大學物理-電荷與真空中的靜電場課件

2023/9/5第9章電荷與真空中的靜電場9.1電荷庫侖定律9.2電場和電場強度9.3電通量真空中靜電場的高斯定理9.4靜電場力的功真空中靜電場的環(huán)路定理9.5電勢9.6電場強度和電勢的關(guān)系內(nèi)容提要2023/8/3第9章電荷與真空中的靜電場9.1電荷2023/9/59.1電荷庫侖定律9.1.1電荷的量子化1.實驗表明:自然界只存在兩種電荷，分別稱為正電荷和負電荷。同種電荷相互排斥，異種電荷相互吸引。2.電荷的量子化：電荷量不連續(xù)的性質(zhì).C(庫侖)為電量的單位.通常的計算中,e取:帶電體所帶的電量：q=ne(n=±1,±2,……)2023/8/39.1電荷庫侖定律9.1.1電荷的2023/9/59.1.2電荷守恒定律

一個孤立系統(tǒng)（即與外界無電荷交換的系統(tǒng)）的總電荷數(shù)（正負電荷的代數(shù)和）保持不變，即電荷既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，它只能從一個物體轉(zhuǎn)移到另一個物體，或者從物體的一個部分轉(zhuǎn)移到物體的另一部分。自然界的基本守恒定律之一．2023/8/39.1.2電荷守恒定律一個孤立系2023/9/59.1.3真空中的庫侖定律1.點電荷在具體問題中，當帶電體的形狀和大小與它們之間的距離相比可以忽略時，可以把帶電體看作點電荷.2.庫侖定律

真空中兩個靜止的點電荷之間存在著相互作用力,其大小與兩點電荷的電量乘積成正比，與兩點電荷間的距離平方成反比；作用力的方向沿著兩點電荷的連線，同性電荷互相排斥，異性電荷互相吸引．其數(shù)學表達形式:——靜電力(庫侖力)2023/8/39.1.3真空中的庫侖定律1.點電荷2023/9/5矢量形式:電荷q2對q1的作用力F12

:真空中的電容率（介電常數(shù)）說明(1)庫侖定律只適用于真空中靜止的點電荷；(2)靜電力(庫侖力)滿足牛頓第三定律；(3)在原子中，一般2023/8/3矢量形式:電荷q2對q1的作用力F12:真2023/9/59.2電場和電場強度9.2.1電場

后來:法拉第提出近距作用,并提出力線和場的概念.

早期：電磁理論是超距作用理論.電荷

電荷

電荷

電荷

電場

電場是物質(zhì)存在的一種形態(tài),它分布在一定范圍的空間里,并和一切物質(zhì)一樣,具有能量、動量、質(zhì)量等屬性.

電場的特點:(1)對位于其中的帶電體有力的作用;(2)帶電體在電場中運動,電場力要做功.2023/8/39.2電場和電場強度9.2.1電場2023/9/59.2.2電場強度1.試驗電荷q0帶電量足夠小點電荷例:將同一試驗電荷q0

放入電場的不同地點：q0

所受電場力大小和方向逐點不同.電場中某點P處放置不同電量的試驗電荷:所受電場力方向不變，大小成比例地變化.——電場力不能反映某點的電場性質(zhì).2023/8/39.2.2電場強度1.試驗電荷q0帶電2023/9/5比值與試驗電荷無關(guān)，僅與該點處電場性質(zhì)有關(guān).2.電場強度E

電場中某點的電場強度

E的大小,等于單位試驗電荷在該點所受到的電場力的大小,其方向與正的試驗電荷受力方向相同.

