2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章數(shù)列753數(shù)列建模問題練習(xí)蘇教版

7,5.3數(shù)列建模問題

,基礎(chǔ)考占'

?考點(diǎn)一等差、等比數(shù)列簡單的實(shí)際應(yīng)用自主練薪

題組練透?

1.有一種細(xì)菌和一種病毒,每個(gè)細(xì)菌在每秒鐘殺死一個(gè)病毒的同時(shí)將自身分裂為2個(gè),現(xiàn)在有

一個(gè)這樣的細(xì)菌和100個(gè)這樣的病毒，問細(xì)菌將病毒全部殺死至少需要()

A.6秒鐘B.7秒鐘C.8秒鐘D.9秒鐘

2.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有金維,長五尺，斬本一尺,重四斤.斬末

一尺,重二斤.問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根5尺長的金杖,一頭粗,一頭細(xì).在粗的

一端截下1尺,重4斤;在細(xì)的一端截下1尺，重2斤.問依次每一尺各重多少斤？”根據(jù)上面的

己知條件，若金杖由粗到細(xì)是均勻變化的，問中間3尺的重量為()

A.6斤B.9斤C.9.5斤D.12斤

2n兀

3.一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角成等差數(shù)列,其中最小的內(nèi)角為可,公差為數(shù),則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為

4.為了觀看2022年的冬奧會，小明打算從2018年起,每年的1月1日到銀行存入a元的一年

期定期儲蓄,若年利率為P,且保持不變,并約定每年到期存款本息均自動轉(zhuǎn)為新一年的定

期.2019年1月1日小明去銀行繼續(xù)存款a元后，他的賬戶中一共有一元;到2022年的

1月1日不再存錢而是將所有的存款和利息全部取出，則可取回_______元.□

1_2n

【解析】1.選B.設(shè)需要n秒鐘,貝I」1+2'+2、…+2自》100,所以所以n27.

2.選B.依題意,金杖由粗到細(xì)各尺的重量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,記為｛aj,則a.=4,

35=2,

由等差數(shù)列的性偵得az+ai=ai+a5=2a3=6,所以a3=3,所以中間3尺的重量為

=3a3=9(Jf).

27Tn(n_1、Ti

3.由于凸n邊形的內(nèi)角和為(n-2)j故yn+七」義行(n-2)化簡得r?-25n+

144=0.解得n=9或n=16(舍去).

答案：9

4.依題意,2019年1月1日存款a元后，賬戶中一共有a(l+p)+a=(ap+2a)(元).

2022年1月1日可取出錢的總數(shù)為

(1+p\tl-(1+p)]a.a

a(l+p)'+a(l+p)3+a(l+p)2+a(l+p)-a-----~------^=二[(1+p)°-(1+p)]=二[(1+p),T-p].

1一(1+p)PP

a

答案：(ap+2a)-[(l+p)5-l-p]

J規(guī)律方法

1.解答數(shù)列應(yīng)用題的步驟

(1)審題一一仔細(xì)閱讀材料,認(rèn)真理解題意.

(2)建模一一將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語言,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,弄清該數(shù)列的

結(jié)構(gòu)和特征.

(3)求解一一求出該問題的數(shù)學(xué)解.

(4)還原一一將所求結(jié)果還原到原實(shí)際問題中.

2.具體解題步驟用框圖表示如下

【典例】某商店投入81萬元經(jīng)銷某種紀(jì)念品,經(jīng)銷時(shí)間共60天,市場調(diào)研表明，該商店在經(jīng)銷

'll<n<20i

這一產(chǎn)品期間第n天的利潤a?=—21<n<60(單位:萬元，nGN*).為了獲得更多的利

J0,

潤，商店將每天獲得的利潤投入到次日的經(jīng)營中，記第n天的利潤率

u第九天的利潤03

bn~.例如，b：LQi...

汶九天的挎入格金演fl81++

⑴求bl,b2的值.(2)求第n天的利潤率bn.

