概率統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過程課件第6 7

第六章樣本及抽樣分布1§6.1基本概念一、總體:在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,我們把所研究的全部元素組成的集合稱作母體或總體,總體中的每一個(gè)元素稱為個(gè)體。我們只研究感興趣的某個(gè)或者幾個(gè)指標(biāo)(記為X)，因此把這些指標(biāo)的分布稱為總體的分布，記為X～F(x)。二、樣本:設(shè)總體X具有分布函數(shù)F(x),若X1,X2,…,Xn是具有分布函數(shù)F(x)的相互獨(dú)立的隨機(jī)向量，則稱其為總體F（或總體X）的簡單隨機(jī)樣本,簡稱樣本, 它們的觀察值x1,x2,…,xn稱為樣本觀察值, 又稱為X的n個(gè)獨(dú)立的觀察值。2三、統(tǒng)計(jì)量:設(shè)X1,X2,…,Xn是來自總體X的一個(gè)樣本,

g(X1,X2,…,Xn)是一個(gè)與總體分布中未知參數(shù)無關(guān)的樣本的連續(xù)函數(shù)，則稱g(X1,X2,…,Xn)為統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù),它是一個(gè)隨機(jī)變量，如果x1,

x2,

…,

xn是樣本觀察值, 則g(x1,x2,…,xn)是統(tǒng)計(jì)量g(X1,

X2,

…,

Xn)的一個(gè)觀察值.3四、 常用的統(tǒng)計(jì)量:nii=1n1.

樣本均值X

=1

X;n

-112n

ii=1

(X

-

X

)

;2.樣本方差S2

=1niXk

,

k

=1,

2,

;

i=13.

樣本k階原點(diǎn)矩

Ak

=

n14nBk

=

ni=1

(X

-

X

)k

,

k

=

2,

3,

.i4.樣本k階中心矩11n2i2n稱為樣本方差,

x,仍稱為樣本

i均值,

s

=i

=1i

=1(x

-

x)

,n

-1它們的觀察值為x

=n251n=

n

-

1

S

2,當(dāng)樣本容量很大時(shí)

,

B

?

S

2

.22.當(dāng)k

=

1時(shí),

A

=

X,當(dāng)k

=

2時(shí),

Bkù3.若總體X的k階矩E(X

k

)=

a

存在,P則當(dāng)n

時(shí),

A

k

?

a

k

.注：1.i

=161

2

n

iF*

(

x

,

x

,

x

)

=

F

(

x

)1)

若X~F

(x),X

1

,X

2

,

,X

n為F的一個(gè)樣本,則X

1

,X

2

,

,X

n的聯(lián)合分布函數(shù)為:n4.樣本的聯(lián)合分布：2)

若總體X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為7px=P(X=x)

,

x=x1,x2,…則樣本X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布:nP(

X1

=

y1

,

,

Xn

=

yn

)

=

P(

Xi

=

yi

)i=1其中yi

=

x1

,

x2

,

;(i

=1,2,

,

n)n81

2

n

i聯(lián)合概率密度為

f

*

(

x

,

x

,

x

)

=

f

(x

)3)

若X具有概率密度f

(x),則X1

,X2

,

Xn的i=1例1：X~U(0,θ),X1,X2,…,Xn是來自X的樣本，求（X1,X2,…,Xn）的聯(lián)合密度函數(shù)。例2：X

~

P(

X

=

x)

=

px

(1-

p)1-x

,

x

=

0,1(

X1

,

X

2

,

,

Xn

)為來自X的樣本，求樣本的聯(lián)合分布律。定理:

設(shè)X1,X2,…,Xn是來自總體X的一個(gè)樣本, 并設(shè)總體二階矩存在,EX=m,DX=s2,則有n9nES

2

=

s

2

(n

?

2).s

2EX

=

m

,

D

(

X

)

=1

2

n為n的c

2分布,

記作c

2

~

c

2

(n).10則稱統(tǒng)計(jì)量

c

2

=

X

2

+

X

2

+

+

X

2

服從自由度§6.2

統(tǒng)計(jì)分布與抽樣分布統(tǒng)計(jì)量T(X1,X2,…,Xn)的分布稱為抽樣分布。一、統(tǒng)計(jì)中常用的分布:(一)χ2--分布1.

