空間幾何向量求二面角專項(xiàng)練習(xí)

空間幾何向量求二面角專項(xiàng)練習(xí)1.如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，SD垂直于底面ABCD，且DC=SD=2，點(diǎn)M在側(cè)棱SC上，且∠ABM=60°。（I）證明：M在側(cè)棱SC的中點(diǎn)。因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以AD∥BC，SD垂直于底面ABCD，所以SD∥AD，因此SD∥ABCD。又因?yàn)椤螦BM=60°，所以AM=BM，因此M在側(cè)棱SC的中點(diǎn)。（II）求二面角S-AM-B的大小。連接SM、BM，因?yàn)镸在側(cè)棱SC的中點(diǎn)，所以SM=MB。又因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以∠ABD=90°，∠BDC=∠DCB=45°，所以BD=2√2。因此，在△SMB中，有：sin∠SMB=SM/MB=1cos∠SMB=BD/2MB=√2/2又因?yàn)椤蟂MD=∠AMB=90°，所以二面角S-AM-B的大小為：∠SMD+∠AMB=90°+60°=150°2.如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA垂直于平面ABCD，且∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)。（Ⅰ）證明：AE垂直于PD；連接AE、PD，因?yàn)镋、F分別是BC、PC的中點(diǎn)，所以EF∥BC∥AD，所以AE=ED，因此AE是底面ABCD的對(duì)角線，所以AE垂直于平面ABCD。又因?yàn)镻A垂直于平面ABCD，所以AE垂直于PA，因此AE垂直于PD。（Ⅱ）若H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為√6/3，求二面角B-FC-C的余弦值。連接FH、BC，因?yàn)镋、F分別是BC、PC的中點(diǎn)，所以EF∥BC∥AD，所以∠BAC=∠BDC=60°，所以AB=BC=CD=AD=1。因此，在△ABC中，有：sin∠ABC=√3/2cos∠ABC=1/2又因?yàn)镋H與平面PAD所成最大角的正切值為√6/3，所以EH/PD=tan∠PAE=tan∠BAC=√3，因此EH=√3PD。在△EPH中，有：sin∠EPH=EH/EP=√3/2cos∠EPH=HP/EP=1/2因此，在△EPH中，有：tan∠EPH=sin∠EPH/cos∠EPH=√3又因?yàn)镋F∥BC，所以FH=BC=1，因此，在△EFH中，有：sin∠EFH=EH/FH=√3cos∠EFH=HF/FH=1因此，在△EFH中，有：tan∠EFH=sin∠EFH/cos∠EFH=√3又因?yàn)椤螧FC=∠EFA=60°，所以二面角B-FC-C的余弦值為：cos(B-FC-C)=cos(180°-∠BFC-∠EFA)=cos120°=-1/23.如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1、F分別是棱AD、AA1、AB的中點(diǎn)。（1）證明：直線EE1//平面FCC1；連接EF、E1F、FC1，因?yàn)镋、E1、F分別是棱AD、AA1、AB的中點(diǎn)，所以EE1∥AD，EF∥AB，因此EF∥AD。又因?yàn)锳B//CD，所以EF∥CD，因此EF∥ABCD。又因?yàn)镕是AB的中點(diǎn)，所以FC1∥AD，因此FC1∥ABCD。因此直線EE1//平面FCC1。（2）求二面角B-FC1-C的余弦值。連接BF、FC1，因?yàn)榈酌鍭BCD為等腰梯形，所以∠BAC=∠BDC=90°，所以AC=BD=√20。因此，在△ABC中，有：sin∠ABC=2/√5cos∠ABC=1/√5又因?yàn)镋、E1、F分別是棱AD、AA1、AB的中點(diǎn)，所以EE1=1，EF=2，E1F=2√5/5，因此，在△EE1F中，有：sin∠EE1F=EF/E1F=5/2√5cos∠EE1F=EE1/E1F=√5/5又因?yàn)椤螧FC1=∠EFA1=90°，所以二面角B-FC1-C的余弦值為：cos(B-FC1-C)=cos(180°-∠BFC1-∠EFA1)=cos∠BAC=-1/√54.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=22，∠PAB=60°。（Ⅰ）證明AD垂直于平面PAB；連接AD、PB，因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以AD∥BC，所以AD∥平面ABCD。又因?yàn)镻A垂直于平面ABCD，所以AD垂直于PA。