單位：牛頓/庫侖(N/C)或伏特/米(V/m).2023/8/3比值與試驗電荷無關(guān)，僅與2023/9/59.2.3點電荷與點電荷系的電場強度1.點電荷的電場強度

qq0試驗電荷q0所受的電場力為:由場強的定義可得場強為:——點電荷的場強

(1)的大小與q成正比，與r2成反比；(2)的方向取決于q的符號.討論2023/8/39.2.3點電荷與點電荷系的電場強度1.2023/9/5點電荷的電場是輻射狀球?qū)ΨQ分布電場.2023/8/3點電荷的電場是輻射狀球?qū)ΨQ分布電場.2023/9/52.點電荷系的電場強度設(shè)空間電場由點電荷q1、q2、…qn激發(fā).則各點電荷在P點激發(fā)的場強分別為:P點的總場強為:點電荷系在某一點產(chǎn)生的場強，等于每一個點電荷單獨存在時在該點分別產(chǎn)生的場強的矢量和．——電場強度疊加原理2023/8/32.點電荷系的電場強度設(shè)空間電場由點電荷2023/9/53.連續(xù)分布的任意帶電體場強整個帶電體在P點產(chǎn)生的總場強為:在帶電體上任取一個電荷元dq，dq在某點P處的場強為:

:電荷線密度

:電荷面密度

:電荷體密度2023/8/33.連續(xù)分布的任意帶電體場強整個帶電體在P2023/9/5矢量積分步驟：(1)選取坐標系;(5)分別積分：;(6)寫出合場強：.(4)根據(jù)幾何關(guān)系統(tǒng)一積分變量;(2)選積分元，寫出;(3)寫出的投影分量式:;2023/8/3矢量積分步驟：(1)選取坐標系;(5)分2023/9/59.2.4電場強度的計算例：電偶極子的場強有兩個電荷相等、符號相反、相距為l的點電荷+q和-q，它們在空間激發(fā)電場。若場點P到這兩個點電荷的距離比l大很多時，這兩個點電荷構(gòu)成的電荷系稱為電偶極子.+q-q由-q指向+q的矢量稱為電偶極子的軸．稱為電偶極子的電偶極矩(電矩)，用表示．(1)電偶極子軸線延長線上一點的電場強度;下面分別討論：(2)電偶極子軸線的中垂線上一點的電場強度.2023/8/39.2.4電場強度的計算例：電偶極子的場2023/9/5解:(1)延長線上:2023/8/3解:(1)延長線上:2023/9/5（2)中垂線上：

-q+qlyPEE+E-yxO2023/8/3（2)中垂線上：-q+qlyPEE+E-2023/9/5aPxyO它在空間一點P產(chǎn)生的電場強度.（P點到桿的垂直距離為a)解:dqr

由圖上的幾何關(guān)系:

2

1例:長為L的均勻帶電直桿，電荷線密度為

.求:2023/8/3aPxyO它在空間一點P產(chǎn)生的電場強度.解:2023/9/5(1)a>>L

桿可以看成點電荷討論(2)無限長帶電直線aPxyOdqr

2

12023/8/3(1)a>>L桿可以看成點電荷討論(2023/9/5圓環(huán)軸線上任一點P

的電場強度.RP解:dqOxr

例:半徑為R的均勻帶電細圓環(huán)，帶電量為q.求:圓環(huán)上電荷分布關(guān)于x軸對稱x2023/8/3圓環(huán)軸線上任一點P的電場強度.RP解:dq2023/9/5(1)當

x=0（即P點在圓環(huán)中心處）時，

(2)當

x>>R

時,可以把帶電圓環(huán)視為一個點電荷.討論RPdqOxr

x2023/8/3(1)當x=0（即P點在圓環(huán)中心處）2023/9/5求面密度為

的帶電薄圓盤軸線上的電場強度．解：PrxO例：R2023/8/3求面密度為的帶電薄圓盤軸線上的電場強2023/9/5(1)當R>>x

，圓盤可視為無限大薄板(2)E1E1E1E2E2E2(3)補償法pxO討論2023/8/3(1)當R>>x，圓盤可視為無限大薄2023/9/59.3電通量真空中靜電場的高斯定理9.3.1電場線（電力線）

