工程力學材料力學桿的穩(wěn)定計算與校核

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對于這些細長的壓桿，其破壞并非由于強度不足，而是由于荷載（壓力）增大到一定數(shù)值后，不能保持原有直線平衡形式而失效。工程中存在著很多受壓桿件。21.兩端鉸支細長壓桿，當F力較小時，桿在力F作用下將保持原有直線平衡形式。此時，在其側向施加微小干擾力使其彎曲，當干擾力撤除后，桿仍可回復到原來的直線形式。可見這種直線平衡形式是穩(wěn)定的。32.當壓力超過某一數(shù)值時，如作用一側向微小干擾力使壓桿微彎，則在干擾力撤除后，桿不能回復到原來的直線平衡形式，而在微彎狀態(tài)下保持平衡。壓桿原來的直線平衡形式是不穩(wěn)定的。這種喪失原有平衡形式的現(xiàn)象稱為喪失穩(wěn)定性，簡稱失穩(wěn)。壓桿從穩(wěn)定平衡過渡到不穩(wěn)定平衡時，軸向壓力的臨界值，稱為臨界力或臨界荷載，用Fcr表示。4

穩(wěn)定性問題在其它一些構件，如板、殼。一些薄壁構件中也存在。如寬高比較小的懸臂梁，F(xiàn)力過大時會發(fā)生側向失穩(wěn)。5§14-2細長壓桿的臨界荷載

在臨界力Fcr作用下，細長壓桿在微彎狀態(tài)下平衡，若此時壓桿仍處在線彈性階段，可應用梁的撓曲線近似微分方程及桿端約束條件求解臨界力Fcr。1.兩端鉸支的細長壓桿設兩端鉸支的細長壓桿在臨界荷載Fcr作用下，在xOw平面內處于微彎狀態(tài)。lxFcrw6撓曲線近似微分方程為lwxFcrxwEIw"=-M(x)x截面的彎矩為M(x)=Fcr

w

EIw"

=-Fcr

wEIw"

+Fcr

w

=0令k2=FcrEIw"

+k2w

=0得二階常系數(shù)線性微分方程其通解為w=Asinkx+BcoskxA、B、k待定常數(shù)xwxwFcrFcrM(x)7由桿的已知位移邊界條件確定常數(shù)x=0，w=0x=l，w=0得

B=0，w=Asinkx得Asinkl=0由Asinkl=0

得

A=0（不可能）

或sinkl=0即

kl=nπ

(n=0,1,2…）因此:Fcr=n2π2EIl2最小的臨界荷載（n=1）（Euler公式）Fcr=π2EIl2k2=FcrEI(n=0,1,2…）lxFcrww=Asinkx+Bcoskx8壓桿的撓曲線方程為A是壓桿中點的撓度wmax。w=Asinxπl(wèi)（半波正弦曲線）x=2l時wmax=Aw=Asinkx+Bcoskxk=π/llxFcrw92.不同桿端約束下壓桿的臨界力xFcrwxwlABlwxFcrxwABwlxFcrxwABxFcrxwABwl10lFcrFcr2lFcrl類比法

