文化發(fā)展與希臘數(shù)學的興起

文化發(fā)展與希臘數(shù)學的興起

0文化發(fā)展對希臘數(shù)學的促進作用希臘是歐洲文明的起源地。經濟和文化的繁榮促進了希臘數(shù)學的繁榮發(fā)展，許多希臘數(shù)學家為數(shù)學的發(fā)展做出了重大貢獻。許多希臘數(shù)學家在學習哲學的過程中發(fā)現(xiàn)了數(shù)學的問題。哲學家擅長討論和探索，也促進了希臘數(shù)學在演繹和發(fā)展的發(fā)展。從希臘數(shù)學的興起和發(fā)展來看，文化發(fā)展對數(shù)學研究的有益有益。1泰勒斯與畢達哥拉斯的演繹推理古希臘的文化在世界文化史上占據了十分重要的地位,注重人與自然的關系,注重演繹推理為特征的希臘文化,給人類留下了許多珍貴的遺產.希臘數(shù)學深受希臘文化體系的影響,重視抽象、演繹、體系,數(shù)學被尊稱為“學”,是成體系的學問.哲學、邏輯、力學、天文學、建筑、音樂、藝術等都與數(shù)學關系密切,在某種意義上對數(shù)學發(fā)展起到了積極的促進作用希臘數(shù)學的開創(chuàng)者是兩位著名的哲學家,即泰勒斯(Thales,公元前624—548年)和畢達哥拉斯(Pythagoras,公元前572—479年).遺憾的是,他們沒有留下任何著作,但是,在注重演繹推理的希臘文化體系框架下,他們的數(shù)學發(fā)現(xiàn)及數(shù)學思想通過后人在認知與實踐中的應用,卻為希臘數(shù)學的發(fā)展奠定了基礎,并起到了積極的推動作用.1.1泰勒斯對希臘數(shù)學的貢獻泰勒斯是希臘史上最早的數(shù)學家和哲學家,他提出了5個數(shù)學定理數(shù)學命題的發(fā)現(xiàn),并非泰勒斯對希臘數(shù)學的重要貢獻.泰勒斯對希臘數(shù)學的重要意義在于他開創(chuàng)了對命題的證明,開創(chuàng)了應用邏輯方式推證命題的實踐.這一重要貢獻為后來的哲學家和數(shù)學家提供了理論概括的科學依據,為演繹幾何的發(fā)展奠定了基礎.1.2畢達哥拉斯學派的數(shù)學成就畢達哥拉斯學派是在將數(shù)學放在極高的位置、以數(shù)學為“學”的希臘文化中孕育出來的.畢達哥拉斯創(chuàng)建了一個兼有宗教、哲學和政治性質的神秘團體,即學術史上的畢達哥拉斯學派.畢達哥拉斯學派認為數(shù)是萬物之本源,即所謂的“萬物皆數(shù)”,他們關于數(shù)是萬物本源的理論促使他們以推理而不是以實踐去探究數(shù)學定理,使數(shù)學更接近一門純理智的學科,從而推動論證數(shù)學的誕生.畢達哥拉斯學派的數(shù)學成就主要體現(xiàn)在以下幾個方面.1.2.1幾何圖形的帶借助幾何圖形(或點陣)來表示的數(shù)叫形數(shù),形數(shù)是聯(lián)系算術和幾何的紐帶,體現(xiàn)了數(shù)形合一的數(shù)學思想.畢達哥拉斯學派的早期學者繼承了上古時代以卵石計數(shù)的傳統(tǒng),常用平面上的點代表數(shù)(指自然數(shù)).他們將這些點排成幾何圖形(或點陣),進而結合幾何圖形的性質推出數(shù)的性質.1.2.2計數(shù)和個數(shù).“萬物皆數(shù)”學說促進了畢達哥拉斯學派對整數(shù)進行分類研究.