【解題導(dǎo)思】

序號題目拆解

(1)①a==

fl1<n<20a?以分段函數(shù)給此注意變量范圍

.n''

IJLU,21<n<60

②況=

第幾天的利潤03

結(jié)合例子b：3-QI,，求bi,慶

汶九天的將入裕全總和’

求bi,b2的值

結(jié)合an=

fl1<n<20

.n''

yr

IJLU,21<n<601

(2)求第n天的利潤率b.

bn=

第九天的利潤

一人口"J----求解,注意bn為分段函數(shù)形

汶〃天的捂入浴金總和

式

1

【解析】(1)當(dāng)n=l時(shí),b尸商;

O1

1

當(dāng)n=2時(shí)，b2二擊.

oZ

,=

（2）當(dāng)1Wn<20時(shí)，ai=a2=a3=?*an\=a^=1,

“1

所以bn=81++。2+…+即.f80+n

當(dāng)21WnW60時(shí)，

斯

,）'181+%+做++%.1

n

=io

81+20+。21+。22++%.1

n

Io2n

\.1—.n2_n+1600,

101+2o（n.21）（九十20）

所以第n天的利潤率

1.

oU十71,l<n<20,nJe/Vi

12n

I-n2-,--n--+-216100</n<60n/=/V*-

思維多變》

1.若典例中條件不變,求該商店在經(jīng)銷此紀(jì)念品期間,哪一天的利潤率最大?并求該日的利潤

率.

11

【解析】當(dāng)lWnW20時(shí),b.F,此時(shí)b”的最大值為b尸而；

oQUn十71o1

r2\

2n------------------22（

當(dāng)21WnW60時(shí)，匕二層—九+i600=九十）絲-600工二為‘當(dāng)且僅當(dāng)

1600\

n----------,即n=40時(shí),“二”成立人

n

122

又因?yàn)樗赐?所以當(dāng)n=40時(shí)，⑸）max二五.

o1/zf/V

2

所以該商店在經(jīng)銷此紀(jì)念品期間,第40天的利潤率最大,且該日的利潤率為為.

2.若典例中條件不變,60天的利潤總和是多少？

n

【解析】當(dāng)lWnW20時(shí)，ai=a2=a3='??=a?1=a?=1,當(dāng)21<n<60時(shí)，a?=^,所以｛a?｝的前20項(xiàng)是

2112140（40-1）

常數(shù)列，后40項(xiàng)是以正為首項(xiàng)，以正為公差的等差數(shù)列,所以S6O=20+40X~+-----------------X

1

元=182（萬元）.

所以60天的利潤總和是182萬元.

口規(guī)律方法:解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的步驟

（D確定模型類型:理解題意,看是哪類數(shù)列模型,一般有等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型、簡單

遞推數(shù)列模型.基本特征如表：

數(shù)列模型基本特征

等差數(shù)列均勻增加或者減少

等比數(shù)列指數(shù)增長或減少，常見的是增長率問題、存款復(fù)利問題

簡單遞推指數(shù)增長的同時(shí)又均勻減少.如年收入增長率為20%,每年年底要拿出a（常

數(shù)列數(shù)）作為下年度的開銷，即數(shù)列⑸｝滿足a?>Fl.23n-a

（2）準(zhǔn)確解決模型:解模就是根據(jù)數(shù)列的知識,求數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列的和、解方程（組）或者不等

式（組）等,在解模時(shí)要注意運(yùn)算準(zhǔn)確.

（3）給出問題的回答:實(shí)際應(yīng)用問題最后要把求解的數(shù)學(xué)結(jié)果化為對實(shí)際問題的答案,在解題

中不要忽視了這點(diǎn).

