

【解析】【解答】解：A、，即，但x是未知線段，不能畫出，故不符合題意；

B、，即，不符合題意；

C、，即，不符合題意；

D、，即，符合題意；

故答案為：D．

【分析】根據(jù)比例線段的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可。

7．【答案】B

【知識點(diǎn)】比例線段

【解析】【解答】解：設(shè)實(shí)際長度為xcm，

∴比例尺=，

∴x=200000cm=2000m，

∴它的實(shí)際長度約為2000m，

故答案為：B.

【分析】設(shè)實(shí)際長度為xcm，根據(jù)比例尺=列出比例式，求出x的值，即可得出答案.

8．【答案】C

【知識點(diǎn)】比例線段

【解析】【解答】解：設(shè)AB=1，AP=x，則PB=1－x，

∵線段是和的比例中項(xiàng)，

∴AP2=PB·AB，即x2=1－x，

∴x2+x－1=0，

解得：，（舍去），

∴PB=1－=，

∴，，，，

故答案為：C．

【分析】先求出x2=1－x，再求出PB的值，最后計(jì)算求解即可。

9．【答案】C

【知識點(diǎn)】圓內(nèi)接正多邊形；黃金分割

【解析】【解答】解：如圖，連接AB，BC，CD，DE，EA，

∵點(diǎn)M是線段AD、BE的黃金分割點(diǎn)，也是線段NE、AH的黃金分割點(diǎn)，

∴，

∵AB=BC=CD=DE=EA，

∴∠DAE=∠AEB，

∴AM=ME，

∴，

∴A正確，不符合題意；

∵點(diǎn)M是線段AD、BE的黃金分割點(diǎn)，也是線段NE、AH的黃金分割點(diǎn)，

∴點(diǎn)F是線段BD的黃金分割點(diǎn)，

∴，

∵AB=BC=CD=DE=EA，∠BCD=∠AED，

∴△BCD≌△AED，

∴AD=BD，

∴，

∴B正確，不符合題意；

∵AB=BC=CD=DE=EA，∠BAE=108°，

∴∠BAC=∠CAD=∠DAE，

∴∠CAD=36°，

∴D正確，不符合題意；

∵∠CAD=36°，AN=BN=AM=ME，

∴∠ANM=∠AMN=72°，

∴AM＞MN，

∴C錯(cuò)誤，符合題意；

故答案為：C.

【分析】連接AB，BC，CD，DE，EA，由黃金分割點(diǎn)可得，由圓周分成五等分可得AB=BC=CD=DE=EA，從而得出∠DAE=∠AEB，利用等角對等邊可得AM=ME，即可判斷A；由黃金分割點(diǎn)可得，再證△BCD≌△AED，可得AD=BD，即得，據(jù)此判斷B；根據(jù)正五邊形的性質(zhì)及弧、弦、圓周角的關(guān)系可得∠BAC=∠CAD=∠DAE=36°，據(jù)此判斷D；易求∠ANM=∠AMN=72°，可得AM＞MN，據(jù)此判斷C.

10．【答案】A

【知識點(diǎn)】三角形的面積；等腰三角形的性質(zhì)；黃金分割

【解析】【解答】解：過點(diǎn)A作AF⊥BC，

∵AB=AC，

∴BF=BC=2，

在Rt,AF=，

∵D是邊的兩個(gè)“黃金分割”點(diǎn)，

∴即，

解得CD=，

同理BE=，

∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，

∴DE=CD-CE=4-8，

∴S△ABC===，

故答案為：A.

【分析】作AF⊥BC，根據(jù)等腰三角形ABC的性質(zhì)求出AF的長，再根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義求出BE、CD的長度，得到中DE的長，利用三角形面積公式即可解題.

11．【答案】

【知識點(diǎn)】比例的性質(zhì)；正比例函數(shù)的定義；簡單事件概率的計(jì)算

【解析】【解答】解：∵a、b、c、滿足，

∴當(dāng)a+b+c=0時(shí)，k=﹣1，

此時(shí)正比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝-x，

將四個(gè)點(diǎn)代入，點(diǎn)④（1，﹣1）在正比例函數(shù)y＝﹣x的圖象上；

當(dāng)a+b+c≠0時(shí)，

k===，

∴正比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝x，

將四個(gè)點(diǎn)代入，點(diǎn)①和點(diǎn)②(2，1)在正比例函數(shù)y＝x的圖象上，

∴任意取一點(diǎn)恰好在正比例函數(shù)y＝kx圖象上的概率是，

故答案為：.

【分析】分兩種情況討論，結(jié)合比例式，當(dāng)a+b+c=0時(shí)，得出k=﹣1，當(dāng)a+b+c≠0時(shí)，求出k=，將四個(gè)點(diǎn)分別代入函數(shù)式求出k值，則可得出符合條件的情況數(shù)，然后利用概率公式計(jì)算即可.