他們把整數(shù)劃分為奇數(shù)和偶數(shù),又從因數(shù)分解著眼,根據一個數(shù)與其真因子和的關系,把整數(shù)劃分為完全數(shù)、過剩數(shù)和虧數(shù).例如:6=1+2+3,故6是完全數(shù);12<1+2+3+4+6,故12是一個過剩數(shù);8>1+2+4,故8是一個虧數(shù).1.2.33種平均值2個數(shù)1.2.4勾股個數(shù)的發(fā)現(xiàn)勾股定理在西方叫做畢達哥拉斯定理,人們把滿足勾股定理的3個正整數(shù),叫做勾股數(shù)組,西方則稱之為畢達哥拉斯數(shù)組.畢氏學派發(fā)現(xiàn)了勾股數(shù)組公式:1.2.5幾何圖形的相似理論和平滑理論早期畢氏學派誤以為任何兩個同類的幾何量都是可公度的,因此,他們根據整數(shù)間的比例關系建立起關于圖形相似的理論,從而把幾何問題歸結為對整數(shù)及其比例的研究.晚期畢氏學派進一步建立了平行線理論,證明了三角形全等定理和三角形內角和定理,為平面幾何的直線形內容奠定了基礎.1.2.6發(fā)現(xiàn)不可公度比的存過去的比例理論是建立在任何兩個同類的量都可公度的基礎上的.不可公度線段的發(fā)現(xiàn)使人們對由此而建立起來的定理產生了懷疑.關于不可公度線段的著名例子是畢氏學派證明正方形的對角線和邊長沒有公度(假如有公度,奇數(shù)就會等于偶數(shù)).不可公度線段的發(fā)現(xiàn),是畢氏學派的一大功績.為此,幾乎所有希臘數(shù)學家都不能理解和接受無理數(shù),出現(xiàn)了數(shù)學史上第一次數(shù)學危機.2辯論與演繹證明的對比希臘數(shù)學一開始就和哲學結合在一起,并將哲學界流行的辯論之風引入到數(shù)學研究中,要求對任何數(shù)學命題都給出證明.善于辯論的哲學傳統(tǒng),為數(shù)學研究開創(chuàng)了百家爭鳴的學術氛圍,使數(shù)學命題的證明更趨嚴密,演繹證明逐漸完善.爭鳴,讓希臘數(shù)學進入輝煌時期.希臘數(shù)學注重數(shù)學證明、數(shù)學推理及數(shù)學方法,追求完美的理想.強調將知識加以演繹推理,并將數(shù)學發(fā)現(xiàn)在演繹體系中表述出來.2.1數(shù)學模型的悖論及其當代價值芝諾(Zeno,公元前490—425年)是埃利亞學派創(chuàng)始人,曾因提出一系列悖論而語驚四座,并因無人能駁倒他那些看似荒謬的論點而名操一時.其中,關于運動的3個悖論深刻揭示了有限與無限、連續(xù)與離散之間的矛盾,在數(shù)學史上有著不朽的價值.2.1.12級運動物體在到達目的地之前必須先抵達全程的一半,為此又必須走過一半的一半,等等,直至無窮.因而,運動是不可能的.2.1.2作為參照系的代理法個別和一個發(fā)點要想追上在前面跑的烏龜,必須先到達烏龜?shù)某霭l(fā)點,而那時烏龜又已經跑過前面的一段路程了,如此等等,因而永遠追不上.這個悖論同二分說實質上是一樣的,只是把問題說得更生動.2.1.3芝諾悖論對希臘數(shù)學思想的影響箭在運動過程中的任一瞬間時必在一個確定的位置上,即是靜止的.而時間是由無限多個瞬時組成的,因而,箭就動不起來.希臘數(shù)學的進程表明,芝諾悖論對希臘數(shù)學思想產生了極大影響.首先,它加深了希臘數(shù)學家對于“無限的恐怖”,無限成為一種禁忌,被拒絕在希臘數(shù)學之外,由此而產生的結果是,在柏拉圖以前已得到發(fā)展的無限算法被停止了,代之而起的是嚴密性較強而探索性較差的窮竭法.