理學(xué)導(dǎo)數(shù)概念

微分學(xué)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分描述函數(shù)變化程度是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具(從微觀上研究函數(shù))

微分概念的產(chǎn)生是為了描述曲線的切線和運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)速度,微積分分為微分學(xué)與積分學(xué)兩部分.更一般地說,是為了描述變化率的概念,這一概念打開了通向數(shù)學(xué)知識(shí)與真理的巨大寶庫之門.由牛頓—萊布尼茲定理聯(lián)系著.

微積分的系統(tǒng)發(fā)展通常歸功于兩位偉大的科學(xué)先驅(qū)——

這一系統(tǒng)發(fā)展的關(guān)鍵在于認(rèn)識(shí)到,過去是一直是分別研究的微分和積分這兩個(gè)過程是彼此互逆的兩個(gè)過程,

公正的歷史評(píng)價(jià),他倆的巨大成就也是建立在幾百年中作出一點(diǎn)一滴貢獻(xiàn)的許多人的工作基礎(chǔ)之上的.牛頓和萊布尼茲.17世紀(jì)后出現(xiàn)的微積分,在數(shù)學(xué)鄰域中占據(jù)著主要的地位.它非常成功地運(yùn)用了無限過程的運(yùn)算,即極限運(yùn)算.茲的工作才使得微積分成為了一門獨(dú)立的十幾位最偉大的數(shù)學(xué)家和幾十位其它只是通過牛頓和萊布尼事實(shí)上,微積分問題至少被17世紀(jì)數(shù)學(xué)家探索過,的科學(xué).

今天,微積分的思想和方法不僅獲得了廣泛的應(yīng)用,學(xué)的重要支柱.而且微積分也成了數(shù)學(xué)科本章主要內(nèi)容高階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)概念求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)

函數(shù)微分引例導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的幾何意義可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系求導(dǎo)舉例第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念例1直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng),已知路程s與時(shí)間t的試確定t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度v(t0).

這段時(shí)間內(nèi)的平均速度在每個(gè)時(shí)刻的速度.解若運(yùn)動(dòng)是勻速的,平均速度就等于質(zhì)點(diǎn)一、引例關(guān)系質(zhì)點(diǎn)走過的路程為,0tt?從時(shí)刻并稱之為t0時(shí)的瞬時(shí)速度v(t0).若運(yùn)動(dòng)是非勻速的,平均速度就是這段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)快慢的平均值,

越接近它越近似表明t0時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的快慢.因此,人們把t0時(shí)的速度定義為例2割線的極限位置——對(duì)于一般曲線如何定義其切線呢?曲線的切線斜率問題若已知平面曲線如何作過的切線呢？

初等數(shù)學(xué)中并沒有給出曲線切線的定義.過該點(diǎn)的切線.我們知道與圓周有唯一交點(diǎn)的直線即為圓周但此定義不適應(yīng)其它曲線.如與拋物線有唯一交點(diǎn)的直線不一定是切線.切線位置.曲線上點(diǎn)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1629年提出了如下的定義和求法,從而圓滿地解決了這個(gè)問題.處切線的斜率.已知曲線的方程確定點(diǎn)MN為割線，當(dāng)點(diǎn)N在曲線上趨于點(diǎn)M時(shí),現(xiàn)在來解決以下問題：則MT為點(diǎn)M處的如圖,MN旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,切線.割線MN的斜率為切線MT的斜率為0limxx?

就其實(shí)際意義來說各不相同,關(guān)系上有如下的共性:但在數(shù)量計(jì)算方法上,上述兩例,分別屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)、幾何學(xué)中的問題,均需要做以下極限運(yùn)算：令上述極限可以寫為或定義函數(shù)與自二、導(dǎo)數(shù)的定義之比為變量的增量xD中的任何一個(gè)表示,存在,如或或有導(dǎo)數(shù).可用下列記號(hào)則稱此極限值為處不可導(dǎo)或?qū)?shù)不存在.特別當(dāng)(1)式的極限為有時(shí)也說在x0處導(dǎo)數(shù)是正(負(fù))無注要注意導(dǎo)數(shù)定義可以寫成多種形式:當(dāng)極限(1)式不存在時(shí),就說函數(shù)f(x)在x0在利用導(dǎo)數(shù)的定義證題或計(jì)算時(shí),正(負(fù))無窮時(shí),窮大,但這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在.關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明或令(1)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在點(diǎn)x0處的變化率,它反映了函數(shù)隨自變量的變化而變化的快慢程度，即函數(shù)的變化率.則無論何種形式，其本質(zhì)在于(1)函數(shù)增量與自變量增量之比；(2)變化過程為自變量增量趨近于零.例第86頁1，2題邊際概念是與導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)的經(jīng)濟(jì)學(xué)概念,(2)如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間

I內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo),就稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo).注記作即或(3)對(duì)于任一都對(duì)應(yīng)著f(x)的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值.叫做原來函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù).函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在這點(diǎn)的函數(shù)值導(dǎo)函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，它是x與f(x)的導(dǎo)數(shù)間的對(duì)應(yīng)，導(dǎo)函數(shù)也簡稱為導(dǎo)數(shù).上述的求極限過程中，誰是變量？從而確定了一個(gè)以x為自變量，以導(dǎo)數(shù)值為因變量的新的函數(shù).例解三、求導(dǎo)舉例(幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù))

步驟

即例解更一般地如即以后證明！例解即同理可得課后練習(xí)！例解即第一章第9節(jié)例7！例解即或利用第一章第9節(jié)例6！例解即左右極限雖然存在，但是不相等.是否可導(dǎo)取決于是否存在單側(cè)導(dǎo)數(shù)存在而且相等，由導(dǎo)數(shù)定義存在的充分必要條件為和分別稱為f(x)在x0處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，記為左右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù).處的可導(dǎo)性.此性質(zhì)常用于判定分段函數(shù)在分段點(diǎn)如果在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),都存在,比如f(x)=|x|在x=0處所以在此點(diǎn)不可導(dǎo).極限存在的充要條件為左右極限存在且相等.特別地:即四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義由引例2(切線問題)，切線的斜率就是極限值))(,()(,0)()1(000xfxxfyxf在點(diǎn)則曲線若==￠;軸的切線平行于Ox例解得切線斜率為所求切線方程為法線方程為由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,即即五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系即函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系所以,該點(diǎn)必連續(xù).結(jié)論：如果函數(shù)則函數(shù)在在點(diǎn)x處可導(dǎo),如,該命題的逆命題不一定成立.注連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件,不是可導(dǎo)的充分條件.例討論函數(shù)在x=0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性.解在x=0處的連續(xù)性是顯然的.但在x=0處，由于所以是不可導(dǎo)的.