定義:設(shè)X1

,X

2

,

,X

n來自總體N

(0,1)的樣本，.111

y

￡

0,e

2

,

y

>

0,y

2Γ(n

2)0,f

(

y)

=

2-

yn

-1n

2定理：c

2

(n)的概率密度為2

21

12由第二章知：若

X

~

N

(0,

1),

則X

~

Γ

(

,

).2.

G分布與c2(n)分布的關(guān)系：2

212n

1nX

~

G(

,

)2

2ii=1同服從N

(0,1)，所以c

＝G分布具有可加性，定義中X1

,X2

,

,Xn

獨(dú)立

13

βαx

e

,

x

>

0,比較c2

(n)的密度可知：c2

(n)分布就是a

=n

,b

=12

2的G分布,即c2

(n)

=G(n

/2,1/2).0

,其它.G分布的概率密度為:f

(x)=

Γ

(α)α-1

－bx3.

c2(n)分布的性質(zhì)：14(1)c2

(n)具有可加性：若c2

~

c2

(m),

c2

~

c2

(n),并且c2

,

c2獨(dú)立,

有1

2

1

2c2

+

c2

~

c2

(m

+n).1

2(2)

若c

2

~

c

2

(n),

則有E(c

2

)

=

n,

D(c

2

)

=

2n.4.

c

2分布的上a分位點(diǎn):0yf(y)aac

2

(n)215對于給定的正數(shù)aaa的點(diǎn)c

2

(n)為c

2

(n)分布的上a

分位點(diǎn).c

(

n

)f

(

y

)dy

=

aP{

c

2

>

c

2

(n)}

=a

,0

<a

<1,稱滿足條件

+￥(二)

t-分布:1.定義:設(shè)X~N

(0,1),Y

~

c

2

(n),并且X,Y

相互獨(dú)立,216

2

22(1

+

),

-￥

<

t

<

+￥

.ntnπn

Γ

(

)f

(t

)

=n

+1-則稱T

=

X Y/n服從自由度為n的t

-分布,記作T~t(n)。2.

t

(n)分布的概率密度函數(shù)為：Γ

(

n

+1)12即當(dāng)n充分大時(shí),有t-分布近似N

(0,

1)分布.e

,t

2-2p利用Γ函數(shù)的性質(zhì)可得

lim

f

(t)

=nfi

￥說明17的點(diǎn)tα

(n)為t

(n)分布的上a

分位點(diǎn)。(

n

)αf

(t

)dt

=

αP{t

>

tα

(n)}

=

t3.t

(n)分布的上a

分位點(diǎn):對于給定的

a

,

0

<

a

<

1,

稱滿足條件

:+￥a18tt

a

(

n

)04.由t分布的上a分位點(diǎn)的定義及密度函數(shù)f

(t)19的對稱性知t1-α

(n)=-tα

(n).5.t分布的上α分位點(diǎn)可由附表4查出,

在n>45時(shí),tα

(n)

?

Uα

.(三)

F分布:V/n的F分布，記作F~F

(m,

n)20則稱隨機(jī)變量

F

=

U/m

服從自由度為(m,

n)1.

定義：設(shè)U~c

2

(m)，V~c

2

(n)，且U，V獨(dú)立，3.性質(zhì):F若F~F(m,

n),

則

1

~F

(n,

m).2.

F分布的概率密度函數(shù)

:

21

G[(m+n)

2](m

n)m

2

y(m

2)-10

,其它.,

y

>

0,(m

2)G(n

2)(1+my

n)(m+n)

2y

(

y)

=

G4.F

-分布的上a分位點(diǎn):對于給定的a

,0

<a

<1,稱滿足條件:P{F

>

Fα

(m,

n)}

=

a的點(diǎn)Fa

(m,n)為F

-分布的上a分位點(diǎn).y

(y)aFa

(m,

n)225.

F

-分布的上a

分位點(diǎn)的性質(zhì):.231F

(n,

m)aF1-a

(m,

n)=2N(0,s

)2.設(shè)總體

X～

，X1，X2，X3

為取自總體的一個(gè)樣本，試求：(1)3X1－2X2＋X3

的分布；(2)2X124X

2

+

X

22

3的分布。例題1.設(shè)總體

X

服從

N(0,s

2

)，

X

,

X

,...,

X

是

X

的一個(gè)樣本，1

2

52

2當(dāng)

c=

,d=

時(shí)，

c(

X

1

+

X

2

)

+

d

(

X

3

+

X

4

+

X

5

)

服從自由度為

的

c

2

分布。2n2的密度.

