六年級上奧數(shù)等差和裂項(xiàng)求和

第二講 等差和裂項(xiàng)求和【知識概述】」、等差數(shù)列求和德國著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時代聰明過人，上學(xué)時，有一天老師出了一道題讓同學(xué)們計(jì)算：+2+3+4+???+99+100=?老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計(jì)算，小高斯卻很快算出答案等于 5050。高斯為什么算得又快又準(zhǔn)呢？原來小高斯通過細(xì)心觀察發(fā)現(xiàn)：1+100=2+99=3+98=???=49+52=50+51。1?100正好可以分成這樣的50對數(shù)，每對數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為(1+100)x100十2=5050。小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問題。若干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項(xiàng)，其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)。后項(xiàng)與前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)之差稱為公差。例如：1,2,3,4,5,…，100;1,3,5,7,9,…，99;(3)8,15,22,29,36,…，71。其中(1)是首項(xiàng)為1,末項(xiàng)為100,公差為1的等差數(shù)列；(2)是首項(xiàng)為1,末項(xiàng)為99,公差為2的等差數(shù)列；(3)是首項(xiàng)為8,末項(xiàng)為71，公差為7的等差數(shù)列。由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式：、列項(xiàng)求和實(shí)質(zhì)：將一個分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)，分成幾個分?jǐn)?shù)的和與差的形式TOC\o"1-5"\h\z1 3-2 1 13 2一 2 33 4 1 1 = =—r一12 3 4 3 4目的：將一串分?jǐn)?shù)中的每一個分?jǐn)?shù)適當(dāng)?shù)亓秧?xiàng)，出現(xiàn)一對一對可以抵消的數(shù)，從而簡化計(jì)算減法裂項(xiàng)：分母分成兩數(shù)之積，分子為兩數(shù)之差直接裂項(xiàng)加法裂項(xiàng)：分母分成兩數(shù)之積，分子為兩數(shù)之和變形裂項(xiàng)：先變形再直接裂項(xiàng)【典型例題】例11+2+3+-+1999=?例23+7+11+…+99=?項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）十公差+1,末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差X（項(xiàng)數(shù)-1）。例3計(jì)算：111 1 1—-f-—H*- -f- -f- 6 12 20 30例4計(jì)算：,57 9 11 13 15 171-—■ — — — 6 12 20 30 42 56 72911例5.9111111111—+—十一+—+——+——+2 4 8 16 3264128例611111 + + + + 22-142-162-182-1102-1【我能行】1、17+19+21+…+39;2、5+8+11+14+…+50;3、111 + + +19961997 19971998 199819991++2001200212002’11114. -+—++……+—255881126291」丄.2』衛(wèi)上衛(wèi)12 20 30 42 56 726.36.33134 + + +… 14 47 710 28318、111118、111118 16 32 64 1281256125724127、 —+-23612152135【我試試】1、2+4+6+???+200;2、3+10+17+24+…+101。3.1133丄5— 7—9—111535 63