12．【答案】或

【知識點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；比例的性質(zhì)

【解析】【解答】∵b是2和8的比例中項(xiàng)，

∴2：b=b：8，

解得b=

，

∵b＞0，

∴b=4，

∵，

∴

∴①+②+③，得a+b+c=2k(a+b+c)，

當(dāng)a+b+c

時(shí)，解得k=

，

當(dāng)a+b+c=0時(shí)，k=-1，

∴該一次函數(shù)

的解析式為

或

，

故答案為：

或

.

【分析】利用b＞0且b是2和8的比例中項(xiàng)求出b，利用

得到

，解出k的值，即可得到一次函數(shù)的解析式.

13．【答案】

【知識點(diǎn)】比例線段；等可能事件的概率

【解析】【解答】解：四個(gè)數(shù)隨機(jī)排列，第一個(gè)數(shù)有4種情況，第二個(gè)數(shù)有3種情況，第三個(gè)數(shù)有2種情況，第四個(gè)數(shù)有一種情況，一共有：種不同的排列方法，

能夠成比例的有：2、3、4、6；2、4、3、6；6、3、4、2；6、4、3、2；3、2、6、4；3、6、2、4；4、6、2、3；4、2、3、6；一共8種情況；

∴，

故答案為：.

【分析】將2，3，4，6這四個(gè)數(shù)隨機(jī)排列，第一個(gè)數(shù)有4種情況，第二個(gè)數(shù)有3種情況，第三個(gè)數(shù)有2種情況，第四個(gè)數(shù)有一種情況，一共有24種情況，其中a、b、c、d成比例的有8種，根據(jù)概率公式即可求解．

14．【答案】

【知識點(diǎn)】比例線段

【解析】【解答】解：設(shè)AC=x，則BC=AB-AC=1-x，

∵AC2=BCAB，

∴x2=1-x，

解得：（不合題意，舍去），

∴AC=，

∵AD2=CDAC，

∴同理可得AD=，

∵AE2=DEAD，

∴同理可得AE=；

故答案為：．

【分析】設(shè)AC=x，則BC=AB-AC=1-x，由AC2=BCAB建立方程并解之，即得AC=，再利用AD2=CDAC求出AD的長，最后利用AE2=DEAD即可求出AE的長.

15．【答案】

【知識點(diǎn)】黃金分割

【解析】【解答】解：由題意，點(diǎn)C為線段AB的“近A，6階黃金分割點(diǎn)”時(shí)，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

即：，

整理得：，

解得：或，

經(jīng)檢驗(yàn)，或是上述分式方程的解，

∵，

∴，

故答案為：．

【分析】由題意得，則，再由=，即得，整理得，再解方程即可.

16．【答案】

【知識點(diǎn)】黃金分割

【解析】【解答】解：∵線段AB=1，點(diǎn)P1是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP1＜BP1），∴BP1=AB=，∴AP1=1﹣=，

∵點(diǎn)P2是線段AP1的黃金分割點(diǎn)（AP2＜P1P2），

∴AP2=×=（）2，∴AP3=（）3，∴APn=（）n．故答案為（）n．

【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到BP1=AB=，則AP1=1﹣=，同理得到AP2=×=（）2，AP3=（）3，根據(jù)此規(guī)律得到APn=（）n．

17．【答案】解：∵∴a=（b+c）k，b=（a+c）k，c=（a+b）k，∴a+b+c=2（a+b+c）k，∴①當(dāng)a+b+c≠0時(shí)，k=，∴y=kx+b變?yōu)椋簓=x+b，∵經(jīng)過點(diǎn)（4，0），∴×4+b=0，b=-2，∴y=x-2，圖象如圖：S△ABO=×AO×BO=×2×4=4．②當(dāng)a+b+c=0時(shí)，a=-（b+c），k==-1同法可請求：y=-x+4，S△ADO=8，即直線y=kx+b與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積是4或8

【知識點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；比例的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題

【解析】【分析】根據(jù)已知可得出a=（b+c）k，b=（a+c）k，c=（a+b）k，就可得出a+b+c=2（a+b+c）k，再根據(jù)a+b+c=0和a+b+c≠0，可得出y=kx+b中的k的值，將（4，0）代入函數(shù)解析式求出b的值，從而可得到函數(shù)解析式，然后分別求出函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積。

18．【答案】（1）解：設(shè)，則a=3k，b=2k，c=6k，

又∵a+2b+c=26，

∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，

∴a=6，b=4，c=12；∴2b=8，b2=16∵a=6，2b=8，c=12，b2=16∴2bc=96，ab2=6×16=96∴2bc=ab2a，2b，c，b2是成比例的線段。