i=1i1

n(

X

-

m)的樣本，求Z

=3.X

，

，X

為來自N

(m,s

)二、正態(tài)總體中統(tǒng)計(jì)量的分布(抽樣分布):1

1

2

2（

X

1

,X

2

,

,X

m）為來自X的樣本，（

Y1

,Y2,

,Yn）為來自Y的樣本X

~

N

(m

,s

2

),Y

~

N

(m

,s

2

)，相互獨(dú)立，

25

=ii

im

mnmi

=1S

22

ni

=1i

=122i

1mi

=1(Y

-

Y

)

2n

-1n=

1

nY

=

1

Y

,(

X

-

X

)m

-1X

,

S1

1令

X

=m

~

N

(0,1)ms

1s

2X

-

m則：1

X

~

N(m1

,

1

),

即

1

m

n26m

ns

2

s

2s

2

s

2

1

+

2

X

-

Y

~

N

(m1

-

m2,

1

+

2

)即U

=

X

-

Y

-

(m1

-

m2

)

~

N

(0

,

1)22nim~

c

2

(n)s

2s12

i

=1

Y

-

mi

1

i=1

X

-

m~

c

2

(m)

，

2

1~

c

2

(m

-1)s

21m(m

-1)S

21mX與S

2

獨(dú)立，且nm

+

i

2

i

1

i

=1

~

c

2

(m

+

n)s

2

Y

-

m

2s

1

X

-

m

22271+~

c

2

(m

+

n

-

2)s

2s

222

ni

=1

(n

-

1)

S(m

-

1)

S

21

mm

~

t

(

m

-

1)S

1

mX

-

m

13

1

12821+(m

-1)S

2

+(n

-1)S

2+

n

-

2)~

t(mm

n

1m

2nm

+

n

-

2vSvX

-Y

-(m1

-

m2

)其中S

=當(dāng)s

=s

=s時(shí)，129221 2

~

F

(m,

n)mnmis

2s

2(

X

-

m

)4

F

=

(Yi

-

m2

)i=1

i=1

n

1

2

~

F

(m

-

1,

n

-

1)2

nF

=

1mS

2

s

2S

2

s

2例1、總體X~N(3.4,62)，X1,X2,…,Xn是來自X的樣本，要使樣本均值落在(1.4,5.4)中的概率達(dá)到0.95，求n。例2、設(shè)X1,X2,…,X10是來自總體N(0,

0.52)的30樣本，求：10?

4

)

i

=12iXP

(例3、設(shè)X1,X2,…,X16是來自總體N(μ,σ2)的樣16

ii=

1驏X

)2

? 30.578s

2

÷÷?桫本，求：

P

?8.547s

2

?

?

(

X例4、設(shè)X1,X2,…,X16是來自總體N(μ,σ2)的樣本，σ未知，S2＝20.8，求：P(|

X

-m

|<2)31參數(shù)估計(jì)32第七章§7.1

點(diǎn)估計(jì)一. 問題的提法:設(shè)總體X的分布函數(shù)F

(x;θ

)的形式為已知,q是待估參數(shù)，X

1

,X

2

,

,X

n

是X的一個(gè)樣本，x1,x2

,

,xn

是相應(yīng)的一個(gè)樣本值。點(diǎn)估計(jì)問題就是要構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量q?(X

1

,X

2

,

X

n

)，用它的觀察值q?(x1

,x2

,

,xn

)來估計(jì)未知參數(shù)q，我們稱q?(X

1

,X

2

,

,X

n

)為q的估計(jì)量，稱q?(x1,x2

,

,xn

)為參數(shù)q的估計(jì)值。k33nkiXnPfi

EX

=

αkAk

=

i

=11二、矩估計(jì)法:由辛欽定理可知：樣本的原點(diǎn)矩依概率收斂到總體的原點(diǎn)矩，即據(jù)此，我們來定義一種參數(shù)的估計(jì)方法。F

(

x;

θ1

,

θ2

,

θk

)，（其中θ1

,θ2

,

θk

為未知參數(shù)）X

1,X

2

,

X

n

是來自X的樣本，定義：設(shè)總體X的分布函數(shù)為稱34X1nnrr

1

2

k

rri

=

i=1

r

=1,2,

,

k的解q?