一端固定一端自由的細長壓桿，長度2l范圍內與兩端鉸支細長壓桿撓曲線形狀相同。Fcr=π2EI（2l）211lFcrFcrl/2l/4l/4類比法Fcr=π2EI(0.5l)2兩端固定細長壓桿，長度0.5l范圍內與兩端鉸支細長壓桿撓曲線形狀相同。120.7lFcr0.3llFcr類比法Fcr=π2EI(0.7l)2一端固定，另一端鉸支的細長壓桿，在0.7l范圍內與兩端鉸支細長壓桿撓曲線形狀相同。13Euler公式的統(tǒng)一形式Fcr=π2EI(μl)2約束越強，μ越小，臨界力Fcr越大。μ——長度系數(shù)μl——相當長度一端固定一端自由一端固定一端鉸支兩端固定兩端鉸支μ=1.0μ=2.0μ=0.5μ=0.714Fcr=π2EI(μl)2公式討論2.當桿端約束在各個方向相同時（如球鉸、空間固定端），壓桿只可能在最小抗彎剛度平面內失穩(wěn)，即I取Imin值；1.Fcr與抗彎剛度成EI正比，與相當長度μl的平方成反比；最小抗彎剛度平面：慣性矩I為最小的縱向平面如矩形截面的Iy最小，xOz平面為最小抗彎剛度平面?！?0-2細長壓桿的臨界荷載153.實際工程中的壓桿。其桿端約束有很多變化，要根據(jù)具體情況選取適當?shù)拈L度系數(shù)μ值。4.實際工程中的壓桿，非理想的均質直桿，荷載也總會有小的偏心，因此其臨界力比公式計算出的為小，這可以在安全系數(shù)里考慮，故實際工程中壓桿仍可按該公式計算其臨界荷載?！?0-2細長壓桿的臨界荷載27.516§14-3歐拉公式的適用范圍當壓桿在臨界荷載Fcr作用下，并仍處于直線形式的平衡狀態(tài)時，橫截面上的正應力稱為臨界應力。一、壓桿的臨界應力σcr=FcrAπ2EI(μl)2=Ai2=IAμliλ=令σcr=π2Eλ2則有λ——稱為壓桿的柔度（或細長比），它綜合反映了壓桿的幾何尺寸和桿端約束對壓桿承載能力的影響。17二、歐拉公式的適用范圍推導歐拉公式時，桿處于線彈性狀態(tài)。σcr≤σP故歐拉公式的適用條件σcr=π2Eλ2≤σPλ≥√π2EσP令√λP=π2EσPλ≥λP滿足該條件的壓桿稱為細長壓桿（或大柔度桿）?！?0-3歐拉公式的適用范圍18λP為材料參數(shù)，不同的材料有不同的值。如Q235鋼，σP=200MPaE=200MPaλP=100三、中小柔度桿的臨界應力λ≥λPλ<λP為彈性失穩(wěn)壓桿的失穩(wěn)稱為非彈性失穩(wěn)σcr>σP此時歐拉公式不再適用，工程上常以試驗結果為依據(jù)的經(jīng)驗公式來計算這類壓桿的臨界應力。如直線公式σcr=a-b

λa、b為與材料有關的常數(shù)，由試驗確定。如Q235鋼，a=304MPab=1.12MPa這類壓桿的臨界力為σcrFcrA=§10-3歐拉公式的適用范圍稱為中長桿(中柔度桿)19實際上時σcr≥σu壓桿將發(fā)生強度破壞，而不是失穩(wěn)破壞。直線公式的適用范圍<λ<λPλu四、失效應力總圖oσcr=σsσcr=a-bλλuλpσcrλσcrσpσcr=E22πλQ235鋼的失效應力總圖§10-3歐拉公式的適用范圍σP<σcr<σu稱為短粗桿(小柔度桿)=a-σcrλub20例TC13松木壓桿,兩端為球鉸。壓桿材料的比例極限σp=9MPa,強度極限σb=13MPa，彈性模量E=1.0×104MPa。a=29.3MPa,b=0.19MPa。壓桿采用面積相同的兩種截面:(1)h=120mm,b=90mm的矩形。(2)b=104mm正方形。試比較二者的臨界荷載。Fcr3mhbFcr3mbb解：(1).矩形截面§10-3歐拉公式的適用范圍21該壓桿為細長桿,臨界力用歐拉公式計算:§10-3歐拉公式的適用范圍Fcr3mhb22(2).正方形截面該壓桿為中長桿Fcr3mbb§10-3歐拉公式的適用范圍第28次課結束處作為作業(yè)題！23例一壓桿,長l=2m,截面為10號工字鋼,材料為Q235鋼,σs=235MPa,E=206GPa,σp=200MPa。壓桿兩端為柱形鉸。試求壓桿的臨界荷載。軸銷xyz解：先計算壓桿的柔度。在xz面內，壓桿兩端可視為鉸支，μ=1。查型鋼表，得iy=4.14cm，故§10-3歐拉公式的適用范圍24在xy面內，壓桿兩端可視為固支，μ=0.5。查型鋼表，得iz=1.52cm，故軸銷xyz壓桿將在xy面內失穩(wěn)Q235鋼故壓桿為中長桿臨界應力:橫截面面積:臨界力:§10-3歐拉公式的適用范圍25§14-4壓桿的穩(wěn)定計算一、壓桿的穩(wěn)定條件壓桿的穩(wěn)定條件為nst為穩(wěn)定安全因數(shù)；[Fst]為穩(wěn)定容許壓力。用應力表示的穩(wěn)定條件為[σst]為穩(wěn)定容許應力。nst的選取除了要考慮在選取強度安全因數(shù)時的那些因素外，還要考慮影響壓桿失穩(wěn)的其它不利因素，如初曲率、荷載偏心等。26二、壓桿的穩(wěn)定計算1.安全因數(shù)法2.折減因數(shù)法或φ稱為折減因數(shù)；小于1?！?0-4壓桿的穩(wěn)定計算是強度容許應力28.527例由Q235鋼制成的千斤頂如圖。絲桿長l=800mm，直徑d=40mm，上端自由，下端可視為固定。材料E=2.1×105MPa。若該絲桿的穩(wěn)定安全因數(shù)nst=3，是求該千斤頂?shù)淖畲蟪休d力。解：先求絲桿的臨界壓力Fcr絲桿lFQ235鋼故絲桿為細長桿28例(刪除)

