等腰三角形性質(zhì)

等腰三角形性質(zhì)等腰三角形是一種特殊的三角形，具有以下性質(zhì)：1.兩個底角相等；2.底邊的中線、高及頂角平分線三線合一；3.等邊三角形各內(nèi)角都等于60°。這些性質(zhì)可以用來解決有關(guān)三角形的邊、角的證明及計算問題，也可以用來進行有關(guān)線段、角的證明及計算問題。例如，對于等腰三角形中的一個問題：證明等腰三角形兩腰的中線相等。我們可以考慮證明△ABD≌△ACE，而∠A為公共角，AB=AC，所以只需證明AD=AE即能達到證明目的。通過推導(dǎo)可以得出BD=CE。又例如，對于等腰三角形中的一個問題：一個外角為100°，求三內(nèi)角度數(shù)。我們可以利用三角形內(nèi)角和及等腰三角形性質(zhì)等邊對等角，但要注意外角是頂角的外角還是底角的外角，在兩種不同位置時，求得的結(jié)果不一樣，需要進行兩種情況的分別求解。還有一個例子是：在△ABC中，AC＞AB。求證：∠B＞∠C。這是三角形中邊角之間不等關(guān)系的一個重要結(jié)論：三角形中，若邊不相等，則較大的邊所對的角也較大。這一結(jié)論可幫助我們利用邊的不等關(guān)系，證明角的不等關(guān)系。最后一個例子是：在△ABC中，∠B=2∠C，AD為角平分線。求證AB+BD=AC。我們可以采用補短法來完成，即延長AB至E，使BD=BE下只需證AE=AC即可。證一：延長AB至E，使BE=BD，則有AE=AB+BD。由于BE=BD，所以∠E=∠EBD，而∠ABC=∠E+∠BDE=2∠E=2∠C。因此，∠E=∠C。在△ABE和△ACD中，∠EAD=∠CAD，AD=AD，因此△AED≌△ACD，從而AE=AC。所以，AB+BD=AC。證二：由于∠B=2∠C＞∠C，所以AC＞AB。在AC上取AF=AB，然后證明FC=BD。連接DF作橋梁，證明BD=DF=FC。由于∠B=2∠C＞∠C，所以∠1=∠2。因此，△ABD≌△AFD，從而BD=FD。又∠AFD=∠B=2∠C，所以∠FDC=∠C。因此，AB+BD=AF+FC=AC。例1：已知等邊三角形△ABC內(nèi)一點D，且DA=DB，∠DBP=∠BC，求∠P的度數(shù)。連DC，易得△PBD≌△CBD，從而將求∠P轉(zhuǎn)化為求∠DCB。連接DC，由于BP=BC，∠PBD=∠CBD，因此△PBD≌△CBD。因此，∠P=∠DCB。又BD=AD，CD=CD，AC=BC，因此△BCD≌△ACD。所以，∠BCD=∠ACD=30°，從而∠P=30°。例2：已知等腰三角形△ABC中AB=AC，P為形內(nèi)一點，且PB＞PC。將△ABP繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合得△AP′C，連PP′，則△ABP≌△ACP′。因此，AP=AP′，BP=CP′。由于P′C＞PC，在△PP′C中，P′C＞PC，因此∠3＞∠4。又因為∠1=∠2，所以∠1+∠3＞∠4+∠2，即∠APC＞∠AP′C。因此，∠APC＞∠APB。添輔助線的目的是為了創(chuàng)造新的條件，使得幾何元素之間的關(guān)系更加清晰，從而更容易推導(dǎo)出結(jié)論。通過添設(shè)輔助線，可以將原本復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為更簡單的幾何形狀，使得問題更易于解決。同時，添設(shè)輔助線還可以幫助我們發(fā)現(xiàn)一些隱藏的幾何特征，從而得出更深入的結(jié)論。因此，在解決證明問題時，添設(shè)輔助線是非常重要的一個步驟。添設(shè)輔助線是解決幾何問題中常用的方法之一，它能夠?qū)⒁阎獥l件與所求結(jié)論之間的聯(lián)系更加清晰地表現(xiàn)出來。在使用添設(shè)輔助線的過程中，需要遵循一定的原則和手段。原則：1.化分散為集中。通過添加輔助線將已知和未知的有關(guān)幾何元素相對集中到同一個或幾個相關(guān)基本幾何圖形中去，使之產(chǎn)生聯(lián)系。2.化整體為部分。通過添線把復(fù)雜的幾何圖形分解為幾個簡單的幾何圖形，使問題化繁為簡。3.化不規(guī)則為規(guī)則。通過添線將不規(guī)則幾何圖形化為規(guī)則幾何圖形，使問題化難為易。手段：添線的常用手段包括平移、旋轉(zhuǎn)、對稱、截取、延長等。【同步練習(xí)】一、判斷：1.錯誤。等腰三角形一個內(nèi)角為120°，另兩個內(nèi)角也為60°。2.正確。3.錯誤。內(nèi)角為70°的等腰三角形，另兩角也為70°。