(X

,

X

,

,

X

)為q

(i

=1,2,

,

k)的矩估計(jì)量i

1

2

n

ia

(q

,q

,

,q

)

=EX

=

A例1、設(shè)總體X的均值m及方差s

2

都存在，但m,s

22均未知，又設(shè)X1

,X

2

,

Xn

是一個(gè)樣本，求m,s的矩估計(jì)。說明樣本原點(diǎn)矩依概率收斂于相應(yīng)的總體原點(diǎn)矩,而樣本矩的連續(xù)函數(shù)依概率收斂于相應(yīng)的總體矩的連續(xù)函數(shù)，所以所有的矩估計(jì)都有依概率收斂這一性質(zhì)（相合性）。35例2、已知X1,X

2

,

,Xn為來自總體U

(q1

,q2

)的樣本，求q1

,q2的矩估計(jì)。例3、設(shè)總體X

~

f

(x,s

2

)，36(X1

,X

2

,

,Xn

)是來自總體X的樣本，求s

2的矩估計(jì)。

xe

2s

2

,

x

?

00 ,

x

<

0其中f

(x,s

2

)=

s

22-

x2q371(X1

,X

2

,

,X

n

)是來自總體X的樣本，求q的矩估計(jì)。例4、設(shè)總體X

~

f

(

x,q)

=-|x|e

q

，-

￥

<

x

<

+￥三、極大似然估計(jì)方法:定義：總體

X

~

f

(x;

q1

,

q2

,

qk

),

其中q1

,

q2

,

qk

是待估計(jì)的參數(shù),

X1

,

X

2

,

X

n

是X的一個(gè)樣本

,ni=

1L

(

q1

,

q2

,

L

qk

)

=

?f

(X

i

;

q1

,

q2

,

L

qk

)稱為參數(shù)

(

q1

,

q2

,

L

qk

)的

似然函數(shù)

.似然函數(shù)是參數(shù)q1

,q2

,

,qk的函數(shù).1

X為離散型隨機(jī)變量時(shí)，f

(x)為分布律；

X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，f

(x)為密度函數(shù)。38說明2

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)

,

概率大的事件比概率小

的事件易于發(fā)生,

x1,

x2

,

,xn

是一組樣本值

,

它是已經(jīng)發(fā)生的隨機(jī)事件

,

可以認(rèn)為取到這組值的概率比較大

,

即似然函數(shù)的值比較大

。理論依據(jù)39q1

,q2

,

,qk的函數(shù),因而是參數(shù)值使得L較大,我們就將使得L取到最大值的參數(shù)值q?

,q?

,

,q?1

2

k稱為q1

,q2

,

,qk的極大似然估計(jì)值。對似然函數(shù)而言,x1,x2

,

,xn

是常數(shù),它是參數(shù)?40如果似然函數(shù)L(1

2

k

i

1,x2

,

,

xn

)q

,q

,

,q

)在q

(x處取最大值,則稱q?為q

的極大似然估計(jì)值，而相i

i應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量

q?

(

X

,

X

,

,

X

)

(i

=1,2,

,

k

)稱為參i

1

2

n數(shù)qi的極大似然估計(jì)量。定義：極大似然估計(jì)的求解方法:1、求解對數(shù)似然方程：=

0 (i

=

1,2,

,

k

)41?ln

L(q1

,q2

,

,qk

)令?qi若駐點(diǎn)唯一，即為極大似然估計(jì)。2、直接根據(jù)定義計(jì)算。例5、設(shè)X

~

f

(

x,

p)

=

p

x

(1

-

p)1-

x，

x

=

0,1

；(

X

1

,

X

2

,

,

X

n

)是來自

X的樣本，求參數(shù)p的極大似然估計(jì)。例6、已知X

1

,X

2

,

,X

n為來自總體P(l)的樣本，求l的極大似然估計(jì)。例7、已知X

1

,X

2

,

,X

n為來自總體e(l)的樣本，求l的極大似然估計(jì)。42例8、設(shè)總體X服從[0

,q]區(qū)間上的均勻分布,43求q的極大似然估計(jì)。例9、設(shè)總體X服從[θ,θ+1]區(qū)間上的均勻分布,求q的極大似然估計(jì)。例10、設(shè)總體X~N

(m

,s

2

),其中m,s

2均未知,設(shè)X

1,X

2

,

X

n

是來自該總體的一組樣本,求(m,s

2

),(m,s

)的極大似然估計(jì)。44極大似然估計(jì)的性質(zhì):設(shè)q的函數(shù)u

=u(q

),q

?

Q

具有單值反函數(shù)

q

=q

(u),u

?

m

,又設(shè)q?是參數(shù)q的極大似然估計(jì),則u?

