云南省曲靖市老廠第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

云南省曲靖市老廠第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.a是平面α外的一條直線，過a作平面β，使β∥α，這樣的平面β（）A．只能作一個 B．不存在C．至多可以作一個 D．至少可以作一個參考答案：C【考點】平面的基本性質(zhì)及推論；平面與平面平行的性質(zhì)．【分析】由平面與平面平行的性質(zhì)得這樣的平面β有且只有1個【解答】解：當a∥α時，過a作平面β，使得β∥α，由平面與平面平行的性質(zhì)得：這樣的平面β有且只有1個．a(chǎn)與α相交時，設(shè)平面為β，a與α交點為P，根據(jù)題意P∈β，P∈α，則α∩β=l且P∈l，這與α∥β矛盾，∴這樣的β不存在．綜上所述，過平面α外一條直線a與α平行的平面的個數(shù)為至多1個．故選：C．2.頂點在原點，對稱軸是y軸，并且頂點與焦點的距離為3的拋物線的標準方程為（）A．x2=±3y B．y2=±6x C．x2=±12y D．x2=±6y參考答案：C【考點】拋物線的標準方程．【分析】先設(shè)出拋物線的方程，根據(jù)題意求得p，則拋物線的方程可得．【解答】解：設(shè)拋物線的方程為x2=2p或x2=﹣2p，依題意知=3，∴p=6，∴拋物線的方程為x2=±12y，故選：C．3.已知直線平面，直線平面，給出下列命題,其中正確的是(

).①

②③

④（A）①③

（B）②③④

（C）②④

（D）①②③參考答案：A略4.過點（-1，0）作拋物線的切線，則其中一條切線為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略5.集合,,若,則的值為A.0

B.1

C.2

D.4參考答案：D略6.設(shè)，則“”是“”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件參考答案：A分析：首先求解絕對值不等式，然后求解三次不等式即可確定兩者之間的關(guān)系.詳解：絕對值不等式，由.據(jù)此可知是的充分而不必要條件.本題選擇A選項.點睛：本題主要考查絕對值不等式的解法，充分不必要條件的判斷等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.7.已知正數(shù)a，b滿足4a+b=3，則e?e的最小值為（）A．3 B．e3 C．4 D．e4參考答案：B【考點】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵正數(shù)a，b滿足4a+b=3，∴==≥==3．當且僅當b=2a=1時取等號．則e?e=≥e3．故選：B．8.已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是（

）A

B

C

D

參考答案：B9.設(shè)復(fù)數(shù)，，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點到原點的距離是（

）A．1

B．

C.2

D．參考答案：B，，∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為(－1,1)，到原點的距離是，故選B.

10.若直線與曲線恰有一個公共點，則的取值范圍是．

．

．

．或參考答案：．已知曲線為軸右側(cè)的半個單位圓，由數(shù)形結(jié)合可知，直線過點時，直線與曲線有兩個公共點，即時，直線與曲線有兩個公共點；將直線作向下平移至直線與半圓相切時，直線與曲線恰有一個公共點；向上平移至直線過點時，都只有一個公共點；所以，的取值范圍是或故選．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.不等式的解集為．參考答案：[﹣3，1]【考點】其他不等式的解法；指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點．【分析】把變?yōu)?﹣1，然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：=2﹣1，依題意得：x2+2x﹣4≤﹣1，因式分解得（x+3）（x﹣1）≤0，可化為：或，解得﹣3≤x≤1，所以原不等式的解集為[﹣3，1]．故答案為：[﹣3，1]12.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且△ABC的外接圓半徑為1，若，則△ABC的面積為______．參考答案：分析：由正弦定理可把其中一邊化為角，從而由及由公式求得面積.

詳解：由題意得，即，∴，故答案為.點睛：正弦定理：，利用它把三角形的邊角與外接圓半徑建立聯(lián)系，這樣可得三角形面積為.13.已知拋物線經(jīng)過點，若點到準線