1)曲線上一點的切線方向表示該點場強的方向；2)在垂直于場強方向的面積元dS⊥上通過的電場線數(shù)

dN正比于該點場強E

的大小.1.電場線的概念:在電場中畫一系列曲線，使得:——電場線密度2023/8/39.3電通量真空中靜電場的高斯定理92023/9/52.靜電場中電場線的性質(zhì)1）電場線起始于正電荷，終止于負電荷；2）電場線永不閉合；3）電場線永不相交.+-++-++q-q2023/8/32.靜電場中電場線的性質(zhì)1）電場線起始于正2023/9/59.3.2電通量通過電場中某一曲面的電場線數(shù).1.電場強度通量的定義：2.電場強度通量的計算:1)均勻電場中平面S的法向矢量與場強成

角平面S與場強垂直則:則:

2023/8/39.3.2電通量通過電場中某一曲面的電場線2023/9/52)非均勻電場中在S上任取一小面元dS,有:非閉合曲面凸為正，凹為負閉合曲面向外為正，向內(nèi)為負(2)電通量是代數(shù)量為正

為負

對閉合曲面:方向的規(guī)定：(1)討論2023/8/32)非均勻電場中在S上任取一小面元dS2023/9/59.3.3真空中靜電場的高斯定理CarlFriedrichGauss(1777~1855)德國數(shù)學家和物理學家高斯定理討論的是:封閉曲面的電通量與該曲面內(nèi)包圍的電荷之間的關(guān)系2023/8/39.3.3真空中靜電場的高斯定理Carl2023/9/5R+q1.點電荷的情況1)通過以點電荷為球心,半徑為R的球面的電通量:與方向相同,即:對以q為中心而R不同的任意球面而言,其電通量都相等.

推論：2023/8/3R+q1.點電荷的情況1)通過以點電荷2023/9/52)點電荷不位于球面的中心3)點電荷位于任意形狀的封閉曲面內(nèi)結(jié)論:

e

與曲面的形狀及

q

在曲面內(nèi)的位置無關(guān).以q為中心作一球面S’通過S’的電力線都通過S.+qS+qS同理:4)點電荷位于封閉曲面外穿入、穿出S的電力線數(shù)相等S’S’2023/8/32)點電荷不位于球面的中心3)點電荷位于2023/9/52.多個點電荷的情況q1q2q3q4q5P根據(jù)場強疊加原理:推廣:點電荷系的情況2023/8/32.多個點電荷的情況q1q2q3q4q5P2023/9/53.靜電場的高斯定理（Gausstheorem）（不連續(xù)分布的帶電體）

（連續(xù)分布的帶電體）

(1)高斯定理反映了靜電場的性質(zhì)——有源場;

在真空靜電場中，通過任意閉合曲面的電通量，等于該曲面所包圍的所有電量的代數(shù)和的倍.

為電荷體密度，V為高斯面所圍體積.討論:(2)

是所有電荷產(chǎn)生的，

e

只與內(nèi)部電荷有關(guān).2023/8/33.靜電場的高斯定理（Gausstheo2023/9/59.3.4高斯定理的應(yīng)用球?qū)ΨQ柱對稱面對稱球體球面(點電荷)無限長柱體無限長柱面無限長線無限大的平板無限大的平面對帶電體電荷的分布具有某種對稱性的情況下，利用高斯定理求E較為方便.常見均勻帶電體的對稱性：