（2）解：∵x是a、b的比例中項(xiàng)，∴x2=6ab，

∴x2=6×4×6，

∴x=12．

【知識點(diǎn)】比例的性質(zhì)；比例線段

【解析】【分析】（1）設(shè)已知比例式的值為k，可得出a=3k，b=2k，c=6k，再代入a+2b+c=26，建立關(guān)于k的方程，求出kl的值，再求出2b、b2，然后利用成比例線段的定義，可判斷a，2b，c，b2是否成比例。

（2）根據(jù)實(shí)數(shù)x為a，b的比例中項(xiàng)，可得出x2=ab，建立關(guān)于x的方程，求出x的值。

19．【答案】（1）解：，

，

；

（2）解：，

將的圖象先向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后得到的拋物線的解析式為：.

【知識點(diǎn)】二次函數(shù)圖象的幾何變換；比例的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）將已知等式變形用含b的式子表示出a，進(jìn)而代入所求式子合并后約分即可；

（2）首先將解析式配成頂點(diǎn)式，進(jìn)而根據(jù)將拋物線y=a（x-h）2+k向左平移m（m＞0）個(gè)單位，所得新拋物線的解析式為y=a（x-h+m）2+k；將拋物線y=a（x-h）2+k向右平移m（m＞0）個(gè)單位，所得新拋物線的解析式為y=a（x-h-m）2+k；將拋物線y=a（x-h）2+k向上平移m（m＞0）個(gè)單位，所得新拋物線的解析式為y=a（x-h）2+k+m；將拋物線y=a（x-h）2+k向下平移m（m＞0）個(gè)單位，所得新拋物線的解析式為y=a（x-h）2+k-m，據(jù)此即可得出答案.

20．【答案】（1）6；3

（2）解：由（1）的結(jié)論，設(shè)，，，

∴，

∴．

（3）解：3

【知識點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；比例的性質(zhì)

【解析】【解答】（1）解：根據(jù)題意，設(shè)，

∴，，，

∴，，

∴，

∴答案是：6，3．

（3）解：根據(jù)題意得，如圖所示，

當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，且在反比例函數(shù)上，設(shè)，

∴，，

∴；

同理，當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，且在反比例函數(shù)上，設(shè)，且，

∴，，

∴，

綜上所述，的面積為3．

【分析】（1）設(shè)，求出a、b、c的值，再將其代入計(jì)算即可；

（2）設(shè)，，，將其代入計(jì)算即可；

（3）設(shè)，求出，設(shè)，求出即可。

21．【答案】（1）解：在中，，BC=5厘米，AC=13厘米，厘米．

（2）解：在中，

（3）解：∵AB：AC=BD：BC

∴和AB、BC構(gòu)成比例線段的兩條線段是AC，BD

【知識點(diǎn)】比例線段

【解析】【分析】（1）理由勾股定理求出AB的長，再求出AB與BC的比值。

（2）根據(jù)三角形的面積公式，可得等積式ABBC=ACBD，代入計(jì)算求出BD，再求出BD與AC的比值。

（3）根據(jù)線段的長，可得出和AB、BC構(gòu)成比例線段的兩條線段是AC，BD。

22．【答案】（1）解：設(shè)AB=a，BC=x，則AC=(a-x)，∵AC：CB=CB：AB，

即，解得：x=a，∴k=CB：AB=a：a=

（2）解：不能

理由：∵a∶b＝b∶c＝k

∴b=kc=c，a=kb=（）2c==

a+b=c

∴a、b、c不能構(gòu)成三角形

【知識點(diǎn)】比例線段；黃金分割

【解析】【分析】（1）設(shè)AB=a，BC=x，可表示出AC，再根據(jù)AC：CB=CB：AB，求出x的值，然后由k=CB：AB，求出k的值。

（2）根據(jù)a：b=b：c=k，分別求出a、b，可證得a+b=c，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)論。

23．【答案】（1）解：如圖，設(shè)，，．

由，得．∴，

即，

解這個(gè)方程，得，（不合題意，舍去）．

所以，黃金比

（2）解：如圖所示．

①作線段的垂直平分線，得線段的中點(diǎn)M；

②過點(diǎn)B作垂線l；

方法2：如圖所示，用圓規(guī)過點(diǎn)B作垂線l．

③以點(diǎn)B為圓心，以為半徑作圓交l于N；

④連接、，以N為圓心，以為半徑作圓交于P；

⑤以點(diǎn)A為圓心，以為半徑作圓交于C．

（3）解：設(shè)，由以上作法可知，，

在中，，

∴．

∴，所以點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)

【知識點(diǎn)】勾股定理；黃金分割

【解析】【分析】（1）設(shè)，，根據(jù)黃金分割的概念列出比例式，得到一元二次方程，解方程得到答案；

（2）根據(jù)要求作圖即可；

（3）設(shè)，根據(jù)題意表示出BN、NP，根據(jù)勾股定理求出AN，求出AC與AB的比值，根據(jù)黃金比值進(jìn)行判斷即可。

24．【答案】（1）證明：設(shè)，，則，

由得：，

即，

解得，

∵，

∴，

；

（2）解：①設(shè)，，則，，，

由二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系得：，是方程的兩根，

∴，，

∵原點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，且，

∴，即，

∴，

整理得：，

∴，

∴，

即；②，.

