第一節(jié)二重積分概念與性質(zhì)

第一節(jié)二重積分概念與性質(zhì)第1頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解法:

類似定積分解決問題的思想:一.引例1.曲頂柱體的體積

給定曲頂柱體:底：

xoy面上的閉區(qū)域D頂:連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“大化小,常代變,近似和,求極限”機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第2頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n個(gè)2)“常代變”在每個(gè)3)“近似和”則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第3頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4)“取極限”令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第4頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個(gè)常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第5頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月引例中曲頂柱體體積:如果在D上可積,也常二重積分記作這時(shí)分區(qū)域D,因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來(lái)劃記作機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第6頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二重積分存在定理:若函數(shù)(證明略)定理在D上可積.在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二重積分的幾何意義:二重積分表示曲頂柱體的體積.二重積分表示曲頂柱體的體積的負(fù)值.二重積分等于柱體體積的代數(shù)和.第7頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、二重積分的性質(zhì)(k為常數(shù))

為D的面積,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第8頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月則5.若在D上6.設(shè)D的面積為

,則有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第9頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月7.(二重積分的中值定理)證:由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點(diǎn)在閉區(qū)域D上

為D的面積,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第10頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例比較下列積分的大小:其中解:積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(diǎn)(1,0),而域D位從而于直線的上方,故在D上機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第11頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例估計(jì)下列積分之值解:

D的面積為由于積分性質(zhì)5即:1.96I2D機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第12頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)容小結(jié)1.二重積分的定義2.二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.二重積分與定積分的異同第13頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相同點(diǎn):機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束不同點(diǎn):1.前者積分是在x軸的一個(gè)區(qū)間上進(jìn)行,后者在xoy面上的一個(gè)區(qū)域上進(jìn)行;2.前者的積分上限可大于也可小于下限,后者在化為累次積分時(shí),每個(gè)積分的上限一定大于下限(由于為正)第14頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月被積函數(shù)相同,且非負(fù),*思考與練習(xí)解:

由它們的積分域范圍可知1.比較下列積分值的大小關(guān)系:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第15頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月*

2.

設(shè)D

是第二象限的一個(gè)有界閉域,且0<y<1,則的大小順序?yàn)?)提示:因0<y<1,故故在D上有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第16頁(yè)，課件共17頁(yè)，創(chuàng)作于2023