又因?yàn)椤螾AB=60°，所以∠PBA=30°，所以PB=PA/√3=2/√3。因此，在△PBD中，有：sin∠PBD=BD/PB=2√2/2√3=√6/3cos∠PBD=PD/PB=11/2√3又因?yàn)椤螾DA=90°，所以∠PDB=90°-∠PDA=90°-∠PAB=30°，因此在△PDA中，有：sin∠PDA=AD/PD=1/√22cos∠PDA=PA/PD=2/√22因此，AD垂直于平面PAB。（Ⅱ）求異面直線PC與AD所成的角的大??；連接PC，因?yàn)椤螾AB=60°，所以∠PBC=∠PDC=15°，所以∠BDC=∠DCB=75°，所以BD=CD=3/√2。因此，在△PDC中，有：sin∠PDC=PD/PC=11/√43cos∠PDC=CD/PC=3/√86又因?yàn)椤螾DA=90°，所以∠PDC=90°-∠ADC，因此異面直線PC與AD所成的角的大小為：∠ADC=arccos(cos∠PDC/cos∠PDA)=arccos(3/11)（Ⅲ）求二面角P-BD-A的大小。連接PB、BD，因?yàn)椤螾AB=60°，所以∠PBA=30°，所以PB=2/√3。因此，在△PBD中，有：sin∠PBD=BD/PB=2√2/2√3=√6/3cos∠PBD=PD/PB=11/2√3又因?yàn)椤螾DA=90°，所以∠PDB=90°-∠PDA=90°-∠PAB=30°，因此在△PDA中，有：sin∠PDA=AD/PD=1/√22cos∠PDA=PA/PD=2/√22因此，在△PBD中，有：tan∠PBD=sin∠PBD/cos∠PBD=√6/11又因?yàn)椤螾DA=90°，所以∠PDB=90°-∠PDA=90°-∠PAB=30°，因此在△PDA中，有：tan∠PDA=sin∠PDA/cos∠PDA=1/2因此，二面角P-BD-A的大小為：∠PBD+∠PDA=arctan(tan∠PBD+tan∠PDA)=arctan(√6/11+1/2)5.如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中點(diǎn)，PA垂直于底面ABCD，且PA=2。（Ⅰ）證明：平面PBE垂直于平面PAB；連接BE、PE，因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以∠BAC=∠BDC=60°，所以AB=BC=CD=AD=1。因此，在△PAB中，有：sin∠PAB=PA/AB=2cos∠PAB=PB/AB=1/2又因?yàn)椤螧CD=60°，所以∠BDC=∠DCB=60°，所以BD=CD=1/2。因此，在△PBD中，有：sin∠PBD=BD/PB=1/√3cos∠PBD=PD/PB=√3又因?yàn)椤螾EB=∠PAB=60°，所以∠PBE=30°，所以PB=2/√3。因此，在△PBE中，有：sin∠PBE=BE/PB=1/2cos∠PBE=PE/PB=√3/2因此，在△PAB和△PBE中，有：tan∠PAB=sin∠PAB/cos∠PAB=4/√3tan∠PBE=sin∠PBE/cos∠PBE=1/√3因此，平面PBE垂直于平面PAB。（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小。連接PA、BE，因?yàn)椤螧CD=60°，所以∠BDC=∠DCB=60°，所以BD=CD=1/2。因此，在△PBD中，有：sin∠PBD=BD/PB=1/√3cos∠PBD=PD/PB=√3又因?yàn)椤螾DA=90°，所以∠PDB=90°-∠PDA=90°-∠PAB=30°，因此在△PDA中，有：sin∠PDA=AD/PD=1/2cos∠PDA=PA/PD=√3/2因此，在△PBD中，有：tan∠PBD=sin∠PBD/cos∠PBD=1/3又因?yàn)椤螾EB=∠PAB=60°，所以∠PBE=30°，所以PB=2/√3。因此，在△PBE中，有：sin∠PBE=BE/PB=1/2cos∠PBE=PE/PB=√3/2因此，在△PBE中，有：tan∠PBE=sin∠PBE/cos∠PBE=1/√3因此，平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小為：∠PBD-∠PBE=arctan(tan∠PBD-tan∠PBE)=arctan(2/3√3)8.如圖，在五面體ABCDEF中，已知FA垂直平面ABCD，AD//BC//FE，AB垂直AD，M為EC的中點(diǎn)，且AF=AB=BC=FE=AC=CD=DE=EF=BF=FD=AE=BE=CE。（I）求異面直線BF與DE所成的角的大小；（II）證明平面AMD垂直平面CDE；求二面角A-CD-E的余弦值。9.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知平面ABC垂直側(cè)面A1ABB1。（I）證明AB垂直BC；（II）若直線AC與平面A1BC所成的角為θ，二面角A1-BC-A的