某鋼柱長7m，由兩根16b號槽鋼組成，材料為Q235鋼，橫截面如圖所示，截面類型為b類。鋼柱的兩端截面上有4個直徑為30mm的螺栓孔。鋼柱μ=1.3，受260kN的軸向壓力，材料的[σ]=170MPa。（1）求兩槽鋼的間距h。（2）校核鋼柱的穩(wěn)定性和強度。解：(1)確定兩槽鋼的間距h鋼柱兩端約束在各方向均相同，因此，最合理的設計應使Iy=Iz,從而使鋼柱在各方向有相同的穩(wěn)定性。單根16b號槽鋼的截面幾何性質可由型鋼表查得為:A=25.15cm2，Iz=934.5cm4，Iy0=83.4cm4，z0=1.75cm，δ=10mm§10-4壓桿的穩(wěn)定計算29按慣性矩的平移公式，鋼柱截面對y軸的慣性矩為Iy

=2[Iyo+A(z0+h/2)2]由Iy=Iz的條件得到2×934.5=2×[83.4+25.15(1.75+h/2)2]整理后得到12.58h2+85.51h-1566.83=0解出h后,舍棄不合理的負值,得h=8.23cm

。A=25.15cm2，Iz=934.5cm4，Iy0=83.4cm4，z0=1.75cm，δ=10mm§10-4壓桿的穩(wěn)定計算30查表得

φ=0.308，所以

φ[σ]=0.308×170MPa=52.4MPa而鋼柱的工作應力為鋼柱滿足穩(wěn)定要求。(3)校核鋼柱的強度

對螺栓孔削弱的截面,應進行強度校核。該截面上的工作應力為故削弱的截面仍有足夠的強度?！?0-4壓桿的穩(wěn)定計算31壓桿的臨界荷載越大，壓桿越不容易失穩(wěn)。臨界荷載取決于壓桿的長度、截面形狀和尺寸、桿端約束及材料的力學性質等因素。1.

在截面面積不變的前提下，盡量使材料分布得離形心較遠，以增大I值，從而增大壓桿的臨界荷載。§14-5增強壓桿穩(wěn)定性的措施Fcr=π2EI(μl)2一、選擇合理的截面形式2.盡量使壓桿各個方向具有相同的穩(wěn)定性。實心變空心等323.

組合而成的壓桿必須同時保證整體的穩(wěn)定性和每一分支的穩(wěn)定性，最合理的情況是整體與分支具有相同的穩(wěn)定性