（新教材）【人教A版】必修一2.2.2（數(shù)學(xué)）

第2課時(shí)基本不等式的應(yīng)用

類型一“常數(shù)代換法”求最值【典例】若點(diǎn)A(1,1)在直線mx+ny-1=0(mn>0)上,則的最小值為________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)

【思維·引】由已知條件得到m,n的關(guān)系,構(gòu)造基本不等式求最值.【解析】因?yàn)锳(1,1)在直線mx+ny-1=0(mn>0)上,所以m+n=1,而≥2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=時(shí),取“=”,所以的最小值為4.答案:4【內(nèi)化·悟】“常數(shù)代換法”適合什么樣的問(wèn)題求解?提示:有條件的求最值問(wèn)題.【類題·通】常數(shù)代換法求最值的方法步驟常數(shù)代換法適用于求解條件最值問(wèn)題.應(yīng)用此種方法求解最值的基本步驟為:(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù)).(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1.(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除,進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式.(4)利用基本不等式求解最值.【習(xí)練·破】已知x,y均為正數(shù),且,求x+y的最小值.【解析】x+y=(x+y)≥10+=16,當(dāng)且僅當(dāng),即x=4,y=12時(shí)取等號(hào),所以x+y的最小值為16.【加練·固】若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是

(

)A. B. C.5 D.6【解析】選C.由x+3y=5xy可得,所以3x+4y=(3x+4y)·

,當(dāng)且僅當(dāng)x=1,y=時(shí)取等號(hào),故3x+4y的最小值是5.類型二利用基本不等式證明不等式【典例】1.已知a>0,b>0,c>0,求證:≥a+b+c.2.已知a,b,c均大于0,且a+b+c=1,求證:≥9. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【思維·引】1.轉(zhuǎn)化為證明≥2(a+b+c),利用基本不等式分步證明.2.將“1”換為a+b+c,轉(zhuǎn)化成積為常數(shù)的特點(diǎn),利用基本不等式證明.【證明】1.因?yàn)閍>0,b>0,c>0,所以≥2c.同理:

,

≥2(a+b+c).故≥a+b+c(當(dāng)且僅當(dāng),即a=b=c時(shí)等號(hào)成立).2.因?yàn)閍,b,c均大于0,且a+b+c=1,所以

=≥3+2+2+2=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí),等號(hào)成立.【內(nèi)化·悟】利用基本不等式證明不等式的關(guān)鍵是什么?提示:觀察所求不等式的特點(diǎn),逐步轉(zhuǎn)化到可利用基本不等式進(jìn)行證明.【類題·通】利用基本不等式證明不等式的策略與注意事項(xiàng)(1)策略:從已證不等式和問(wèn)題的已知條件出發(fā),借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理,經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理,最后轉(zhuǎn)化為所求問(wèn)題,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.(2)注意事項(xiàng):①多次使用基本不等式時(shí),要注意等號(hào)能否成立;②累加法是不等式證明中的一種常用方法,證明不等式時(shí)注意使用;③對(duì)不能直接使用基本不等式的證明可重新組合,形成基本不等式模型,再使用.【習(xí)練·破】1.已知a,b,c都是正數(shù),求證:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.【證明】因?yàn)閍,b,c都是正數(shù),所以a+b≥2>0,b+c≥2>0,c+a≥2>0,所以(a+b)(b+c)(c+a)≥2·2·2=8abc,即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.2.設(shè)a>0,b>0,a+b=1,求證: .【證明】因?yàn)閍,b∈(0,+∞),a+b=1,所以1=a+b≥2,≤,所以ab≤即≥4.因?yàn)? ,.【加練·固】已知a,b,c為正數(shù),求證: .【證明】左邊

.因?yàn)閍,b,c為正數(shù),所以(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”);(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取“=”);(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取“=”).從而 ≥6(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)).所以 -3≥3,即 .類型三基本不等式的實(shí)際應(yīng)用【典例】運(yùn)貨卡車以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛130千米,按交通法規(guī)限制50≤x≤100(單位:千米/時(shí)).假設(shè)汽油的價(jià)格是每升6元,而汽車每小時(shí)耗油升,司機(jī)的工資是每小時(shí)14元. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式.(2)當(dāng)x為何值時(shí),這次行車的總費(fèi)用最低,并求出最低費(fèi)用的值.【思維·引】由題意列出總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式,利用基本不等式求最值.【解析】(1)設(shè)所用時(shí)間為t=(h),y=×6×+14×,x∈[50,100].所以,這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式是y= ,x∈[50,100].(2)y= ,當(dāng)且僅當(dāng),即x=時(shí),等號(hào)成立.又<50,所以當(dāng)x=50時(shí),這次行車的總費(fèi)用最低,最低費(fèi)用的值為y= ×50=元.【類題·通】應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),應(yīng)注意如下思路和方法.(1)先理解題意,設(shè)出變量,一般把要求最值的量定為函數(shù).(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系,把實(shí)際問(wèn)題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題.(3)在題目要求的范圍內(nèi),求出函數(shù)的最大值或最小值;(4)正確寫出答案.【習(xí)練·破】如圖,動(dòng)物園要圍成相同面積的長(zhǎng)方形虎籠四間,一面可利用原有的墻,其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成.現(xiàn)有36m長(zhǎng)的鋼筋網(wǎng)材料,每間虎籠的長(zhǎng)、寬分別設(shè)計(jì)為多少時(shí),可使每間虎籠面積最大?【解析】設(shè)每間虎籠長(zhǎng)xm,寬ym,則由條件知,4x+6y=36,即2x+3y=18.