數學競賽專題函數奇偶性和單調性

11.已知函數f(x)的定義域為N，且對任意正整數x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)

若f(0)＝2004，求f(2004)

解：因為f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)

兩式相加得0＝f(x－1)＋f(x＋2)

即：f(x＋3)＝－f(x)∴f(x＋6)＝f(x)

12．設函數f(x)對任一實數x滿足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且f(0)=0。求證：f(x)在[-30，30]上至少有13個零點且f(x)是以10為周期的函數。

解．f(x)關于x=2和x=7對稱。

f(4)＝f(2+2)＝f(2－2)＝f(0)＝0,f(10)＝f(7+3)＝f(7－3)＝f(4)＝0，于是（0，10]上至少有兩個零點。

f(x＋10)＝f(7＋3＋x)＝f(7－3－x)＝f(4－x)＝f(2＋2－x)＝f(2－2＋x)＝f(x)，∴f(x)以10為周期。f(－30)=f(－30＋3×10)=f(0)=0．綜上，f(x)在[－30，30]上至少有13個零點13．函數f(x)=的圖象的對稱軸方程為x=2，則常數a=

－4

.函數第三講奇偶性和單調性莆田四中許沐英這里主要研究運用函數的概念及函數的性質解題,函數的性質通常是指函數的定義域、值域、解析式、單調性、奇偶性、周期性、對稱性等等，在解決與函數有關的(如方程、不等式等)問題時，巧妙利用函數及其圖象的相關性質，可以使得問題得到簡化，從而達到解決問題的目的.關于函數的有關性質，這里不再贅述，請大家參閱高中數學教材復習,這里以例題講解應用一.函數奇偶性的定義：如果對于函數f（x）的定義域內任意的一個x，都有：（1）f（－x）=－f（x），則稱y=f（x）為奇函數（2）f（－x）=f（x），則稱y=f（x）為偶函數例1：若f(x)是奇函數，當x＞0時，f(x)=x·(4－3x),求當x＜０時,f(x)的解析式【解法1】x＞0時，f(x)=x·(4－3x)，在其上取三點P1（0，0）、則它們關于原點的對稱點分別是Q1(0，0)，設x＜０時，34)32()(2-+=xaxf∵Q2在其上，∴

解之，得a=3，∴x＜０時，034)3234(2=-+-a)43(34)32(3)(2+=-+=xxxxf例1：若f(x)是奇函數，當x＞0時，f(x)=x·(4－3x),求當x＜０時,f(x)的解析式【解法2】設x＜0，則－x＞0∴f(－x)=(－x)·(4+3x)∵f(x)是奇函數，∴f(－x)=－f(x)∴x＜0時，f(x)=－f(－x)=x(4+3x)．

例2已知函數f(x)對任意實數a，b都有，且f（0）≠0，則f(x)是（A）奇函數非偶函數（B）偶函數非奇函數（C）是奇函數也是偶函數（D）既非奇函數也非偶函數

例3函數y=f(x)在(-∞,0]

上是減函數，而函數y=f(x+1)是偶函數．設，b=f(3)，c=f(

)．那么a，b，c的大小關系是____.【解】,c=f(

)∵y=f(x+1)是偶函數∴y=f(x)的圖像關于x=1對稱，于是由y=f(x)在(-∞,0]上遞減知，f(x)在[2,+∞)上遞增．∵f(－2)=f(4)而2＜3＜

＜4∴f(3)＜f(

)＜f(4)，即b＜c＜a．．例4.設f(x)是R上的奇函數，且f(x＋3)＝－f(x)，當0≤x≤時，f(x)＝x，則f(2003)＝()

A.－1 B.0 C.1 D.2003解：f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝－f(x＋3)＝f(x)

∴f(x)的周期為6

f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1

用定義證明函數的單調性的步驟:(1).設x1＜x2,并是某個區(qū)間上任意二值;(2).作差

f(x1)－f(x2);(3).判斷

f(x1)－f(x2)的符號:(4).作結論.①分解因式,得出因式x1－x2

.②配成非負實數和.

方法小結二.函數的單調性

例5

已知函數，判斷該函數在區(qū)間上的單調性，并說明理由．【解法1】設．11)(212112+++-+-=xxxxxx22112111)()(xxxxxfxf++--+=-úú?ùêê?é++++-×-=111)(211212xxxxxx∴f(x1)>f(x2)

故函數是減函數．111112121122+++<+T?t?yü+<+<xxxxxxxx1111212<++++Txxxx01111212>++++-Txxxxxxxf-+=1)(【解法2】x≥0時，和都是增函數，∴也是增函數，從而是上的減函數．xxxxy++=-+=111xx++1xxy++=11[)+￥,0例6填空（1）函數的遞增區(qū)間是______．（2）函數遞減區(qū)間是___．

在y軸左側，增減的轉折點是x=－2，且先減后增，故[-2,0]是遞增區(qū)間；在y軸右側，增減的轉折點是x=2，且先減后增，故[2,+∞)

是遞增區(qū)間．654321-1-2-3-4-5-6-7-6-4-224例7.已知(3x＋y)2001＋x2001＋4x＋y＝0，求4x＋y的值.解：構造函數f(x)＝x2001＋x，則

f(3x＋y)＋f(x)＝0

注意到f(x)是奇函數且為R上的增函數，

所以3x＋y＝－x

4x＋y＝0例8解方程：ln(＋x)＋ln(＋2x)＋3x＝0

解：構造函數f(x)＝ln(