2023/8/39.3.4高斯定理的應(yīng)用球?qū)ΨQ2023/9/5利用高斯定理解題的一般步驟：

2)選擇適當?shù)拈]合曲面（高斯面）

3)計算4)計算1)分析電場所具有的對稱性質(zhì)5)由求E.2023/8/3利用高斯定理解題的一般步驟：2)選擇適當2023/9/5

R求均勻帶電球體內(nèi)、外任一點的場強.(已知球體半徑為R,帶電量為Q,電荷體密度為

)例:解：（1）求球體外任一點的場強(

r≥R)r作如圖所示高斯面,由高斯定理有:電場分布具有球?qū)ΨQ性2023/8/3R求均勻帶電球體內(nèi)、外任一點的場強.例:解2023/9/5

R（2）求球體內(nèi)任一點的場強r（r<R）rER作如圖所示高斯面,由高斯定理有:若為一均勻帶電球面，總電量為Q，半徑為R,結(jié)果又如何?電場分布曲線2023/8/3R（2）求球體內(nèi)任一點的場強r（r<2023/9/5求無限長均勻帶電直線在空間任一點的場強.（已知線電荷密度為）例:rlP解:電場分布具有柱對稱性過直線外任一點P作一個以帶電直線為軸，以l為高的圓柱形閉合曲面S作為高斯面.r2023/8/3求無限長均勻帶電直線在空間任一點的場強.例:2023/9/5解:電場分布具有面對稱性

選取一個圓柱形高斯面已知“無限大”均勻帶電平面上電荷面密度為

.電場強度分布求:例:xOEx電場分布曲線2023/8/3解:電場分布具有面對稱性選取一個圓柱形高斯2023/9/5例:已知一厚度為d的無限大平板電荷體密度為

.板外：板內(nèi)：解:選取如圖的圓柱面為高斯面求:電場強度分布

dSSdxxOEx電場分布具有面對稱性

電場分布曲線2023/8/3例:已知一厚度為d的無限大平板電荷體密度為2023/9/5選取高斯面的原則：

2)高斯面是簡單的幾何面（球面、圓柱面或長方體面等）或是它們的組合；3)選取高斯面時，可以將E從積分號內(nèi)提出.1)所求的場點必須在高斯面上；2023/8/3選取高斯面的原則：2)高斯面是簡單的幾何2023/9/59.4靜電場力的功真空中靜電場的環(huán)路定理9.4.1靜電場力做功的特點1.單個點電荷產(chǎn)生的電場中BAL

q0OC電場力對q0作的元功為：已知點電荷的電場強度為：由圖中幾何關(guān)系：2023/8/39.4靜電場力的功真空中靜電場的環(huán)路定2023/9/52.點電荷系產(chǎn)生的電場中電荷系q1、q2、…的電場中，移動q0，有:ABL??由場強疊加原理:(與路徑無關(guān))(與路徑無關(guān))同理:

對連續(xù)分布帶電體可得同樣結(jié)果.2023/8/32.點電荷系產(chǎn)生的電場中電荷系q1、q2、2023/9/5結(jié)論

一試驗電荷q0在靜電場中從一點沿任意路徑運動到另一點時,靜電場力對它所做的功,僅與試驗電荷q0

及路徑的起點和終點的位置有關(guān),而與該路徑的形狀無關(guān).靜電力——保守力;

靜電場——保守力場

ABL??2023/8/3結(jié)論一試驗電荷q0在靜電2023/9/59.4.2靜電場的環(huán)路定理在靜電場中,沿閉合路徑移動q0,電場力做功可表示為：BDAC——靜電場的環(huán)路定理

在靜電場中，電場強度沿任意閉合路徑的線積分(環(huán)流)為零.2023/8/39.4.2靜電場的環(huán)路定理在靜電場中,沿閉2023/9/5(1)環(huán)路定理是靜電場的另一重要定理，可用環(huán)路定理檢驗一個電場是不是靜電場.不是靜電場abcd討論(2)環(huán)路定理要求電力線不能閉合.(3)靜電場是有源、無旋場，可引進電勢能.2023/8/3(1)環(huán)路定理是靜電場的另一重要定理，可用2023/9/59.5電勢9.5.1電勢能力學保守力場引入勢能靜電場保守力場引入靜電勢能重力等力靜電場力取勢能零點:E“0”=0q0在電場中某點A的電勢能：點電荷q0在電場中某點處電勢能,在數(shù)值上等于把它從該點移到零勢能處靜電場力所做的功.表明：2023/8/39.5電勢9.5.1電勢能力學保守2023/9/5(1)電勢能應(yīng)屬于q0