=u(q?)是u(q

)的極大似然估計(jì)。例如，例8中參數(shù)θ的方差DX的極大似然估計(jì)為：2451DX

=

(

12

)

=

12

=

12

[max{

X

i

}]q

2

q?2§7.2.估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn)46估計(jì)的三個(gè)常用標(biāo)準(zhǔn)是:無偏性,有效性和一致性.1、無偏性:定義：若估計(jì)量q?

=q?(X1

,X

2

,

,X

n

)的數(shù)學(xué)期望E(q?)存在,且對于"q

?

Q

,有E(q?)=q,則稱q?是q的無偏估計(jì)量。若lim

Eq?

=q，則稱q?為q的漸近無偏估計(jì)。nfi

￥247>0時(shí))2E

X

?

m

2

(DX

=

s

2=

;

3

ESn1

E

X

=

m;

2

DX

=

s2n4

例1、設(shè)X1,X2,…,Xn是來自總體X的一個(gè)樣本,并設(shè)總體二階矩存在,EX=m，DX=s2，證明：s

2例2、X1,X2,…,Xn是來自X~U(0,θ)的樣本，證明：都是θ的無偏估計(jì)。1

2481

2

nnq?

=

2

X

,

q?

=

n

+1

max{X

,

X

,

,

X

}2、有效性:49定義

:

若Eq?

=

Eq?

=

q，若有D(q?

)

￡

D(q?

)，1

2

1

2則稱q?比q?

有效.1

2所有無偏估計(jì)中方差最小的無偏估計(jì)稱為最小方差無偏估計(jì)，或稱為有效估計(jì)。上例中，n>1時(shí)，?

?

?

?q

2

q

2q2比q1有效：

Dq1

=

3n

，Dq2

=

n(n

+

2)例3、對任何總體X，EX=μ，DX=σ2

,X1

，X2,…,Xn

是來自X

的樣本，有效。1證明：m?

比2?mn50(a

i為常數(shù)

)a

i

X

in

i

=1

a

ii

=1m?1

=

X

,

m?

2

=151nI

(q)其中I

(q)

=

E[

?

ln

f

(

X

,q)]2

稱為Fisher信息數(shù)。?q（G

-R下界）則D(q?)?定理：總體

X

~

f

(x;q)，若Eq?

=

q，1，則稱q?為q的有效估計(jì)，nI

(q)若D(q?)=（或稱為達(dá)到方差下界的無偏估計(jì)）.152D(q?)若lim

nI

(q)

=

1,

則稱q?為q的漸近有效估計(jì)。nfi

￥n2

s?

2＝S

2

是s

2的漸近有效估計(jì)。例4、總體

X

~

f

(

x;

p)

=

p

x

(1

-

p)1-

x

,

x

=

0

,

1，53X

1

,X

2

,

,X

n為來自X的樣本，證明：p?

=X

是參數(shù)p達(dá)到方差界的無偏估計(jì)。例5、設(shè)X

，

,

X

為正態(tài)總體

N

(m,s

2

)的樣本

,1

n證明:1

m?

=

X是m的有效估計(jì)；3、相合性（一致估計(jì)）:q,即對"e

>0,54nfi

￥lim

P{q?

-q

?

e}=

0,P1

2

n定義

:

若q?(

X

,

X

,

,

X

)

fi則稱q?為q的相合估計(jì)量.由辛欽定理知：1

=

EX

(k

=

1,2,

)A

=nkPni

=1kkX

i

fi

a

k故所有的矩估計(jì)都是相合估計(jì)。S

2為s

2的相合估計(jì)；55n2B2為s

的相合估計(jì)。1

n證明：X為m的相合估計(jì)；例6、X

，

,

X

為正態(tài)總體

N

(m,s

2

)的樣本

,§7.3

區(qū)間估計(jì)56?

?2

1

2

n2nX

)和q1

1

1

2=q

(X

,X

,

,X

)滿足:給定的值a

(0

<

a

<1)，統(tǒng)計(jì)量q?

=q?

(

X

,

X

,

,定義:設(shè)總體X

~

f

(x;q),其中參數(shù)q未知,若對于則稱:1

2上限，1

-a

為置信度(置信水平)。q?

和q?

分別為置信度為1

-a的置信下限和置信隨機(jī)區(qū)間(q?

,q?

)是q的置信度為1

-a的置信區(qū)間,1

2P(q?

<

q

<

q?

