平面向量復(fù)習(xí)的思考與反思

"平面向量”復(fù)習(xí)的思考與反思向量及其運(yùn)算是高中教材的重點(diǎn)內(nèi)容， 向量引入中學(xué)數(shù)學(xué)以后，給中學(xué)數(shù)學(xué)帶來(lái)無(wú)限生機(jī)，。向量融形、數(shù)于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的”雙重身份”，引入后大大拓寬了解題的思路和方法，在研究其它問(wèn)題時(shí)得到了廣泛的應(yīng)用， 成為了”在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題”的很好載體.對(duì)平面向量的考查有以下幾點(diǎn)：（1）考查平面向量的性質(zhì)和運(yùn)算法則， 以及基本運(yùn)算技能，考查學(xué)生掌握平面向量的和、差、數(shù)乘和數(shù)量積的運(yùn)算法則，理解其直觀的幾何意義，并能正確地進(jìn)行運(yùn)算；（2）考察向量的坐標(biāo)表示，及坐標(biāo)形勢(shì)下的向量的線性運(yùn)算； （3）和函數(shù)、曲線、數(shù)列等知識(shí)結(jié)合，考察綜合運(yùn)用知識(shí)能力.在高考試題中，主要考查有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)， 突出向量的工具作用。在復(fù)習(xí)中要重視教材的基礎(chǔ)作用，加強(qiáng)基本知識(shí)的復(fù)習(xí)，做到概念清楚、運(yùn)算準(zhǔn)確，不必追求解難題。熱點(diǎn)主要體現(xiàn)在平面向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算以及平面向量在三角，解析幾何等方面的應(yīng)用?？疾槠矫嫦蛄康幕靖拍詈瓦\(yùn)算律例1（2010浙江理數(shù)）（16）已知平面向量：?，（：=0,?「：）滿足一：=1，且「與--：?的夾角為120°則ot的取值范圍是 .解析：利用題設(shè)條件及其幾何意義表示在三角形中， 即可迎刃而解，本題主要考察了平面向量的四則運(yùn)算及其幾何意義，突出考察了對(duì)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)形結(jié)合的能力，屬中檔題。例2.（2008寧夏、海南，8）平面向量a、b共線的充要條件是（ ）a.a,b方向相同b.a,b兩向量中至少有一個(gè)為零向量C.-■兒-R,bv.a D. 存在不全為零的實(shí)數(shù) \,■2, …..2b=0解析：根據(jù)向量共線的定理顯然選（D）解析：根據(jù)向量共線的定理顯然選（D）。評(píng)注：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量共線的條件， 是"平面向量”單元中要求掌握的重點(diǎn)內(nèi)容，也是最基本的內(nèi)容。例3.（2010天津理數(shù)）（15）如圖，在ABC中，AD_AB,BC=、/3bD,=1,則acLad二 .【答案】D【解析】本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算與解三角形的基礎(chǔ)知識(shí)，屬于難題。AC*AD=|AC|?|AD|cos/DAC=|AC|*cosZDAC=|AC|sinZBAC二BCsinB評(píng)注：近幾年天津卷中總可以看到平面向量的身影， 且均屬于中等題或難題，應(yīng)加強(qiáng)平面向量的基本運(yùn)算的訓(xùn)練，尤其是與三角形綜合的問(wèn)題?？疾橄蛄康淖鴺?biāo)運(yùn)算例4.(2006山東，5)設(shè)向量a二(1,-3),b=(-2,4),i=(-1,^2)，若表示向量4a、4b-2c、2(a-C)、d的有向線段首尾相接能夠成四邊形，則向量d為()A(2,6)B. (-2,6) C.(2,-6)D.(一2,一6)分析：本題考查平面向量的加法及向量的坐標(biāo)運(yùn)算。解：：4a(4b-2c) 2(^c)d=0TOC\o"1-5"\h\zt4 4 4.d=4c-4b-6』=4(-1,-2)-4(-2,4)-6(1,-3)=(-2,6)故選(B)。例5.(2008全國(guó)H,18)設(shè)向量a=(1,2),b=(2,3),若向量■ab與向量c=(_4,-7)共線，則”= .分析：本題考查平面向量的基本定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算， 只要借助平面向量共線的條件并利用待定系數(shù)法即可得解。4 ?解：ab=(， 2,2， 3)4^-1■/■ab//c???-4(2■ 3)=-7(■ 2)‘=2說(shuō)明：此題是教材第131頁(yè)復(fù)習(xí)題12的延改編題，該題為：已知 a=(1,0),b=(1,1),■為何值時(shí)， a■-b與a垂直.考查平面向量與函數(shù)的交匯例6 . (20XX年湖北省高考數(shù)學(xué)試題)已知向量—r f —fc--*a=(x2,x=(1_x,t),若函數(shù)f(x)=ab在區(qū)間(—1,1)上是增函數(shù)，求t的取值范圍?分析：本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算方法、 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性， 以及運(yùn)用基本函數(shù)的性質(zhì)分析和解決問(wèn)題的能力 ?