和產(chǎn)生電場的源電荷系統(tǒng)共有;說明(3)選勢能零點原則：(2)電荷在某點電勢能的值與零點選取有關(guān),而兩點的差值與零點選取無關(guān);?實際應(yīng)用中取大地、儀器外殼等為勢能零點.?當(源)電荷分布在有限范圍內(nèi)時，勢能零點一般選在無窮遠處;?無限大帶電體勢能零點一般選在有限遠處一點;2023/8/3(1)電勢能應(yīng)屬于q0和產(chǎn)生電場的源2023/9/5試計算在帶電量為Q的點電荷所產(chǎn)生的靜電場中，電量為q

的點電荷在A點處的電勢能.解：例:qAQ2023/8/3試計算在帶電量為Q的點電荷所產(chǎn)生的靜電場中2023/9/59.5.2電勢和電勢差比值與試驗電荷無關(guān),反映了電場在A點的性質(zhì).定義A點的電勢UA：在電場中某一點A的電勢UA,在數(shù)值上等于把單位正試驗電荷從點A移到勢能零點處時,靜電場力所做的功.表明：1.電勢電勢的單位為J/C，稱為伏特，記作V.2023/8/39.5.2電勢和電勢差比值與試驗電荷無關(guān),2023/9/52.電勢差（電壓）電場中點Ａ和點B兩點間的電勢差(電壓)為:靜電場中A、B兩點的電勢差UAB,在數(shù)值上等于把單位正試驗電荷從點A移到點B時,靜電場力所做的功.表明：把q從點A移到點B

時，靜電場力做的功可表示為:2023/8/32.電勢差（電壓）電場中點Ａ和點B兩點間的2023/9/5如圖所示,在帶電量為

Q

的點電荷所產(chǎn)生的靜電場中，有一帶電量為q

的點電荷.解:選無窮遠為電勢能零點q在a點和

b點的電勢能.求:例:選

C點為電勢能零點兩點的電勢能差：bacQ2023/8/3如圖所示,在帶電量為Q的點電荷所產(chǎn)生的2023/9/59.5.3點電荷的電勢電勢的疊加原理取無限遠處為零電勢參考點，a點電勢為：(1)q>0：各點的電勢為正，離q愈遠電勢愈低，在無限遠處電勢最低并為零；(2)

q<0：各點的電勢為負，離q愈遠電勢愈高，在無限遠處電勢最高并為零.討論：電力線的方向指向電勢降落的方向1.點電荷電場中的電勢2023/8/39.5.3點電荷的電勢電勢的疊加原理2023/9/52.電勢疊加原理(1)對q1、q2、

qn構(gòu)成的點電荷系:a

點電荷系所激發(fā)的電場中某點的電勢，等于各點電荷單獨存在時在該點建立的電勢的代數(shù)和.——電勢疊加原理2023/8/32.電勢疊加原理(1)對q1、q2、q2023/9/5(2)電荷連續(xù)分布帶電體電場中的電勢任取一電荷元dq，a點的電勢為:說明(2)選電勢為零的參考點原則：(1)電荷在某點電勢的值與電勢為零的參考點選取有關(guān),而兩點的差值與電勢為零的參考點選取無關(guān);?實際應(yīng)用中取大地、儀器外殼等的電勢為零.?當(源)電荷分布在有限范圍內(nèi)時，電勢為零的參考點一般選在無窮遠處;?無限大帶電體電勢為零的參考點一般選有限遠處一點;2023/8/3(2)電荷連續(xù)分布帶電體電場中的電勢任2023/9/59.5.4電勢的計算方法（2）已知電荷分布（1）已知場強分布2023/8/39.5.4電勢的計算方法（2）已知電荷分布2023/9/5

(1)O點到四個頂點的距離均為:

例:求:(1)正方形中心O處的電勢；(2)如果將試驗電荷q0從無限遠處移到O點，電場力做功多少？四個電量均為q的點電荷，分別放在邊長為a的正方形的四個頂點上.解：(2)2023/8/3(1)O點到四個頂點的距離均為:例:求2023/9/5均勻帶電圓環(huán)半徑為R，電荷線密度為

.解:建立如圖坐標系，選取電荷元dq.例:圓環(huán)軸線上一點的電勢.求:RPOxdqr2023/8/3均勻帶電圓環(huán)半徑為R，電荷線密度為.解:建2023/9/5P0Rx求圓盤軸上一點的電勢.drr取微元:例:解：當x>>R時,2023/8/3P0Rx求圓盤軸上一點的電勢.drr取微元:2023/9/5例：求均勻帶電球殼的電場的電勢分布.解：設(shè)無限遠處為電勢零點,則距離球心rP的P點處電勢為：R根據(jù)高斯定理可得：2023/8/3例：求均勻帶電球殼的電場的電勢分布.解：設(shè)無2023/9/5討論：(1)球殼內(nèi)任一點的電勢與球殼的電勢相等(等勢);(2)球殼外的電勢與球殼上的電荷集中于球心的點電荷的電勢相同.2023/8/3討論：(1)球殼內(nèi)任一點的電勢與球殼的電(2023/9/5半徑為R，帶電量為q的均勻帶電球體.解:根據(jù)高斯定理可得：求:帶電球體的電勢分布.例:++++++RrP對球外一點P：

對球內(nèi)一點P1：P1rUR2023/8/3半徑為R，帶電量為q的均勻帶電球體.解:2023/9/5

求電荷線密度為

的無限長帶電直線的電勢分布.解：

分析:選擇某一定點為電勢零點,現(xiàn)選距離線長為a處的P0點為電勢0點.rP0a例:2023/8/3求電荷線密度為的無限長帶電直線的電勢2023/9/59.6電場強度和電勢的關(guān)系9.6.1等勢面電場中電勢相等的點所構(gòu)成的面稱為等勢面.等勢面的性質(zhì):(1)

沿等勢面移動電荷,電場力不做功;(2)

等勢面處處與電場線正交;q

0E

0dl

0(3)

等勢面稠密處

——電場強度大.規(guī)定:

電場中任意兩個相鄰等勢面之間的電勢差都相等

2023/8/39.6電場強度和電勢的關(guān)系9.6.1等勢2023/9/5點電荷+等量異號點電荷+-勻強電場平行板電容器2023/8/3點電荷+等量異號點電荷+-勻強電場平行板電容2023/9/59.6.2電場強度與電勢梯度取兩個相鄰的等勢面，等勢面法線方向為把點電荷從P移到Q，電場力做功為：，設(shè)的相同，方向與UU+dUPQ任意一場點P處電場強度的大小等于沿過該點等勢面法線方向上電勢的變化率，負號表示電場強度的方向指向電勢減小的方向。2023/8/39.6.2電場強度與電勢梯度取兩個相鄰的等2023/9/5在直角坐標系中:另一種理解:電勢沿等勢面法線方向的變化率最大.電場強度在l方向的投影等于電勢沿該方向變化率的負值.2023/8/3在直角坐標系中:另一種理解:電勢沿等勢面法線2023/9/5某點的電場強度等于該點電勢梯度的負值，這就是電場強度與電勢梯度的關(guān)系.例:求:（2，3，0）點的電場強度.

已知:解:2023/8/3某點的電場強度等于該點電勢梯度的負值2023/9/5討論：(3)電勢為零處,場強不一定為零；場強為零處，電勢也不一定為零;(1)靜電場各點場強的大小等于該點電勢空間變化率的最大值，方向垂直于等勢面指向電勢降落的方向;(2)在電勢不變的空間,電勢梯度為零,則場強必為零;(4)為我們了提供一種計算場強的方法.2023/8/3討論：(3)電勢為零處,場強不一定為零；2023/9/5靜電場的基本定律——庫侖定律靜電場的兩條基本定理——高斯定理和環(huán)路定理描述