【知識點(diǎn)】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；黃金分割

【解析】【解答】（2）②由（2）①得：，

由黃金分割點(diǎn)的定義得：，

解得，

則，

故，.

【分析】（1）設(shè)，，從而可得，再根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義建立方程，然后利用公式法解一元二次方程即可得；

（2）①設(shè)，，從而可得，，，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，然后根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義可得，從而可得，由此化簡即可得；②根據(jù)①的結(jié)論，利用黃金分割點(diǎn)的定義分別求出OA、OB的長，由此即可得.

25．【答案】（1）；；x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；﹣1+

（2）解：作圖見下圖1：

（3）①證明：解關(guān)于x的方程x2+2mx=n2：

x2+2mx+m2=m2+n2

（x+m）2═m2+n2，

∵t是關(guān)于x的方程x2+2mx=n2的一正實(shí)數(shù)根，

∴（t+m）2=m2+n2

②解：圖見下圖

【知識點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；黃金分割

【解析】【解答】解：（1.）設(shè)AB=x，則BC=2﹣x

∵點(diǎn)B在線段AC上的黃金分割點(diǎn)，且AB＞BC，

∴，

可列方程為：，

解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，

∴AB的長為：﹣1+；

故答案為：，，x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，﹣1+；

（2.）作圖見下圖1：

（3.）②作圖見下圖

【分析】（1）若點(diǎn)B在線段AC上的黃金分割點(diǎn)，且AB＞BC，則，設(shè)AB=x，則BC=2﹣x代入求值即可．（2）①利用勾股定理畫出，再在長為的線段上截取長為1的線段，剩余部分就是．②根據(jù)配方法解該方程的根即可，作圖與①雷同．

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2023年浙教版數(shù)學(xué)九年級上冊4.1比例線段同步測試（培優(yōu)版）

一、選擇題（每題3分，共30分）

1．（2023九上·句容競賽）已知abc0，而且，那么直線y=px+p一定通過（）

A．第一、二象限B．第二、三象限

C．第三、四象限D(zhuǎn)．第一、四象限

【答案】B

【知識點(diǎn)】一次函數(shù)的圖象；比例的性質(zhì)

【解析】【解答】由條件得：①a+b=pc，②b+c=pa，③a+c=pb，

三式相加得2（a+b+c）=p（a+b+c）．

∴有p=2或a+b+c=0．

當(dāng)p=2時(shí)，y=2x+2．則直線通過第一、二、三象限．

當(dāng)a+b+c=0時(shí)，不妨取a+b=-c，于是p==-1，（c≠0），

∴y=-x-1，

∴直線通過第二、三、四象限．

綜合上述兩種情況，直線一定通過第二、三象限．

答案為：B．

【分析】可分a+b+c=0與不等于0，兩種情況，再利用等比性質(zhì)，可求出p值為2或-1，進(jìn)而得出答案.

2．（2023·合肥模擬）如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，若AD：BD=2：1，點(diǎn)G在DE上，DG：GE=1：2，連接BG并延長交AC于點(diǎn)F，則AF：EF等于（）

A．1：1B．4：3C．3：2D．2：3

【答案】C

【知識點(diǎn)】比例的性質(zhì)；比例線段

【解析】【解答】解：

作DH//BF交AC于H

設(shè)HF=a，則AH=2a

故答案為C

【分析】作平行線，利用相似三角形等比例關(guān)系即可求出答案。

3．（2022·臨清模擬）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是（）（精確到0.01．參考數(shù)據(jù)：，，）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點(diǎn)】比例的性質(zhì)

【解析】【解答】設(shè)雕像的下部高為xm，則上部長為，

∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，高度為，

∴，

∴，

解得：（舍）或，

∴．

故答案為：B．

【分析】設(shè)雕像的下部高為xm，則上部長為，根據(jù)題意列出方程可得，再求出x的值即可。

4．（2022九上·惠陽月考）已知線段a、b，求作線段x，使，正確的作法是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知識點(diǎn)】比例的性質(zhì)