)

=1-a1

2求置信區(qū)間的一般思路（樞軸量法）571、設(shè)法構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量Z=Z(X1,X2,…,Xn;q

),除參數(shù)q

外,

Z不包含其他任何未知參數(shù),Z的分布已知(或可求出),并且不依賴于參數(shù)q

,也不依賴于其他任何未知參數(shù)。（Z即稱為樞軸量）3、由不等式58a

<Z

(X

1

,X

2

,

,X

n

;q

)<b解得q?

(

X

,

X

,

,

X

)

<

q

<

q?

(

X

,

X

,

,

X

)1

1

2

n

2

1

2

n這就是q的置信度為1－a

的置信區(qū)間。即：

P

(q?

<

q

<

q?

)

=

1

-

a1

2P{a

<

Z

(

X

1

,

X

2

,

,

X

n

;q

)

<

b}

=

1

-

a1

-a

,求出a,b,使得2、對于給定的置信度說明591、置信區(qū)間的定義中，統(tǒng)計(jì)量q?

,q?1

2滿足條件P(q?

<q

<q?

)

=1-a即可，1

2所以置信區(qū)間并不唯一。2、置信區(qū)間長度越短，估計(jì)越精確，所以一般我們是對稱的?。豢梢宰C明此時(shí)的置信區(qū)間長度最短。§7.4.正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)60一、單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì):設(shè)總體X

~

N

(m,s

2

),

X

,

X

,

,

X

是來自X的1

2

n樣本，求m，s

2的1－a置信區(qū)間。當(dāng)s

2已知時(shí),求m的置信區(qū)間.當(dāng)s

2未知時(shí),求m的置信區(qū)間.3

.求

s

2的置信區(qū)間

.用表格表示如下：被估參數(shù)條件選用統(tǒng)計(jì)量分布1－α

的置信區(qū)間ms

2已知U

=

X

-

m

nsN

(0,1)[

X

-

s

u

,

X

+

s

u

]n

a

n

a2

2s

2未知T

=

X

-

mt(n

-1)[

X

-

S

t

,

X

+

S

t

]n

a

n

a2

2S

/

ns

22

(n

-1)S

2c

=s

2c

2

(n

-1)(n

-1)S

2

(n

-1)S

2c2

(n

-1)

,c2

(n

-1)a

1

a-2

261說明621、我們講的都是雙側(cè)的置信區(qū)間，實(shí)際中還有單側(cè)的置信區(qū)間，如書上的定義。2、若函數(shù)g(x)單調(diào)增，則：P(q?

<q

<q?

)

=1-a

P(g(q?

)

<

g(q)

<

g(q?

))

=1-a1

2

1

2若函數(shù)g(x)單調(diào)減，則：P(q?

<q

<q?

)

=1-a

P(g(q?

)

<

g(q)

<

g(q?

))

=1-a1

2

2

1例

1、設(shè)總體

X

服從正態(tài)分布

N

(m,s

2

)

，

s

是未知參數(shù)。(X1,

,

X

25是來自總體

X

的容量為

25

的簡單隨機(jī)樣本，若已知m

的置信度為90%的雙側(cè)置信區(qū)間為（4.31569，5.68436），求m

的置信度為95%的雙側(cè)置信區(qū)間。例

2、設(shè)總體

X

服從正態(tài)分布

N

(m,s

2

)

，

s

為未知參數(shù)，(X1,

,

X

25是來自總體

X

的容量為

100

的簡單隨機(jī)樣本，樣本均值X

的觀察值x

=10.0

。若已知m

的置信度為95%的雙1006322199ii

=1S

=(

X

-

X

)

的觀側(cè)置信區(qū)間上限為10.9921，求樣本方差察值。二、兩個(gè)正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì):641

2

1

22.s

2

=s

2

=s

2

,但s

2未知,求m

-m

的置信區(qū)間.X

~

N

(m

,s

2

),Y

~

N

(m

,s

2

)，相互獨(dú)立，1

1

2

2（

X

1

,X

2

,

,X

m）為來自X

的樣本，（

Y1

,Y2

,

,Yn）為來自Y的樣本1.當(dāng)s

2和s

2已知時(shí),求m

-m

的置信區(qū)間.1

2

1

223.

