二次函數與平行四邊形

二次函數與平行四邊形二次函數中構建平行四邊形的存在性問題已知三個定點，再找一個定點構成平行四邊形（平面內有三個點滿足）1.如圖，一次函數分別交y軸、x軸于A、B兩點，拋物線$y=-x^2+bx+c$過A、B兩點。(1)求這個拋物線的解析式；(2)作垂直x軸的直線$x=t$，在第一象限交直線AB于M，交這個拋物線于N。求當$t$取何值時，MN有最大值？最大值是多少？(3)在(2)的情況下，以A、M、N、D為頂點作平行四邊形，求第四個頂點D的坐標。2.如圖，拋物線$y=x^2-2x+c$的頂點A在直線$l:y=x-5$上。(1)求拋物線頂點A的坐標；(2)設拋物線與y軸交于點B，與x軸交于點C、D（C點在D點的左側），試判斷△ABD的形狀；(3)在直線l上是否存在一點P，使以點P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由。3.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線$y=x^2+mx+n$經過點A(3，-2)、B(-2，3)，點P是直線AB上的動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，設點P的橫坐標為t。(1)分別求出直線AB和這條拋物線的解析式。(2)若點P在第四象限，連接AM、BM，當線段PM最長時，求△ABM的面積。(3)是否存在這樣的點P，使得以點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由。(圖略)（二）、已知兩個定點，再找兩個點構成平行四邊形①確定兩定點連接的線段為一邊，則兩動點連接的線段應和已知邊平行且相等）1.如圖甲，在平面直角坐標系中，A、B的坐標分別為（4，-2）、（-2，3），拋物線$y=ax^2+bx+c$經過點(-1,5)。(1)求拋物線對應的函數解析式；(2)將圖甲中△ABO沿x軸向左平移到△DCE（如圖乙），當四邊形ABCD是菱形時，請說明點C和點D都在該拋物線上。(3)在（2）中，若點M是拋物線上的一個動點（點M不與點C、D重合），經過點M作MN∥y軸交直線CD于N，設點M的橫坐標為t，MN的長度為l，求l與t之間的函數解析式，并求當t為何值時，以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形。2.兩定點連接的線段確定為平行四邊形的邊時，可以根據線段的長度和方向確定平行四邊形的位置和大小。例如，在平面直角坐標系中給定直角三角形ABC，其中∠A為直角，AB=AC，A點坐標為(-2,0)，B點坐標為(0,1)，C點坐標為(d,2)。（1）根據AB=AC，可列出方程：(d+2)2+(1-0)2=(2-0)2，解得d=4。（2）將△ABC沿x軸正方向平移，使得B'和C'分別與B、C重合，且它們在某反比例函數圖像上。設反比例函數為y=k/x，則B'和C'的坐標分別為(0,1/k)和(d,2/k)，且滿足k×1/k=d×2/k，解得k=2d。因此，反比例函數為y=2d/x，B'C'的解析式為y=2-2x/d。（3）根據題意，四邊形PGMC'是平行四邊形，因此PG∥MC'，且PG=MC'。設點M的坐標為(m,0)，則C'的坐標為(d+m,2)，直線B'C'的斜率為-2/d，因此PG的斜率也為-2/d。設點P的坐標為(p,2d/p)，則PG的解析式為y=-2x/d+2d+p，MC'的解析式為y=2x/d+2，因此有2d+p=2，即p=-2d+2。因此，點M的坐標為(m,0)，點P的坐標為(-6,1)。3.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A(x1,0)和B(x2,0)兩點，且x1<x2，與y軸交于點C(0,-4)，其中x1和x2是方程x2-4x-12=0的兩個根。（1）根據題意，可列出方程y=a(x-x1)(x-x2)，帶入C點坐標得：-4=a(-x1)(-x2)，解得a=-2。因此，拋物線的解析式為y=-x2+4x-4。（2）設點M的坐標為(m,n)，則點N的坐標為(2m/(x2-x1),-4m/(x2-x1))。因此，△CMN的面積為S=1/2×(2m/(x2-x1))×(4m/(x2-x1))=2m2/(x2-x1)2。由于△ABC是等腰直角三角形，因此B點坐標為(0,2)。設直線l的方程為y=kx，使得拋物線關于l的對稱軸對應的直線與AB重合，且l過點B，則可列出方程：k×1=-2/(x2-x1)，解得k=-2(x2-x1)。因此，l的方程為y=-2(x2-x1)x，將其向上平移2個單位，即可得到恰好將△ABC分為相等兩部分的直線方程：y=-2(x2-x1)x+2。（3）設點P的坐標為(p,q)，則四邊形PACB為平