解：依定義f(x)=x2(1-x)t(x1)=_x3x2tx-t,則f(x)=-3x22xt.若f(x)在(-1,1)上是增函數(shù),則在(-1,1)上可設(shè)f(x)_0..f(x)_0：=t_3x-2x,在區(qū)間(-1,1)上恒成立,考慮函數(shù)g(x)=3x-2x,1由于g(x)的圖象是對(duì)稱軸為x ,開(kāi)口向上的拋物線，3故要使t_3x2_2x在區(qū)間(—1,1)上恒成立ut_g(-1),即t_5.而當(dāng)t寸,f(x)在(-1,1)上滿足f(x)0,即f(x)在(-1,1)上是增函數(shù).故t的取值范圍是t_5,即而運(yùn)用代數(shù)方法一一高次評(píng)注：利用向量的數(shù)量積可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達(dá)形式,求導(dǎo)法、二次判別式法、配方法、均值不等式法求解即而運(yùn)用代數(shù)方法一一高次考查平面向量與不等式的交匯例7例7.(20XX年浙江省高考試題)已知向量a=e,e=1，對(duì)任意tr，恒有a.a_eb.a_(;~e)c. e_(,「1)d.〈a?1)_(a~e)解：對(duì)任意解：對(duì)任意teR，恒有a-tei>-1_0a—2ta?t2_a-2a[i-1,即：t2_2ta上2t：-1_0又上式對(duì)任意tR，恒成立,即有：厶_0恒成立.即=4(aLc)2-4(2aLc-1)=故當(dāng)ak=1時(shí)，上式成立，本題應(yīng)選 (C)考查平面向量與三角的交匯向量與三角的交匯就是當(dāng)今高考命題的一個(gè)熱點(diǎn).它常常包括向量與三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值與證明的交匯、向量與解三角形的交匯、向量與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的交匯等幾個(gè)方面例8.(20XX年山東，15)已知a,b,c為ABC的三個(gè)內(nèi)角代B,C的對(duì)邊，向量-廠 彳 呀*m=(73,T),n=(cosA,sinA).若m丄n，且acosB+bcosA=ccosC，則角B= 解：???m_n???acosBbcosA二ccosC?.3cosA_sinA=0 ?2sin( A)=0 ?A=—3 3?sinAcosBsinBcosA=sinCsinC???sin(AB)=sinCsinC又sin(AB)=sinC解：???m_n???acosBbcosA二ccosC?.3cosA_sinA=0 ?2sin( A)=0 ?A=—3 3?sinAcosBsinBcosA=sinCsinC???sin(AB)=sinCsinC又sin(AB)=sinCn?.B=—6評(píng)注：本題是以向量的模為背景，結(jié)合三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值等有關(guān)知識(shí)進(jìn)行考查。?C二—26.平面向量與解析幾何的交匯以解幾為知識(shí)為載體，以向量為工具，以考查圓錐曲線性質(zhì)和向量有關(guān)公式、 性質(zhì)及應(yīng)用為目標(biāo)的平面向量與解析幾何的交匯試題是近幾年高考試題的一個(gè)熱點(diǎn)例9.(2010江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)A(—1,—2)、B(2,3)、C(—2,—1)。(1)求以線段ABAC為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng);⑵設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(AB-tOC)?OC=0,求t的值。［解析］本小題考查平面向量的幾何意義、線性運(yùn)算、數(shù)量積，考查運(yùn)算求解能力。滿分14分。(1)(方法一)由題設(shè)知AB=(3,5),AC=(-1,1)，則ABAC=(2,6),AB-AC=(4,4).AbAc 」A^-ac炫故所求的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為 4.2、(方法二)設(shè)該平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為D,兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為 E,則：E為BC的中點(diǎn)，E(0,1)又E又E(0,1)為A、D的中點(diǎn)，所以D(1,4)故所求的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為 BC=4.2、AD=2.10;(2)由題設(shè)知：OC=(—2,—1),A^tOC=(32t,5t)。由(ABtOC)?OC=0,得：(32t,5t)(-2,-1)=0,11從而5^-11,所以。'25'2或者：ABOC=tOC「,A^(3,5), A^OC|OC|2 5

