幾何五大模型之五(燕尾定理)

幾何五大模型之五(燕尾定理).燕尾定理是指在三角形ABC中，如果AD，BE，CF相交于同一點(diǎn)O，那么三角形ABO與三角形ACO的面積比等于線段BD與線段DC的比。這個(gè)定理可以用來(lái)轉(zhuǎn)化面積比和線段比，因?yàn)槿切蜛BO和三角形ACO的形狀很像燕子的尾巴。這個(gè)定理可以在任何三角形中使用，為三角形中的三角形面積提供了聯(lián)系的途徑。舉個(gè)例子，如圖所示，D是BC上的任意一點(diǎn)，那么S1:S4=S2:S3=BD:DC。因?yàn)槿切蜝ED和三角形CED同高，分別以BD和DC為底，所以S1:S4=BD:DC；三角形ABE和三角形EBD同高，所以S1:S2=ED:EA；三角形ACE和三角形CED同高，所以S4:S3=ED:EA。因此，S1:S4=S2:S3=BD:DC。接下來(lái)是一些練習(xí)題。在三角形ABC中，如果E是AC的中點(diǎn)，BD:DC=1:2，AD與BE交于點(diǎn)F，那么四邊形DFEC的面積是多少？答案是1/3。在三角形ABC中，BD=DC，EC=2AE，三角形ABC的面積是30，求陰影部分的面積。答案是10。在三角形ABC中，AE:EC=3:5，BD:DC=2:3，AD與BE交于點(diǎn)F，那么四邊形DFEC的面積是多少？答案是84。在三角形ABC中，BD=3DC，EC=2AE，BE與CD相交于點(diǎn)O，那么四個(gè)部分的面積各占三角形ABC面積的幾分之幾？答案是7/12。在△ABC中，CP=CB，CQ=CA，BQ與AP相交于點(diǎn)X，如果△ABC的面積是6，那么△ABX的面積是多少？答案是2。在三角形ABC中，BD=2DC，CE=2AE，AD與BE相交于點(diǎn)F，請(qǐng)寫出四個(gè)部分的面積各是多少？答案是S1=S2=S3=1/9，S4=4/9。【鞏固】已知四邊形DFEC中DF與EC交于點(diǎn)G，且E在AC上，D在BC上，且AE:EC=2:3,BD:DC=1:2，AD與BE交于點(diǎn)F．若四邊形DFEC的面積為22cm2，則求三角形ABC的面積?！眷柟獭咳鐖D，三角形ABC中，C為直角，已知AC=2，CD=2，CB=3，AM=BM，求三角形AMN（陰影部分）的面積?！眷柟獭恳阎L(zhǎng)方形ABCD的面積為2平方厘米，EC=2DE，F(xiàn)是DG的中點(diǎn)，求陰影部分的面積?！纠?】如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=3BE，AD=3AF，且四邊形AEOF的面積為12，求平行四邊形BODC的面積。【例3】ABCD是邊長(zhǎng)為12厘米的正方形，E、F分別是AB、BC邊的中點(diǎn)，AF與CE交于G，則求四邊形AGCD的面積?！纠?】已知正方形ABCD的面積為120平方厘米，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，求四邊形BGHF的面積?！纠?】如圖所示，在△ABC中，BE:EC=3:1，D是AE的中點(diǎn)，求AF:FC。【鞏固】在△ABC中，BD:DC=3:2，AE:EC=3:1，求OB:OE?！眷柟獭吭凇鰽BC中，BD:DC=2:1，AE:EC=1:3，求OB:OE?！纠?】如圖，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、BC上的點(diǎn)，且AE=AB/11，CF=BC/11，AF與CE相交于G，若矩形ABCD的面積為120，則求△AEG與△CGF的面積之和?！纠?】如右圖，三角形ABC中，BD:DC=4:9，CE:EA=4:3，求AF:FB。【鞏固】如右圖，三角形ABC中，BD:DC=3:4，AE:CE=5:6，求AF:FB?！眷柟獭咳鐖D，BD:DC=2:3，AE:CE=5:3，求AF:BF。【鞏固】如右圖，三角形ABC中，BD:DC=2:3，EA:CE=5:4，求AF:FB?！纠?】三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形ABC的面積是1，則三角形ABE的面積為3/5，三角形AGE的面積為2/5，三角形GHI的面積為1/5。【鞏固】如圖，三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形GHI的面積是1，求三角形ABC的面積?！眷柟獭咳鐖D，三角形ABC中，BD=2DA，CE=2EB，AF=2FC，那么三角形ABC的面積是陰影三角形面積的4倍?！眷柟獭咳鐖D，在△ABC中，$\frac{DCE}{AFB_1}=\frac{DBECFA_2}{GHI}$，求△ABC的面積。【課后作業(yè)】1、如圖，已知BD=3DC，EC=2AE，BE與CD相交于點(diǎn)O，則△ABC被分成的4部分面積各占△ABC面積的$\frac{2}{15}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{7}{15}$，$\frac{1}{3}$。2、兩條線段把三角形分為三個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，如圖所示，三個(gè)三角形的面積分別是3，7，7，則陰影四邊形的面積是7。3、右圖的大三角形被分成5個(gè)小三角形，其中4個(gè)的面積已經(jīng)標(biāo)在圖中，那么陰影三角形的面積是2。4、如圖，三角形ABC的面積是1，BD=2DC，CE=2AE，AD與BE相交于點(diǎn)F，則四個(gè)部分的面