求

1

的置信區(qū)間

.s

2s

2用表格表示如下：參數(shù)條件1－α

的置信區(qū)間m1

-m2s

2

,

s

21

2已知s

2

s

2

s

2

s

2[X

-Y

-u

1

+ 2

,

X

-Y

+u

1

+ 2

]a

m

n

a

m

n2

2[

X

-Y

-

t

S

1

+

1

,

X

-Y

+

t

S

1

+

1

]a

v

m

n

a

v

m

n2

2s1

=s2

=s未知s

2

1

s

22m1,

m2

S

2

1

S

2

1

1

,

1

S

2

F

(m

-1,

n

-1)

S

2

F

(m

-1,

n

-1)2

a

/

2

2

1-a

/

2

未知65第八章假設(shè)檢驗(yàn)66§8.1基本概念一、原理:例、甲乙兩種名酒各4杯，從中任取4杯，若取出的都是甲種酒稱試驗(yàn)成功（A），求：1.試驗(yàn)一次成功的概率；2.某人稱能區(qū)分這兩種酒，讓他做了10次試驗(yàn)，結(jié)果成功了3次，試判斷此人是否真的有區(qū)分這兩種酒的能力。假設(shè)檢驗(yàn)所采用的方法類似與高數(shù)中的反證法:先假設(shè)某個(gè)結(jié)論成立,然后在這個(gè)結(jié)論成立的條件下進(jìn)行推導(dǎo)和運(yùn)算,如果得到矛盾,則推翻原來的假設(shè),結(jié)論不成立；這里的矛盾是與實(shí)際推斷原理的矛盾,即如果“小概率事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生了”,則認(rèn)為原假設(shè)不成立,因此,假設(shè)檢驗(yàn)是一種帶有概率性質(zhì)的反證法.基本思想67二、假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟：681)根據(jù)實(shí)際問題提出原假設(shè)H

0

及備擇假設(shè)H1；,在H

0成立的條件下

選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量決定統(tǒng)計(jì)量的分布；對給定的顯著性水平a

(0

<a

<1),根據(jù)P((X

1

,X

2

,

,X

n

)?

S

|

H

0

)=a確定拒絕域S

;4)一旦得到一組樣本的觀察值(x1

,x2

,

,xn

),若(x1

,x2

,

,xn

)?

S，則拒絕H

0；否則接受H

0。三、假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤:69第一類錯(cuò)誤:如果原假設(shè)H0成立,而觀察值落入拒絕域,從而作出拒絕H0的結(jié)論,稱作第一類錯(cuò)誤,又稱“棄真

”的錯(cuò)誤.由定義知,顯著性水平a恰好是犯第一類錯(cuò)誤的概率；第二類錯(cuò)誤:如果原假設(shè)H0不成立, 而觀察值卻落入接受域,從而作出接受H0的結(jié)論,稱作第二類錯(cuò)誤,又稱“取偽”的錯(cuò)誤,通常記作b。檢驗(yàn)時(shí)當(dāng)然是兩類錯(cuò)誤越小，檢驗(yàn)結(jié)果越精確，但是在樣本容量確定的條件下，我們不可能使得兩類錯(cuò)誤都減小。說明70一般按照控制犯第一類錯(cuò)誤的原則進(jìn)行檢驗(yàn),而不考慮犯第二類錯(cuò)誤（保護(hù)原假設(shè)的原則）,這種檢驗(yàn)問題,稱為顯著性檢驗(yàn)問題?！?.2

單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)設(shè)總體

X

~

N

(m,s

2

),

X

,

X

,

,

X

是來自

X1

2

n的樣本,樣本均值和方差分別為X

和S

2

.一、s2已知，檢驗(yàn)m

:H0

:

m

=

m0

,

H1

:

m

?

m0H

0

:

m

=

m0

,

H1

:

m

>

m0

(H1

:

m

<

m0

);二、s2未知，檢驗(yàn)m

:H0

:

m

=

m0

,

H1

:

m

?

m0

.H0

:

m

=

m0

,

H1

:

m

>

m0

;

(H1

:

m

<

m0

)71H0H1H0真時(shí)統(tǒng)計(jì)量的分布拒絕H0的區(qū)域s

已知m

=

m0m

?

m0U

=

X

-

m0

ns~

N(0,1)|

U

|?

uaa

/2m

>

m0U

?

uam

<

m0U

￡

-uas

未m

=

m0m

?

m0T

=

X

-

m0

nS~

t(n

-1)|

T

|?

ta

/2

(n

-1)m

>

m0T

?

ta

(n

-1)m

<

m0T

￡

-ta

(n

-1)720

0

1

0

073i)H

:s

2

=s

2

;H

:s

2

?s

2

,s

2是已知常數(shù).三、m已知，檢驗(yàn)s2

:0:

s

2

=

s

2

;

