協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)矩和協(xié)方差矩陣

§4.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)1.定義

若E[X-E(X)][Y-E(Y)]存在，則稱其為隨機變量X與Y的協(xié)方差。記為Cov（X，Y）即Cov(X,Y)=E[X-E(X)][Y-E(Y)]協(xié)方差Cov(X,Y)=2.協(xié)方差的計算一.協(xié)方差離散型隨機向量其中P{X=xi,Y=yj}=pij

i,j=1,2,3,….連續(xù)型隨機向量

Cov(X,Y)

3.協(xié)方差計算公式Cov(X,Y)=E(XY)－E(X)E(Y)（1）若X與Y獨立,則Cov(X,Y)=0注（2）D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)例1.求Cov(X,Y)Y123101/61/1221/61/61/631/121/60X1/41/21/4???解：E(X)=2,E(Y)=2；Cov(X,Y)=23/6–4=－1/6;E(XY)=求解因為同理可得例2 設(shè)二維（X，Y）隨機變量的密度函數(shù)為4.

協(xié)方差的性質(zhì)（4）當X與Y相互獨立時，有Cov(X,Y)=0（1）Cov(X,Y)=Cov(Y,X)（2）Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b為常數(shù)

（3）Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)例2．已知D(X)=2，D(Y)=4，COV(X,Y)=－2，求3X－4Y+8的方差。解：

D(3X-4Y+8)=D(3X)+D(4Y)-2COV(3X,4Y)=9D(X)+16D(Y)–24COV(X,Y)=18+64+48=130若X，Y相互獨立，D(3X-4Y+8)=D(3X)+D(4Y)=82

由協(xié)方差的性質(zhì)(2)知,協(xié)方差取值的大小要受到量綱的影響,為了消除量綱對協(xié)方差值的影響,我們把X,Y標準化后再求協(xié)方差二.相關(guān)系數(shù)（標準協(xié)方差）1.定義對于隨機變量X和Y,若D（X)≠０，D（Y)≠０則稱為隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)。（標準協(xié)方差）當ρXY=0時,稱X與Y不相關(guān)。２.性質(zhì)（1）|ρXY|≤1；（2）|ρXY|=1當且僅當P{Y=aX+b}=1,其中a,b為常數(shù)。相關(guān)系數(shù)ρXY刻劃了隨機變量X和Y的線性相關(guān)程度。例2.求ρXY解：E(X)=2,E(Y)=2；E(X2)=9/2,E(Y2)=9/2；D(X)=1/2D(Y)=1/2。E(XY)=Cov(X,Y)=23/6–4=-1/6;???Y123101/61/1221/61/61/631/121/60X1/41/21/4例３.

設(shè)隨機變量X的方差D（X)≠０且Y=aX+b(a≠０),求X和Y的相關(guān)系數(shù)ρXY解：（1）|ρXY|≤1；于是，判別式△=４[Cov(X,Y)]2–

４D(X)·D（Y）≤0證明：（1）考慮實變量t的二次函數(shù)因q（t）≥0，D（X）≥0，即方程q（t）=0或者沒有實根或者有重根，，故|ρXY|≤1．（2）|ρXY|=1當且僅當P{Y=aX+b}=1,其中a,b為常數(shù)。2.ρXY的性質(zhì)(2)|ρXY|=1相當于[Cov(X,Y)]2=D(X)·D(Y)

，即相當于方程有二重根，記為t0，即E{[(X—E(X))t0+(Y—E(Y))]2}=0．結(jié)合E{[X—E(X)t0+(Y—E(Y))]}=0，得到D[(X—E(X))t0+(Y—E(Y))]=0．由方差性質(zhì)5知，上式成立的充要條件是

P{[X—E(X)]t0+[Y—E(Y)]=0}=1，

即P{Y=aX+b}=1．其中a=-t0，b=t0E(X)+E(Y)為常數(shù)．顯然，fX(x)fY(y)≠f(x,y)，因此，X與Y不相互獨立。證明：(1)因為同樣E（Y）=0于是ρXY=0，所以

X與Y不相關(guān)。(2)例4．已知（X，Y）的概率密度，試證X與Y既不相關(guān)，也不相互獨立。解：X，Y的聯(lián)合密度f(x,y)及邊緣密度fX(x),fY(y)如下：

從而說明二維正態(tài)分布隨機變量X、Y相互獨立ρ=0，即X、Y相互獨立與不相關(guān)是等價的。例5．設(shè)（X，Y）服從二維正態(tài)分布，求X，Y的相關(guān)系數(shù)。1.將一枚不均勻硬幣投擲n次，以Ｘ和Ｙ分別表示出現(xiàn)正面和反面的次數(shù)，則Ｘ和Ｙ的相關(guān)系數(shù)為（Ａ）－１；（Ｂ）０；（Ｃ）?；(D)1。2.設(shè)隨機變量Ｘ和Ｙ獨立同分布，記U=X+Y,V=X-Y,則Ｕ和Ｖ（Ａ）不獨立；（Ｂ）獨立；（Ｃ）相關(guān)系數(shù)為０；（D）相關(guān)系數(shù)不為０。3.設(shè)Ｘ是隨機變量，Ｙ=aX+b(a≠０),證明：４.設(shè)隨機變量Ｘ的概率密度為求Ｘ與|X|的協(xié)方差，問Ｘ和|X|是否不相關(guān)，是否相互獨立．練習(xí)題1．矩的概念

顯然數(shù)學(xué)期望E（X）是X的一階原點矩，方差D（X）是X的二階中心矩，協(xié)方差Cov(X,Y)是X、Y的二階混合中心矩。設(shè)X、Y為隨機變量，k,l為自然數(shù)，若E（Xk）存在，則稱它為X的k階原點矩。若E{[X—E(X)]k}存在，則稱它為X的k階中心矩。若E（XkYl）存在，則稱它為X與Y的k+l

階混合原點矩。即(k,l=1，2，…)

若E{[X—E(X)]k[Y-E(Y)]L}存在，則稱它為X與Y的k+L階混合中心矩?！?.4矩和協(xié)方差矩陣顯然，協(xié)方差矩陣是對稱陣。2．協(xié)方差矩陣(1).（X，Y）有四個二階中心矩，分別記為C11=E[X-E(X)]2，C12=E[X-E(X)][Y-E(Y)]，C21=E[Y-E(Y)][X-E(X)]，C22=E[Y-E(Y)]2．則稱矩陣為（X，Y）的協(xié)方差矩陣。(2).

對于n維隨機向量（X1，X2，…，Xn）的二階中心矩i,j=1,2,…，n則協(xié)方差矩陣為所以（X，Y）的協(xié)方差矩陣為，由對稱