【解析】【解答】解：由題意，

∴，

∵線段x沒法先作出，

根據(jù)平行線分線段成比例定理，只有C符合．

故答案為：C．

【分析】利用平行線分線段成比例的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可。

5．（2022九上·奉賢期中）已知：線段a，b，c，求作線段x，使x＝，以下作法正確的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知識點(diǎn)】比例線段

【解析】【解答】解：由A得，，則x＝，不符合題意；

由B得，，則x＝，符合題意；

由C得，，則x＝，不符合題意；

由D得，，則x＝，不符合題意；

故答案為：B．

【分析】利用比例線段的性質(zhì)求出各項(xiàng)中x的值，再求解即可。

6．（2022九上·奉賢期中）已知線段a，b，c，求作線段x，使，下列作法中正確的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知識點(diǎn)】比例線段

【解析】【解答】解：A、，即，但x是未知線段，不能畫出，故不符合題意；

B、，即，不符合題意；

C、，即，不符合題意；

D、，即，符合題意；

故答案為：D．

【分析】根據(jù)比例線段的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可。

7．（2022九上·定海期中）在比例尺為1：100000的地圖上，甲、乙兩地圖距是2cm，它的實(shí)際長度約為（）

A．100kmB．2000mC．10kmD．20km

【答案】B

【知識點(diǎn)】比例線段

【解析】【解答】解：設(shè)實(shí)際長度為xcm，

∴比例尺=，

∴x=200000cm=2000m，

∴它的實(shí)際長度約為2000m，

故答案為：B.

【分析】設(shè)實(shí)際長度為xcm，根據(jù)比例尺=列出比例式，求出x的值，即可得出答案.

8．（2023九上·楊浦期末）已知點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，線段是和的比例中項(xiàng)，下列結(jié)論中，正確的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點(diǎn)】比例線段

【解析】【解答】解：設(shè)AB=1，AP=x，則PB=1－x，

∵線段是和的比例中項(xiàng)，

∴AP2=PB·AB，即x2=1－x，

∴x2+x－1=0，

解得：，（舍去），

∴PB=1－=，

∴，，，，

故答案為：C．

【分析】先求出x2=1－x，再求出PB的值，最后計(jì)算求解即可。

9．（2023·天門模擬）如圖，將的圓周分成五等分（分點(diǎn)為A、B、C、D、E），依次隔一個(gè)分點(diǎn)相連，即成一個(gè)正五角星形.小張?jiān)谥茍D過程中，驚訝于圖形的奇妙，于是對圖形展開了研究，得到：點(diǎn)M是線段AD、BE的黃金分割點(diǎn)，也是線段NE、AH的黃金分割點(diǎn).在以下結(jié)論中，不正確的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點(diǎn)】圓內(nèi)接正多邊形；黃金分割

【解析】【解答】解：如圖，連接AB，BC，CD，DE，EA，

∵點(diǎn)M是線段AD、BE的黃金分割點(diǎn)，也是線段NE、AH的黃金分割點(diǎn)，

∴，

∵AB=BC=CD=DE=EA，

∴∠DAE=∠AEB，

∴AM=ME，

∴，

∴A正確，不符合題意；

∵點(diǎn)M是線段AD、BE的黃金分割點(diǎn)，也是線段NE、AH的黃金分割點(diǎn)，

∴點(diǎn)F是線段BD的黃金分割點(diǎn)，

∴，

∵AB=BC=CD=DE=EA，∠BCD=∠AED，

∴△BCD≌△AED，

∴AD=BD，

∴，

∴B正確，不符合題意；

∵AB=BC=CD=DE=EA，∠BAE=108°，

∴∠BAC=∠CAD=∠DAE，

∴∠CAD=36°，

∴D正確，不符合題意；

∵∠CAD=36°，AN=BN=AM=ME，

∴∠ANM=∠AMN=72°，

∴AM＞MN，

∴C錯(cuò)誤，符合題意；

故答案為：C.

【分析】連接AB，BC，CD，DE，EA，由黃金分割點(diǎn)可得，由圓周分成五等分可得AB=BC=CD=DE=EA，從而得出∠DAE=∠AEB，利用等角對等邊可得AM=ME，即可判斷A；由黃金分割點(diǎn)可得，再證△BCD≌△AED，可得AD=BD，即得，據(jù)此判斷B；根據(jù)正五邊形的性質(zhì)及弧、弦、圓周角的關(guān)系可得∠BAC=∠CAD=∠DAE=36°，據(jù)此判斷D；易求∠ANM=∠AMN=72°，可得AM＞MN，據(jù)此判斷C.