的距離為，則拋物線的標準方程為

。

參考答案：略14.已知在上是增函數(shù)，則的取值范圍是

.參考答案：

15.經(jīng)過點（-2，0），與平行的直線方程是

.參考答案：y=2x+416.求值：

.參考答案：略17.已知，其中i為虛數(shù)單位，則

.參考答案：1.根據(jù)已知可得，則，所以，從而．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.給出命題p：a（1﹣a）＞0；命題q：y=x2+（2a﹣3）x+1與x軸交于不同的兩點．如果命題“p∨q”為真，“p∧q”為假，求a的取值范圍．參考答案：【考點】復(fù)合命題的真假．【分析】先求出命題p，q為真命題時對應(yīng)的等價條件，然后利用p∧q為假命題，p∨q為真命題，確定a的取值范圍．【解答】解：命題p為真?a（1﹣a）＞0?0＜a＜1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）命題q為真，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣命題“p∨q”為真，“p∧q”為假?p，q中一真一假，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）當p真q假時，，得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）當p假q真時，，得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以a的取值范圍是﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【點評】本題考查了復(fù)合命題的真假判斷以及應(yīng)用，要求熟練掌握復(fù)合命題與簡單命題的真假關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．19.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，且過點（，）．（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)不過原點O的直線l：y=kx+m（k≠0），與該橢圓交于P、Q兩點，直線OP、OQ的斜率一次為k1、k2，滿足4k=k1+k2．（i）當k變化時，m2是否為定值？若是，求出此定值，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由；（ii）求△OPQ面積的取值范圍．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）由題設(shè)條件，設(shè)c=k，a=2k，則b=k，利用待定系數(shù)法能求出橢圓方程．（Ⅱ）（i）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，由此利用根的判別式、韋達定理、斜率性質(zhì)，結(jié)合已知條件推導(dǎo)出當k變化時，m2是定值．②利用橢圓弦長公式，結(jié)合已知條件能求出△OPQ面積的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）由題設(shè)條件，設(shè)c=k，a=2k，則b=k，∴橢圓方程為+=1，把點（，）代入，得k2=1，∴橢圓方程為+y2=1．（Ⅱ）（i）當k變化時，m2是定值．證明如下：由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=．∵直線OP，OQ的斜率依次為k1，k2，∴4k=k1+k2==，∴2kx1x2=m（x1+x2），由此解得m2=，驗證△＞0成立．∴當k變化時，m2是定值．②S△OPQ=|x1﹣x2|?|m|=，令=t＞1，得S△OPQ==＜1，∴△OPQ面積的取值范圍S△OPQ∈（0，1）．【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查實數(shù)值是否為實數(shù)的判斷與證明，考查三角形面積的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、斜率性質(zhì)的合理運用．20.某同學(xué)在一次研究性學(xué)習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)．（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos55°（Ⅰ）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．參考答案：【考點】F9：分析法和綜合法；F1：歸納推理．【分析】（Ⅰ）選擇（2），由sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=，可得這個常數(shù)的值．（Ⅱ）推廣，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=．證明方法一：直接利用兩角差的余弦公式代入等式的左邊，化簡可得結(jié)果．證明方法二：利用半角公式及兩角差的余弦公式把要求的式子化為+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα），即1﹣+cos2α+sin2α﹣sin2α﹣，化簡可得結(jié)果．【解答】解：選擇（2），計算如下：sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=，故這個常數(shù)為．（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=．證明：（方法一）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=sin2α+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin2α+cos2α+sin2α+sinαcosα﹣sinαcosα﹣sin2α=sin2α+cos2α=．（方法二）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=1﹣+（cos60°cos2α+sin60°sin2α）﹣sin2α﹣sin2α=1﹣+cos2α+sin2α﹣sin2α﹣=1﹣﹣+=．【點評】本題主要考查兩角差的余弦公式，二倍角公式及半角公式的應(yīng)用，考查歸納推理以及計算能力，屬于中檔題．21.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，是否存在過點（1，－1）的直線與函數(shù)的圖象相切？若存在，有多少條？若不存在，說明理由．參考答案：（1）由題意．

當時，函數(shù)的定義域為，，則，，則，此時函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，當時，函數(shù)的定義域為，，則，，則，此時函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。（2）假設(shè)存在這樣的切線，設(shè)其中一個切點，∴切線方程：，將點坐標代入得：，即，

①設(shè)，則．令，則或。（0,1）1（1,2）2+0-0+遞增極大值遞減極小值遞增所以在區(qū)間，上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在處取得極大值，在處取得極小值，所以在上恒成立，即在上無解。因為，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，根據(jù)零點定理，在區(qū)間上有且僅有一個實數(shù)根，即方程①有且僅有一解，故符合條件的切線有且僅有一條．略22.已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）設(shè)集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為a和b，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率；（2）設(shè)點（a，b）是區(qū)域內(nèi)的隨機點，求y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．參考答案：【考點】等可能事件的概率．【分析】（1）本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是3×5，滿足條件的事件是函數(shù)f（x）=ax2﹣4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸，寫出滿足條件的結(jié)果，得到概率．（2）本題是一個等可能事件的概率問題，根據(jù)第一問做出的函數(shù)是增函數(shù)，得到試驗發(fā)生包含的事件對應(yīng)的區(qū)域和滿足條件的事件對應(yīng)的區(qū)域，做出面積，得到結(jié)果．【解答】解：（1）由題意知本題是一個等可能