例10.（20XX年福建省高考試題）已知中心在原點(diǎn)的雙曲線 C的右焦點(diǎn)為（2,0）,右頂點(diǎn)為（、.3,0）（1）求雙曲線C的方程；（2）若直線丨：y=kx?、、2與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,且OAOB.2（其中O為原點(diǎn)）.求k的取值范圍.分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問(wèn)題， 可以設(shè)法得到關(guān)于k的不等式，通過(guò)解不等式求出k的范圍，即：“求范圍，找不等式”。或者將k表示為另一個(gè)變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出k的范圍。2解：（I）略解：雙曲線C的方程為—-y2-1.3(1_3k(1_3k2)x2_6、.2kx_9=0.(n)將y二kx? 2代入—-y2=1得3由直線丨與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得1—3k2式由直線丨與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得4=(6屁k)2+36(1—3k2)=36(1—k2)=0.2 1 2k-—且k ：：1.①3設(shè)A(XA，yA),B(XB，『b),則Xa-Xb6則Xa-Xb62k1-3k2,XaXb-91-3k2，由OAOB2得XaXbyA『B2,而XaXbYaYb二XaXb (g ?2)(kXB '2)=(k21)XaXb 一2“Xa Xb)22=(k1)—92=(k1)—91-3k22k6-2k1-3k23k2 73k2-11—:::k:::3. ②31—:::k:::3. ②33k-1 3k-1故k的取值范圍為故k的取值范圍為（-—）（,1）.3 3由①、②得 —：：：k2 ：：：1.3本題通過(guò)平面向量的數(shù)量積與解析幾何的交匯知識(shí)點(diǎn)， 形成一求解參數(shù)k的取值范圍的綜合題，它既考查了平面向量的概念和運(yùn)算， 也考查了解析幾何中的有關(guān)直線與圓錐曲線的相關(guān)問(wèn)題。

7. 平面向量與平面幾何的交匯平面向量與平面幾何的交匯試題， 既考查平面向量的概念與運(yùn)算， 也考查了平面幾何知識(shí)，同時(shí)考查了向量知識(shí)在平面幾何問(wèn)題中的運(yùn)用20XX年湖南省高考試題）P是厶ABC所在平面上一點(diǎn)，若PAPB=PB?PC二PCPA，貝UP是厶ABCPAPB=PBA.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心解：由條件,P為P是厶ABC的垂心.例12.（A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心解：由條件,P為P是厶ABC的垂心.例12.（20XX年江蘇省高考試題）在厶ABC中，O為中線Oa_（oboc）的最小值是AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AW2,解：如圖，設(shè)|OA|=x,則|OM|=2-x,(0_x_2)為BC的中點(diǎn)，.OBOC=2OM,.OA(OBOC)二OA’OM=2x(2—x)_cos180=2x2—4x=2(x—1)2-2(0乞x空2) 當(dāng)x=1時(shí),取最小值-2.8. 平面向量與導(dǎo)數(shù)的交匯向量、導(dǎo)數(shù)都是新課程新增內(nèi)容， 它們都是重要的解題工具。同時(shí)又是新舊知識(shí)的一個(gè)重要的交匯點(diǎn)?例13.（20XX年江西理科試題）已知向量,b=(■邁sin(x-),tanQ-二)),2 4 2 4a=(2cos-,2令f(x)=ab.是否存在實(shí)數(shù)［0,訂使f(x)f(x^0(其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù))?若存在，則求出x的值；若不存在，則證明之x X 二 X 二 X 二、解：f(x)=ab=2、2cos—sin( )tan()tan()2 2 4 2 4 2 4x1tan—X/2.x 2 x、 2=22cos(sin cos)22 2 2 2 1-tan仝22 4x‘

tan121tan'2x x x=2sincos 2cos2 1=sinxcosx2 2 2令f(x)f(x)=0,即:f(x)f(x)=sinx-cosxcosx-sinx=2cosx=0TT TT可得x ,所以