H

:

s

2

>

s

2

(

H

:

s

2

<

s

2

)0

1

0

1

0ii)

H四、m未知，檢驗(yàn)s2

:i)H

:s

2

=s

2

;H

:s

2

?s

2

,s

2是已知常數(shù).0

0

1

0

00:

s

2

=

s

2

;

H

:

s

2

>

s

2

(

H

:

s

2

<

s

2

)0

1

0

1

0ii)

HH0H1H0真時(shí)統(tǒng)計(jì)量的分布拒絕H0的區(qū)域m已s2?

s

20c2

=1

ns

2

0

i=1(Xi

-

m)~

c2

(n)2c

2

￡

c

21-a

/

2,

c

2

?

c

2a

/

2s

2＝s

20s2>

s

20c

2

?

c

2

(n)as2<

s

2c

2

￡

c

2

(n)1-a0m

未s2?

s

202

(n

-1)S2c

=s

20n

X

-

X=

(

i

)2

~

c2

(n

-1)i=1

s0c

2

￡

c

21-a

/

2,

c

2

?

c

2a

/

2s

2＝s

20s2>

s

20c

2

?

c

2

(n

-1)as2<

s

20c

2

￡

c

2

(n

-1)1-a7475例

1、設(shè)總體

X

服從正態(tài)分布N

(m,s

2

)

，

(X1,

,

X100

是來自總體X

的容量為

100

的簡單隨機(jī)樣本，對檢驗(yàn)問題：2

2H0

:

s

=

5

?2

2H1

:

s

?

5100i

=1求P(

(

Xi

-

X

)

?

3249.875

|

H

成立)20例

2、設(shè)總體

X

服從正態(tài)分布

N

(m

,

32

)

，

(

X

,

,

X

)

是來1

36自總體

X

的容量為

36

的簡單隨機(jī)樣本，對檢驗(yàn)問題H0：m

=10

?

H1：m

>10若已知在顯著性水平a

=0.05

下，拒絕H0

的區(qū)域?yàn)?6i=1S

={(x1,

,x36

)

xi

?A},求A

。X1

,

X

2

,

,

X16例 3

、 為

來

自

正

態(tài)

總

體X

:N

(m,1)的樣本，現(xiàn)對假設(shè)H

0

:m

=0

，我們有，如下兩個(gè)拒絕域：S1

=

{(x1,

x2

,L

x16

) |

x

|?

0.49}S2

=

{(x1

,

x2

,

x16

)

|

x

|?

0.411}76問對應(yīng)這兩個(gè)拒絕域，在H

0

成立時(shí)拒絕H

0

的概率分別是多少？27711

2

n

21

2

m

1的樣本,

且X

,Y相互獨(dú)立,又分別記它們的樣本均值為X

,Y

,

記樣本方差S

2

,

S

2

。1m

2n的樣本,Y

,Y

,

,Y

是來自正態(tài)總體Y

~

N

(m

,s

2

)設(shè)X

,

X

,

,

X

是來自正態(tài)總體X

~

N

(m

,s

2

)§8.3兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)H0

:

m1

=

m2

,

H1

:

m1

?

m2H0

:

m1

=

m2

,

H1

:

m1

>

m2

(H1

:

m1

<

m2

);7821

2二、s=

s1

22未知，檢驗(yàn)m

-m

:H0

:

m1

=

m2

,

H1

:

m1

?

m2H0

:

m1

=

m2

,

H1

:

m1

>

m2

(H1

:

m1

<

m2

);1

22

,

s一、s1

22

已知，檢驗(yàn)m

-m

:H0H1H0真時(shí)統(tǒng)計(jì)量的分布拒絕H0的區(qū)域s

1

,s

2已知m1

=

m2m1

?

m2U

=

X

-

Y

s

2

s

2 1

+

2

m

n~

N

(0,1)|

U

|?

ua

/2m1

>

m2U

?

uam1

<

m2U

￡

-uas1

=s

2

=s

未知m1

=

m2m1

?

m2T

=

X

-

Y

S

1

+

1v

m

n~

t

(

m

+

n

-

2)|

T

|?

ta

/2

(m

+

n

-

2)m1

>

m2T

?

ta

(m

+

n

-2)m1

<

m2T

￡

-ta

(m

+

n

-2)79i)

H

:s

2

=s

2

;

H

:s

2

?s

20

1

2

1

1

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