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文檔簡介

第2講矢量與場論1

1（1-3）證明：如果ABAC和ABAC，則BC。

證明：由 ABAC AABAAC

根據(jù)ABCBACCAB，有：

AABBAAAACCAA

BAACAA

得證。

BC

2（1-4）證明：兩個矢量A2a?x5a?y3a?z和B4a?x10a?y6a?z是相互平行的。

證明1：根據(jù)條件，知B2A，所以這兩個矢量平行。

證明2：，

AB2a?x5a?y3a?z4a?x10a?y6a?z

a?x a?y a?z

2 5 30

4 10 6

所以這兩個矢量平行。

3（1-3）在直角坐標系中，試求點A(1,2,3)指向點B(-3,6,4)的單位矢量和兩點間的距離。

解：Aa?x2a?y3a?z，B3a?x6a?y4a?z

RBA4a?x4a?ya?z

33

兩點間距離為：RR4a?x4a?ya?z

4a?4a?a?

單位矢量為：a?R

R

33

R

第3講矢量與場論2

4

50

1（1-7）求函數(shù)x2yz的梯度及在點M(2,3,1)沿一個指定方向的方向導數(shù)，此方向的單位矢量為a? a? a? a?

l x

解：函數(shù)x2yz的梯度為

y

a?

z

a?

a?

xx

yy

zz

在點M(2,3,1)處，有

a? 2 2

12,

x2z

4,

x2y

12

xM M

方向導數(shù)的余弦為

yM M

zM M

3

50

4

50

5

50

cos , cos , cos

所以在點M處的方向導數(shù)為

112

50

coscoscos

l x y z

M M

2（1-10）計算下面標量場的梯度u：（1）ux2y3z4；（2）u3x22y23z2

解：（1）ux2y3z4的梯度

ua?ua?

ua?u

xx

yy

zz

2xy3z4a? 224 233

（2）u3x22y23z2的梯度為

ua?ua?

ua?u

xx

yy

zz

6xa?x4ya?y6za?z

3（1-13）求（1）矢量

2 xy2a?24x2y2z3a?

的散度；（2） 對在原點

A

的單位立方體的積分。

解：（1）Ax2, Axy2, A24x2y2z3

AxAyAz

Ax y z

2x2x2y72x2y2z2

（2）

1 1 1

111

V

AdV 2 2 22x2x2y72x2y2z2dxdydz

2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 22xdxdydz

2 2 22x2ydxdydz 2 2 27

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