10．（2023·瀘縣）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問題：點(diǎn)G將一線段分為兩線段，，使得其中較長的一段是全長與較短的段的比例中項(xiàng)，即滿足，后人把這個(gè)數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點(diǎn)G稱為線段的“黃金分割”點(diǎn)．如圖，在中，已知，，若D，E是邊的兩個(gè)“黃金分割”點(diǎn)，則的面積為（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點(diǎn)】三角形的面積；等腰三角形的性質(zhì)；黃金分割

【解析】【解答】解：過點(diǎn)A作AF⊥BC，

∵AB=AC，

∴BF=BC=2，

在Rt,AF=，

∵D是邊的兩個(gè)“黃金分割”點(diǎn)，

∴即，

解得CD=，

同理BE=，

∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，

∴DE=CD-CE=4-8，

∴S△ABC===，

故答案為：A.

【分析】作AF⊥BC，根據(jù)等腰三角形ABC的性質(zhì)求出AF的長，再根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義求出BE、CD的長度，得到中DE的長，利用三角形面積公式即可解題.

二、填空題（每空3分，共18分）

11．（2023九上·大邑期中）已知a、b、c、滿足，從下列四點(diǎn)：①；②(2，1)；③；④(1，﹣1)，中任意取一點(diǎn)恰好在正比例函數(shù)y＝kx圖象上的概率是.

【答案】

【知識點(diǎn)】比例的性質(zhì)；正比例函數(shù)的定義；簡單事件概率的計(jì)算

【解析】【解答】解：∵a、b、c、滿足，

∴當(dāng)a+b+c=0時(shí)，k=﹣1，

此時(shí)正比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝-x，

將四個(gè)點(diǎn)代入，點(diǎn)④（1，﹣1）在正比例函數(shù)y＝﹣x的圖象上；

當(dāng)a+b+c≠0時(shí)，

k===，

∴正比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝x，

將四個(gè)點(diǎn)代入，點(diǎn)①和點(diǎn)②(2，1)在正比例函數(shù)y＝x的圖象上，

∴任意取一點(diǎn)恰好在正比例函數(shù)y＝kx圖象上的概率是，

故答案為：.

【分析】分兩種情況討論，結(jié)合比例式，當(dāng)a+b+c=0時(shí)，得出k=﹣1，當(dāng)a+b+c≠0時(shí)，求出k=，將四個(gè)點(diǎn)分別代入函數(shù)式求出k值，則可得出符合條件的情況數(shù)，然后利用概率公式計(jì)算即可.

12．（2023九上·大邑期中）在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于

的一次函數(shù)

，其中常數(shù)k滿足

，常數(shù)b滿足b＞0且b是2和8的比例中項(xiàng)，則該一次函數(shù)

的解析式為．

【答案】或

【知識點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；比例的性質(zhì)

【解析】【解答】∵b是2和8的比例中項(xiàng)，

∴2：b=b：8，

解得b=

，

∵b＞0，

∴b=4，

∵，

∴

∴①+②+③，得a+b+c=2k(a+b+c)，

當(dāng)a+b+c

時(shí)，解得k=

，

當(dāng)a+b+c=0時(shí)，k=-1，

∴該一次函數(shù)

的解析式為

或

，

故答案為：

或

.

【分析】利用b＞0且b是2和8的比例中項(xiàng)求出b，利用

得到

，解出k的值，即可得到一次函數(shù)的解析式.

13．（2022九上·大田期中）將2，3，4，6這四個(gè)數(shù)隨機(jī)排列，排列結(jié)果記為，，，.則，，，成比例的概率為.

【答案】

【知識點(diǎn)】比例線段；等可能事件的概率

【解析】【解答】解：四個(gè)數(shù)隨機(jī)排列，第一個(gè)數(shù)有4種情況，第二個(gè)數(shù)有3種情況，第三個(gè)數(shù)有2種情況，第四個(gè)數(shù)有一種情況，一共有：種不同的排列方法，

能夠成比例的有：2、3、4、6；2、4、3、6；6、3、4、2；6、4、3、2；3、2、6、4；3、6、2、4；4、6、2、3；4、2、3、6；一共8種情況；

∴，

故答案為：.

【分析】將2，3，4，6這四個(gè)數(shù)隨機(jī)排列，第一個(gè)數(shù)有4種情況，第二個(gè)數(shù)有3種情況，第三個(gè)數(shù)有2種情況，第四個(gè)數(shù)有一種情況，一共有24種情況，其中a、b、c、d成比例的有8種，根據(jù)概率公式即可求解．

14．（2023九上·江油期中）如圖，線段AB的長為1，C在AB上，D在AC上，且，，，則AE的長為．

【答案】

【知識點(diǎn)】比例線段

【解析】【解答】解：設(shè)AC=x，則BC=AB-AC=1-x，

∵AC2=BCAB，

∴x2=1-x，

解得：（不合題意，舍去），

∴AC=，

∵AD2=CDAC，

∴同理可得AD=，

∵AE2=DEAD，

∴同理可得AE=；

故答案為：．

【分析】設(shè)AC=x，則BC=AB-AC=1-x，由AC2=BCAB建立方程并解之，即得AC=，再利用AD2=CDAC求出AD的長，最后利用AE2=DEAD即可求出AE的長.

