經(jīng)濟(jì)學(xué)的數(shù)量分析方法期末試題2012參考答案

“經(jīng)濟(jì)學(xué)的數(shù)量分析方法”期末試題（2013.1.16）答案1、（20分）一個(gè)生產(chǎn)者，以r的價(jià)格租賃機(jī)器K，以w的工資雇傭勞動(dòng)L，生產(chǎn)產(chǎn)出Q，其中。（1）給定產(chǎn)量為Q時(shí)，求其成本最小化的條件要素需求。即求解最優(yōu)化問(wèn)題（2）計(jì)算條件要素需求的價(jià)格效應(yīng)矩陣。（3）證明其拉格朗日乘子為：，說(shuō)明拉格朗日乘子的經(jīng)濟(jì)含義。解：（1）拉格朗日函數(shù)L為則拉格朗日條件為可解得則成本最小化的條件要素需求為QUOTE和QUOTE。（2）條件要素需求的價(jià)格效應(yīng)矩陣為（3）由（1）知拉格朗日乘子QUOTE，把為QUOTE和QUOTE代入成本函數(shù)，則有則QUOTE，拉格朗日乘子表示的是“邊際成本”：當(dāng)產(chǎn)量增加1單位時(shí)，最優(yōu)成本增加了QUOTE單位。QUOTE表示了產(chǎn)量的“影子價(jià)格”。2、（10分）對(duì)于單一產(chǎn)出的生產(chǎn)技術(shù)，設(shè)生產(chǎn)函數(shù)是。證明：生產(chǎn)集是凸集的充分必要條件是生產(chǎn)函數(shù)是凹函數(shù)。（注：與習(xí)題五第4題相類(lèi)似）解：（1）充分性：對(duì)任意的QUOTE，有QUOTE。由生產(chǎn)函數(shù)是凹函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)QUOTE有即QUOTE，即生產(chǎn)集QUOTE是凸集。（2）必要性：對(duì)任意的QUOTE，則有QUOTE，由生產(chǎn)集QUOTE是凸集，則對(duì)任意實(shí)數(shù)QUOTE，有即有則生產(chǎn)函數(shù)QUOTE是凹函數(shù)。3.（20分）分別用圖解法和庫(kù)恩-塔克條件求解下面不等式約束最優(yōu)化問(wèn)題：（P）解：規(guī)劃（P）等價(jià)于（1）庫(kù)恩塔克條件法：令其中QUOTE為廣義拉格朗日乘子，則庫(kù)恩－塔克條件為若QUOTE，則由QUOTE和QUOTE有QUOTE，代入QUOTE，則有QUOTE，此不可能，故QUOTE；同理，可證得QUOTE。即QUOTE是QUOTE和QUOTE兩圓的交點(diǎn)，只有QUOTE和QUOTE兩種可能的取值。當(dāng)取QUOTE時(shí)，由QUOTE有QUOTE，與QUOTE矛盾，故QUOTE只能取QUOTE，代入QUOTE和QUOTE可解得QUOTE。則根據(jù)QUOTE解得QUOTE的最優(yōu)解和廣義拉格朗日乘子為（2）圖解法：4、（20分）求解下列優(yōu)化問(wèn)題：（1）QUOTE；解：（1）令QUOTE，則QUOTE，根據(jù)歐拉方程有則有其中QUOTE為待定常數(shù)，則有同理，QUOTE為待定常數(shù)。由QUOTE知QUOTE，則又由QUOTE，有又由水平終結(jié)線(xiàn)的橫截性條件有即QUOTE，代入QUOTE，可解得QUOTE（QUOTE舍去），QUOTE即最優(yōu)路徑為（2）QUOTE。（2）令漢密爾頓函數(shù)由最大值原理有由QUOTE可得QUOTE，代入QUOTE可得由QUOTE可得由QUOTE可得把QUOTE和QUOTE代入QUOTE，可得二階微分方程由QUOTE解得QUOTE，則可得其中QUOTE為待定常數(shù)，則 則由QUOTE有由QUOTE有可解得則最優(yōu)路徑為5、（30分）假定某經(jīng)濟(jì)的資本積累方程為：，其中總量生產(chǎn)函數(shù)是新古典的，表示總資本存量，表示總?cè)丝冢硎炯夹g(shù)進(jìn)步。假定人口增長(zhǎng)率和技術(shù)進(jìn)步率是外生給定的。試將上述總量形式的資本積累方程改寫(xiě)成按有效勞動(dòng)平均的人均項(xiàng)的形式（即用和描述的資本積累方程）；（2）假定具有無(wú)限壽命的代表性消費(fèi)者的即期效用函數(shù)為。假定時(shí)間偏好因子。試將上述問(wèn)題寫(xiě)成代表性消費(fèi)者所面臨的跨期最優(yōu)化問(wèn)題；（3）考慮（2）中的優(yōu)化問(wèn)題，試推導(dǎo)出和的運(yùn)動(dòng)方程，并解釋消費(fèi)行為和資本積累行為的穩(wěn)態(tài)和轉(zhuǎn)移動(dòng)態(tài)特征。（注：可參考蔣中一《動(dòng)態(tài)最優(yōu)化基礎(chǔ)》9.3，pp.308）解：（1）由QUOTE是新古典的，令即資本積累方程的有效勞動(dòng)平均的人均項(xiàng)形式為社會(huì)的總即期效用為QUOTE，則社會(huì)的總目標(biāo)為令QUOTE，則代表性消費(fèi)者所面臨的跨期最優(yōu)化問(wèn)題為現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)為由最大值原理有由QUOTE有QUOTE，代入