更大的影響則在于促進了希臘人對數(shù)學嚴密思維的追求.2.2希臘化圓為方問題的數(shù)學理念公元前5世紀的希臘數(shù)學家,已經習慣于用不帶刻度的直尺和圓規(guī)作圖了.在他們看來,直線和圓是可以信賴的最基本圖形,而直尺和圓規(guī)是這兩種圖形的具體體現(xiàn).因而,只有用尺規(guī)作出的圖形才是可信的.于是,他們熱衷于在尺規(guī)限制下探討幾何作圖問題.所謂三大幾何作圖難題就是在這種背景下產生的,問題難在作圖工具的限制上.一旦突破作圖工具的限制,便能得到許多有價值的數(shù)學發(fā)現(xiàn).三大作圖難題是指:立方倍積問題、三等分任意角問題和化圓為方問題.圍繞3個作圖問題,希臘數(shù)學家表現(xiàn)了杰出的數(shù)學思想方法.對于立方倍積問題,希波克拉底(Hippocrates,公元前5世紀唯一有數(shù)學殘稿留存的著名幾何學家)設想出了將問題簡化為:作兩給定線段希波克拉底的方法開拓了解立方倍積問題的思路,后來的研究者都集中于解決用尺規(guī)作出兩給定線段的兩個比例中項.雖然沒有能在尺規(guī)作圖的限制下解決,但在探究解法的過程中,數(shù)學家們獲得了許多重要的結果.在求解三等分任意角問題時,希臘數(shù)學家從運動的觀點發(fā)明了割圓曲線以及用螺線求解的方法,相繼發(fā)展了高等幾何,反映出希臘數(shù)學所達到的高度.研究化圓為方問題時,數(shù)學家安蒂豐(Antiphon,公元前430年)直覺地認識到當圓的內接多邊形的邊數(shù)不斷倍增時,這個內接正多邊形邊數(shù)將越來越接近圓,“最后”的正多邊形必將與圓重合,即多邊形與圓的“差”必將窮竭.因此,后人認為是安蒂豐首先提出了“窮竭法”.但事實上“最后”的正多邊形是無法達到的.邊數(shù)不斷倍增的過程一旦中斷,多邊形仍是多邊形,圓仍是圓,“重合”是不可能實現(xiàn)的.因而,后來數(shù)學家在對待化圓為方問題時是持慎重態(tài)度的.該方法作為一種求圓的面積的近似方法,是很有價值的.注重演繹與體系的希臘文化,使得三大作圖難題的研究在數(shù)學史上持續(xù)了兩千多年.18世紀,人們用代數(shù)方法對尺規(guī)作圖的可能性問題進行了深入研究,把幾何作圖問題劃歸為一個代數(shù)方程加以考慮.一個尺規(guī)作圖問題能否解決,要看與此問題相應的代數(shù)方程能否通過對系數(shù)進行加減乘除和開平方運算求出,最后得出的結論是,三大幾何作圖問題都是無法解決的.2.3拉丁語和亞里士多德的數(shù)學思想2.3.1柏拉圖在希臘數(shù)學經典中的表現(xiàn)柏拉圖(Plato,公元前427—347年)是希臘歷史上第一位有大量著作傳世的哲學家,是西方客觀文化的創(chuàng)始人.原本喜愛文學的柏拉圖和蘇格拉底相識后,對哲學產生了極大的興趣,他雖然不是專業(yè)數(shù)學家,但由于他大力倡導數(shù)學,熱心數(shù)學教育事業(yè),對希臘數(shù)學的發(fā)展起到了積極的促進作用.柏拉圖的傳世之作是《理想國》,在這部經典中,哲學問題、道德問題、教育問題、民主問題等與人類息息相關的文化問題均有涉獵.柏拉圖在《理想國》中反復強調數(shù)學具有培養(yǎng)思維能力、增進才智的作用.