15．（2023九上·嘉祥期中）同學(xué)們學(xué)習(xí)了線段的黃金分割之后，曾老師提出了一個(gè)新的定義：點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，若＝kn，則稱點(diǎn)C為線段AB的“近A，n階黃金分割點(diǎn)”．例如：若＝k2，則稱點(diǎn)C為線段AB的“近A，2階黃金分割點(diǎn)”；若＝k3，則稱點(diǎn)C為線段AB的“近A，3階黃金分割點(diǎn)”．若點(diǎn)C為線段AB的“近A，6階黃金分割點(diǎn)”時(shí)，k6＝．

【答案】

【知識點(diǎn)】黃金分割

【解析】【解答】解：由題意，點(diǎn)C為線段AB的“近A，6階黃金分割點(diǎn)”時(shí)，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

即：，

整理得：，

解得：或，

經(jīng)檢驗(yàn)，或是上述分式方程的解，

∵，

∴，

故答案為：．

【分析】由題意得，則，再由=，即得，整理得，再解方程即可.

16．（2023·遼陽）勾股定理與黃金分割是幾何中的雙寶，前者好比黃金，后者堪稱珠玉．生活中到處可見黃金分割的美．如圖，線段AB=1，點(diǎn)P1是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP1＜BP1），點(diǎn)P2是線段AP1的黃金分割點(diǎn)（AP2＜P1P2），點(diǎn)P3是線段AP2的黃金分割點(diǎn)（AP3＜P2P3），…，依此類推，則APn的長度是．

【答案】

【知識點(diǎn)】黃金分割

【解析】【解答】解：∵線段AB=1，點(diǎn)P1是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP1＜BP1），∴BP1=AB=，∴AP1=1﹣=，

∵點(diǎn)P2是線段AP1的黃金分割點(diǎn)（AP2＜P1P2），

∴AP2=×=（）2，∴AP3=（）3，∴APn=（）n．故答案為（）n．

【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到BP1=AB=，則AP1=1﹣=，同理得到AP2=×=（）2，AP3=（）3，根據(jù)此規(guī)律得到APn=（）n．

三、解答題（共9題，共72分）

17．若a、b、c是非零實(shí)數(shù)，且滿足，直線y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)（4，0），求直線y=kx+b與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積．

【答案】解：∵∴a=（b+c）k，b=（a+c）k，c=（a+b）k，∴a+b+c=2（a+b+c）k，∴①當(dāng)a+b+c≠0時(shí)，k=，∴y=kx+b變?yōu)椋簓=x+b，∵經(jīng)過點(diǎn)（4，0），∴×4+b=0，b=-2，∴y=x-2，圖象如圖：S△ABO=×AO×BO=×2×4=4．②當(dāng)a+b+c=0時(shí)，a=-（b+c），k==-1同法可請求：y=-x+4，S△ADO=8，即直線y=kx+b與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積是4或8

【知識點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；比例的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題

【解析】【分析】根據(jù)已知可得出a=（b+c）k，b=（a+c）k，c=（a+b）k，就可得出a+b+c=2（a+b+c）k，再根據(jù)a+b+c=0和a+b+c≠0，可得出y=kx+b中的k的值，將（4，0）代入函數(shù)解析式求出b的值，從而可得到函數(shù)解析式，然后分別求出函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積。

18．已知線段a，b，c滿足，且a＋2b＋c＝26.

（1）判斷a，2b，c，b2是否成比例；

（2）若實(shí)數(shù)x為a，b的比例中項(xiàng)，求x的值．

【答案】（1）解：設(shè)，則a=3k，b=2k，c=6k，

又∵a+2b+c=26，

∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，

∴a=6，b=4，c=12；∴2b=8，b2=16∵a=6，2b=8，c=12，b2=16∴2bc=96，ab2=6×16=96∴2bc=ab2a，2b，c，b2是成比例的線段。

（2）解：∵x是a、b的比例中項(xiàng)，∴x2=6ab，

∴x2=6×4×6，

∴x=12．

【知識點(diǎn)】比例的性質(zhì)；比例線段

【解析】【分析】（1）設(shè)已知比例式的值為k，可得出a=3k，b=2k，c=6k，再代入a+2b+c=26，建立關(guān)于k的方程，求出kl的值，再求出2b、b2，然后利用成比例線段的定義，可判斷a，2b，c，b2是否成比例。

（2）根據(jù)實(shí)數(shù)x為a，b的比例中項(xiàng)，可得出x2=ab，建立關(guān)于x的方程，求出x的值。

19．（2023九上·越城期末）

（1）已知，求的值；

（2）將的圖象先向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，求兩次平移后所得到的拋物線解析式.