4.正確。5.正確。6.錯誤。等腰三角形一個外角是鈍角，則與它相鄰的內(nèi)角也是鈍角。7.正確。8.錯誤。底邊相等，周長也相等的兩個等腰三角形不一定全等。二、填空：1.36°。2.80°。3.3√3。4.2個。5.6cm。6.60°。7.6。8.80°，50°。三、選擇：1.C。2.A。3.C。4.D。5.C。6.B。7.C。8.A。1.等腰三角形的高與底邊的夾角等于底角的一半。2.等腰三角形頂角為底角的4倍，則頂角為80°。3.等腰三角形頂角為鈍角時，它的高、中線和角平分線的條數(shù)總和為6。4.BD為△ABC的角平分線，且AB=AC，∠BDC=75°，則∠A為50°。5.等腰三角形底邊長為5cm，腰上的中線把三角形周長分為差為3cm的兩部分，則腰長為8cm。6.等腰三角形一個外角等于110°，則底角為70°。7.D、E為△ABC的邊BC上兩點，且AD=AE=-BD=DE=EC，則∠BAC是∠EAC的4倍。8.三角形一邊上的高與中線相互重合，且等于該邊的一半，則這個三角形是等腰直角三角形。解答題：1.由題意可知，AC=BC，且BD為∠B的角平分線，所以AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°，則∠BDE=90°-∠CDB=45°，由AE⊥BD可知∠BAE=45°，所以AE=AB，即AE=2AC。2.由題意可得∠BAC=75°，∠BCE=∠BCD+∠DCE=75°+∠DCE，∠BFE=∠BFD+∠DFE=75°+∠DFE，又∠BFD=∠ECD，所以∠BFE=75°+∠ECD+∠DFE=75°+60°=135°，因為△BEC為等邊三角形，所以∠BEC=60°，所以∠BEC+∠BFE=195°，所以∠CEB=15°，又∠BDC=75°，所以∠BDE=∠CDE=30°，所以△BDE為等邊三角形，所以BD=BE，又∠BFE=135°，所以∠BGE=45°，所以△BGF為等腰三角形，所以BG=BF，又AG⊥EC，所以AG=EC，又AE=AC，所以AF=AE-EC=AC-EC=AG，所以AF=AG。素質(zhì)訓(xùn)練：1.由題意可得∠APB=150°，∠BPC=180°-∠APB-∠CPA=30°，∠CPA=150°-∠APB=120°，所以三角形三內(nèi)角分別為30°，36°，114°。2.由題意可知AB=AC，BD、CE為角平分線，所以BD=DC，CE=EB，所以△BDE為等腰三角形，所以BD=BE，又AF⊥BD，AG⊥CE，所以AF=BD/2，AG=CE/2，所以AF=AG，即AF=AG=5cm，所以三角形的邊長為8cm，8cm，5cm。實際運用：設(shè)等腰三角形的底邊長為x，則腰長為$\sqrt{x^2-\frac{x^2}{4}}=\frac{x\sqrt{3}}{2}$，周長為$x+2\cdot\frac{x\sqrt{3}}{2}=x+x\sqrt{3}$，所以$\frac{x+x\sqrt{3}}{2}-\frac{x\sqrt{3}}{2}=3$，解得$x=8$，所以等腰三角形的邊長為8cm，8cm，$4\sqrt{3}$cm。根據(jù)三線合一定理，可得到∠EBF=∠EBA，進而推出∠F=∠FAB，最終得到AE=EF。因此，我們可以得出結(jié)論：三線合一。由于AC=BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得到△AFC≌△BDC。進而推出AF=BD=2AE，因此AE=1/2AF。因此，我們可以得出結(jié)論：△AFC≌△BDC，AE=1/2AF。根據(jù)題目所給信息，我們可以得知△ABC和△DEC均為等邊三角形。因此，我們可以推出∠ACD=∠BCE=60°-∠DCB。進而推出△ADC≌△BEC(SAS)。又因為∠DAB=40°，∠DAC=20°，∠EBC=∠ACD=∠BCE=15°，因此可以得到∠BEC=180°-15°-20°=145°。因此，我們可以得出結(jié)論：△ADC≌△BEC，∠BEC=145°。根據(jù)題目所給信息，可得到∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°。將△APB繞B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BCP′，并連接PP′。由于△BPP′為等邊三角形，因此可得到∠BPP′=∠BP′P=60°，PP′=PB。又因為∠APB=100°，因此可得到∠BPC=80°。進而推出∠PP′C=100°-60°=40°，∠PP′C=1