柏拉圖主張,數(shù)學定理必須從一些公認的假設出發(fā)進行演繹證明,這一思想可以看做是公理方法的開端2.3.2園林的比例論柏拉圖學園造就了一批數(shù)學家,他們繼承畢達哥拉斯的數(shù)學傳統(tǒng),把論證數(shù)學推向成熟階段.該學園的數(shù)學成就主要是:1)提出了比例論和窮竭法.該學園的比例論排除了畢達哥拉斯學派只適用于可公度量的算術方法,純粹用公理法建立理論,無論所涉及的量可否公度都能適用,從而克服了因不可公度量的發(fā)現(xiàn)所造成的數(shù)學基礎的危機.2)對無理量和正多面體的研究.該學園研究了一般的二次及更高次不盡根,討論了一些有關性質.發(fā)現(xiàn)了正8面體和正20面體的構圖方法,并且證明了在這5種正多面體之外不可能有其他正多面體.3)發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線.柏拉圖學園在考慮倍立方問題時研究了希波克拉底得出的關系式3注重演繹推理的希臘文化使希臘數(shù)學進入歷史時代公元前4世紀末,亞歷山大城建造了一個規(guī)模宏大的亞歷山大大學和一個大圖書館,一些有名望的學者到這里從事研究.由于數(shù)學是當時一切學科的核心,所以亞歷山大城成為數(shù)學的中心.在這個數(shù)學中心里,所得到的法則大多是經驗性的,是簡單事例的推廣,人們追求知識是由于需要的驅使.為了知識而去追求知識的希臘文化,使得一些古希臘數(shù)學家從古文化中繼承原始資料,在對原始資料的研究中尋找嚴格演繹證明的方法,尋找在定義、公理和公設的基礎上通過一系列定理來發(fā)現(xiàn)一門學科,以及不斷爭取全面推廣和抽象的方法.公元前3世紀前后,希臘數(shù)學發(fā)展到峰巔,出現(xiàn)了歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼斯三大幾何學家,他們的成就不僅是空前的,也是身后1000多年時間內無人可及的.因此,他們生活的年代被稱之為希臘數(shù)學的黃金時代.3.1《幾何原本》的歷史貢獻歐幾里得(Euclid,公元前330—275年)生于雅典,早年在柏拉圖學園受過教育,以《幾何原本》著稱于世.《幾何原本》的部分內容來自前人,一些不嚴格的證明也納入其中.《幾何原本》的重要性與其說是羅列了大量舊定理或證明了若干新定理,不如說是示范了公理化體系的巨大威力,將數(shù)學證明的嚴密性推上了前所未有的高度.《幾何原本》共13卷,總計460多個命題.這本書不單講幾何,還涉及初等數(shù)論和幾何式代數(shù).其歷史貢獻主要表現(xiàn)在以下3個方面.1)《幾何原本》從少數(shù)幾個公理出發(fā),由簡到繁地推演出460多個命題,建立起人類歷史上第一個完整的公理演繹體系,成為數(shù)學史上的一座豐碑,是希臘數(shù)學的最大成就.2)《幾何原本》是西方教育的依據,從古代到19世紀,它不僅是幾何學的標準教科書,而且被認為是研究數(shù)學的人必讀的經典,因而有“數(shù)學家的圣經”這一美稱.3)歐幾里得為幾何證明提供了規(guī)范,其中許多證明是他本人獨創(chuàng)的,表現(xiàn)出了很高的技巧.書中的證明方法主要是綜合法、分析法和歸謬法(反證法)3.2《圓錐曲線》的歷史貢獻阿波羅尼斯(Apollonius,公元前262—190年)生于小亞細亞西北部的城市,他寫過多部數(shù)學著作,以《圓錐曲線》最為成功.