【答案】（1）解：，

，

；

（2）解：，

將的圖象先向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后得到的拋物線的解析式為：.

【知識點(diǎn)】二次函數(shù)圖象的幾何變換；比例的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）將已知等式變形用含b的式子表示出a，進(jìn)而代入所求式子合并后約分即可；

（2）首先將解析式配成頂點(diǎn)式，進(jìn)而根據(jù)將拋物線y=a（x-h）2+k向左平移m（m＞0）個(gè)單位，所得新拋物線的解析式為y=a（x-h+m）2+k；將拋物線y=a（x-h）2+k向右平移m（m＞0）個(gè)單位，所得新拋物線的解析式為y=a（x-h-m）2+k；將拋物線y=a（x-h）2+k向上平移m（m＞0）個(gè)單位，所得新拋物線的解析式為y=a（x-h）2+k+m；將拋物線y=a（x-h）2+k向下平移m（m＞0）個(gè)單位，所得新拋物線的解析式為y=a（x-h）2+k-m，據(jù)此即可得出答案.

20．（2022九上·晉州期中）已知：a，b，c三個(gè)數(shù)滿足關(guān)系式．

（1）填空：：4：．

（2）若，試求出的值．

（3）在（2）的基礎(chǔ)上，若點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖像上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)向軸引垂線，垂足為，請直接寫出的面積．

【答案】（1）6；3

（2）解：由（1）的結(jié)論，設(shè)，，，

∴，

∴．

（3）解：3

【知識點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；比例的性質(zhì)

【解析】【解答】（1）解：根據(jù)題意，設(shè)，

∴，，，

∴，，

∴，

∴答案是：6，3．

（3）解：根據(jù)題意得，如圖所示，

當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，且在反比例函數(shù)上，設(shè)，

∴，，

∴；

同理，當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，且在反比例函數(shù)上，設(shè)，且，

∴，，

∴，

綜上所述，的面積為3．

【分析】（1）設(shè)，求出a、b、c的值，再將其代入計(jì)算即可；

（2）設(shè)，，，將其代入計(jì)算即可；

（3）設(shè)，求出，設(shè)，求出即可。

21．如圖，在中，，BD是AC邊上的高，已知BC=5厘米，AC=13厘米．求：

（1）

（2）

（3）再找兩條線段和AB、BC構(gòu)成比例線段．

【答案】（1）解：在中，，BC=5厘米，AC=13厘米，厘米．

（2）解：在中，

（3）解：∵AB：AC=BD：BC

∴和AB、BC構(gòu)成比例線段的兩條線段是AC，BD

【知識點(diǎn)】比例線段

【解析】【分析】（1）理由勾股定理求出AB的長，再求出AB與BC的比值。

（2）根據(jù)三角形的面積公式，可得等積式ABBC=ACBD，代入計(jì)算求出BD，再求出BD與AC的比值。

（3）根據(jù)線段的長，可得出和AB、BC構(gòu)成比例線段的兩條線段是AC，BD。

22．如圖，在線段AB上存在一點(diǎn)C，滿足AC∶CB＝CB∶AB＝k.

（1）求k的值；

（2）如果三條線段a，b，c滿足a∶b＝b∶c＝k，問這三條線段能否構(gòu)成三角形，如果能，請指出三角形的形狀；如果不能，請說明理由．

【答案】（1）解：設(shè)AB=a，BC=x，則AC=(a-x)，∵AC：CB=CB：AB，

即，解得：x=a，∴k=CB：AB=a：a=

（2）解：不能

理由：∵a∶b＝b∶c＝k

∴b=kc=c，a=kb=（）2c==

a+b=c

∴a、b、c不能構(gòu)成三角形

【知識點(diǎn)】比例線段；黃金分割

【解析】【分析】（1）設(shè)AB=a，BC=x，可表示出AC，再根據(jù)AC：CB=CB：AB，求出x的值，然后由k=CB：AB，求出k的值。

（2）根據(jù)a：b=b：c=k，分別求出a、b，可證得a+b=c，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)論。

23．（2023·黃埔模擬）如圖1所示，點(diǎn)C把線段分成與，若，則稱線段被點(diǎn)C黃金分割（goldensection），點(diǎn)C叫做線段的黃金分割點(diǎn)，與的比叫做黃金比．

（1）根據(jù)上述定義求黃金比；

（2）在圖2中，利用尺規(guī)按以下步驟作圖，井保留作圖痕跡．①作線段的垂直平分線，得線段的中點(diǎn)M；②過點(diǎn)B作垂線l；③以點(diǎn)B為圓心，以為半徑作圓交l于N；④連接、，以N為圓心，以為