口變式訓(xùn)練

為了加強(qiáng)新舊動能轉(zhuǎn)化,某市計(jì)劃用若干時(shí)間更換一萬輛燃油型公交車,每更換一輛新車,則

淘汰一輛舊車,替換車為電力型和混合動力型車.今年年初投入了電力型公交車128輛,混合動

力型公交車400輛;計(jì)劃以后電力型車每年的投入量比上一年增加50%,混合動力型車每年比上

一年多投入a輛.

(1)求經(jīng)過n年,該市被更換的公交車總數(shù)S(n).

(2)若該市計(jì)劃7年內(nèi)完成全部更換,求a的最小值.

【解析】(1)設(shè)①,b“分別為第n年投入的電力型公交車、混合動力型公交車的數(shù)量.

3

依題意,得｛a,.)是首項(xiàng)為128,公比為1+50爐］的等比數(shù)列，｛b0｝是首項(xiàng)為400,公差為a的等差數(shù)

列.所以凡｝的前n項(xiàng)和

皿［一(羽上?。?/p>

ST」二2561,

3L

1——

x2

n(n-1)

｛bj的前n項(xiàng)和Tn=400n?-——-——a.

所以經(jīng)過n年,該市被更換的公交車總數(shù)為

⑶"_1n(.n-1)

S(n)=S“+T0=256\2J1+400n+——-——a.

(2)若計(jì)劃7年內(nèi)完成全部更換，

則S⑺210000,

所以256冏\2)-11+400X7+—7X^—6a210000,

16

即21a23082,所以a2146五

又adN*,所以a的最小值為147.

1多變考點(diǎn)’

?考點(diǎn)三數(shù)學(xué)文化與數(shù)列多維探4

命

考什么：考查數(shù)列的遞推關(guān)系,等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和

題

怎么考：以古今數(shù)學(xué)文化為載體的數(shù)列問題

精

新趨勢:從中國古代數(shù)學(xué)名著，如《九章算術(shù)》《算法統(tǒng)宗》《律學(xué)新說》等世界數(shù)學(xué)

解

名著中挖掘素材，也可從古代詩歌、傳說中進(jìn)行提煉

讀

學(xué)

霸

解決數(shù)列應(yīng)用問題,要明確問題屬于哪一種類型，即明確是等差數(shù)列問題還是等比數(shù)列

好

問題,是求a“還是S...特別是要弄清項(xiàng)數(shù).

方

法

命題角度13等差數(shù)列模型

【典例】《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中《均輸章》有如下問題：“今有五人分五

錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何.”其意思為：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢,

甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差數(shù)列,

問五人各得多少錢？（“錢”是古代的一種重量單位）在這個(gè)問題中，丙所得為（）

752

A.%錢B.彳錢C.§錢D.1錢

【解析】選D.因甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差數(shù)列，設(shè)每人所得依次為

a_2d,a_d,a,a+d,a+2d,則a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5,解得a=l,即丙所得為1錢.

命題角度23等比數(shù)列模型

【典例】我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,

共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈？”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下

一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）

A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞

【解析】選B.設(shè)塔的頂層共有燈x盞,則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為x,公比為2的等比數(shù)列,

x（l.27）

結(jié)合等比數(shù)列的求和公式有:，-381,解得x=3,即塔的頂層共有燈3盞.

?L―乙

口解后反思U

如何建立該題的數(shù)學(xué)模型？

提示:建立等比數(shù)列模型,設(shè)頂層燈盞數(shù)x為數(shù)列首項(xiàng),數(shù)列的公比q=2,7層塔的總燈數(shù)為等比

數(shù)列的前7項(xiàng)和.

【名師點(diǎn)睛】用數(shù)列知識解相關(guān)的實(shí)際問題,關(guān)鍵是列出相關(guān)信息,合理建立數(shù)學(xué)模型一一數(shù)

列模型，判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列模型;求解時(shí)要明確目標(biāo)，即搞清是求和、求通項(xiàng)、還是

解遞推關(guān)系問題,所求結(jié)論對應(yīng)的是解方程問題、解不等式問題還是最值問題,然后將經(jīng)過數(shù)

學(xué)推理與計(jì)算得出的結(jié)果放回到實(shí)際問題中,進(jìn)行檢驗(yàn),最終得出結(jié)論.