《圓錐曲線》分8卷,共487個命題.阿波羅尼斯的《圓錐曲線》不同于現(xiàn)代的解析幾何,原因在于阿波羅尼斯是用幾何方法研究幾何性質的,他的“方程”是用幾何語言描述的.在當時的數(shù)學知識體系中,無法引用適用于平面上所有的點的坐標,也無法建立一般的函數(shù)關系式,因而,也就不可能進入現(xiàn)代解析幾何領域.阿波羅尼斯的《圓錐曲線》的歷史貢獻在于:依靠改變截面的角度從一對頂圓錐得到3種圓錐曲線,得到和3種圓錐曲線方程等價的幾何關系式.系統(tǒng)討論了圓錐曲線的各種性質,例如:圓錐曲線的弦、直徑、共軛直徑、切線、法線、雙曲線的漸近線、有心曲線的中心等性質.全書有嚴密的公理體系,是《幾何原本》之后又一登峰造極的幾何學巨著.3.3阿基米德的數(shù)學貢獻阿基米德(Archimedes,公元前287—212年)出生時,古希臘的輝煌文化已經逐漸衰退,經濟、文化中心逐漸轉移到埃及的亞歷山大城,意大利半島上新興的羅馬共和國正不斷地擴張勢力.新舊勢力交替的時代,也是最容易孕育新思想、產生新文化的時代.阿基米德是一位有著輝煌成就的數(shù)學家,后人把他與牛頓、高斯并列為3位最偉大的數(shù)學家.阿基米德還是一位偉大的物理學家、發(fā)明家,他注重用數(shù)學方法處理工程和力學中的實際問題,被稱為“力學之父”.阿基米德的著作有些像現(xiàn)代的論文,都以小冊子的形式出現(xiàn),流傳到現(xiàn)在的數(shù)學著作有《拋物弓形求積》《論方法》《論劈椎體與球形體》《圓的度量》《論球和圓柱》《論螺線》《論砂數(shù)》.還有兩本物理著作《論浮體》《論平板的平衡》.阿基米德代表了古代數(shù)學用有限方法處理無限問題的最高水準,得出了許多今日要用極限和微積分推算的結果.他首先從事定量研究,突破了古典時期幾何定性研究的傳統(tǒng),例如:歐幾里得只滿足于證明“兩圓面積之比等于它們的直徑平方之比”,而阿基米德則要努力追求π的高精度的近似值,以便求出圓的面積.我們今天用的拋物弓形面積公式,球、球缺、橢球體等體積公式都是由阿基米德發(fā)現(xiàn)的.4重視抽象、演繹及體系的希臘文化推動了三角學的創(chuàng)立和數(shù)學模式的起源早在公元前300年,古埃及人就有了一定的三角學知識,主要用于測量.從公元前2世紀開始,由于天文研究的需要,希臘數(shù)學開始了由定性研究向定量研究的轉變,理論幾何被逐漸淡化,并創(chuàng)立了三角學.淡化理論幾何的又一反映是算術和代數(shù)作為一門獨立學科的發(fā)展,重視抽象、演繹及體系的希臘文化,促使希臘數(shù)學家開始思考用符號表示數(shù)學概念、數(shù)學量與量之間的關系、數(shù)學公理、數(shù)學公式,并以丟番圖的簡字代數(shù)的形式表現(xiàn)出希臘數(shù)學思想新的突破.在將數(shù)學尊稱為“學”、是成體系的學問的希臘文化環(huán)境里.在三角學的初創(chuàng)中,由于數(shù)學符號的使用,為三角學的發(fā)展提供了便利.三角學的進一步發(fā)展,又為數(shù)學符號體系的進一步完善打下了基礎.因而,三角學的初創(chuàng)和代數(shù)符號化的起源,是希臘數(shù)學家們努力的必然結果.4.1《唐》的弦表及其應用托勒密(公元前87—165年)是希臘天文學和三角術的集大成者,他傳世的幾部