命題角度33遞推關(guān)系模型

【典例】意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí),發(fā)現(xiàn)有這樣的數(shù)

列：1,1,2,3,5,8,…,該數(shù)列的特點(diǎn)是:從第3個(gè)數(shù)起,每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和,人們

Q彳+諼+運(yùn)++019

把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列｛an｝稱為“斐波那契數(shù)列"，則-----------------------是斐

a2019

波那契數(shù)列中的第項(xiàng).□

【解析】（方法一:分析分子和式的通項(xiàng)，求和化簡）

依題意得a1二a.2=1,a“+2=an+i+an,

2

un

a?H?an*2=n+l+an?“i,

n2

e

所以Qn+l=an+1311+2—3n*Hn+l,

22

-a

則019=a2019a2020a2018a2019,2018=a2018a2019TL2017a2018,

n2

u-

2017=a2017a20I8&2016a20l7）..............

22

口2=a2a3一8田2,又二a?2,

22222

aa

因此02019+a2018+。2017+-+2+l=a202032019,

Q孑+諼+Q專+…+。2019

BP=32020>

a2019

Q孑+諼+Q專++做019

故-----------------------是斐波那契數(shù)列中的第2020項(xiàng).

a2019

a?+諼I2+I2

（方法二:歸納法）------=---=2=a%

a21

謂+諼+退I2+I2+22諼+退+送+諼12+I2+22+32

------------------=-----------------=3=ai,------------------------=--------------------------=5=必，猜測

。32。43

山+諼++*

斯

a彳+諼++Q019

Hn-1.由此可知，-------------------=az020.

a2019

答案:2020

T＞題組通關(guān)一

便毅鞏固?掠

1.《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一,書中有一道這樣的題目：把100個(gè)面包

1

分給5個(gè)人,使每個(gè)人所得成等差數(shù)列,且使較大的三份之和的^是較小的兩份之和，問最小的

一份為（）

510511

A.JB.丁C.7D.

3366

【解析】選A.由100個(gè)面包分給5個(gè)人,每個(gè)人所得成等差數(shù)列,可知中間一人得20塊面包，

設(shè)較大的兩份為20+d,20+2d,較小的兩份為20-d,20-2d,由已知條件可得

155

z（20+20+d+20+2d）=20-d+20-2d,解得d=不,所以最小的一份為20-2d=20-

555

2X-7-=-

63

2.中國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難,次日腳

痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請公仔細(xì)算相還.”其意思為:有一個(gè)人走378里

路，第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地，

請問第二天走了（）

A.192里B.96里

C.48里D.24里

【思路分析】讀懂題意,將古代實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學(xué)問題,本題相當(dāng)于：己知等比數(shù)列｛a,,｝

1

中，公比q=2,前6項(xiàng)和Se=378,求a2.

1

【解析】選B.依題意,每天走的路程構(gòu)成等比數(shù)列⑸｝,且n=6,公比q=1&=378,

設(shè)等比數(shù)列｛&｝的首項(xiàng)為a“

41-京）

依題意有--------=378,

1

1-2

解得ai=192.

1

所以a2=192X^=96.即第二天走了96里.

綜合創(chuàng)新，依

宋元時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家朱世杰在其數(shù)學(xué)巨著《四元玉鑒》卷中“菱草形段”第一個(gè)問題“今

有菱草六百八十束，欲令‘落一形'理(同垛)之.問底子(每層三角形菱草束數(shù),等價(jià)于層數(shù))幾

何？”中探討了“垛積術(shù)”中的落一形垛(“落一形”即是指頂上1束,下一層3束，再下一層6

束，…,成三角錐的堆垛,故也稱三角垛,如圖,表示第二層開始的每層菱草束數(shù))，則本問題中

三角垛底