新高考數(shù)學(xué)通用版總復(fù)習(xí)一輪課件第五章第3講等比數(shù)列

第3講等比數(shù)列1.等比數(shù)列的定義公比

如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的______，通常用字母q表示. 2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)an＝a1·qn－1.3.等比中項(xiàng)若G2＝a·b(ab≠0)，則G叫做a與b的等比中項(xiàng).4.等比數(shù)列的常用性質(zhì)

(4)已知等比數(shù)列{an}， ①若首項(xiàng)a1>0，公比q>1或首項(xiàng)a1<0，公比0<q<1，則數(shù)列{an}單調(diào)遞增； ②若首項(xiàng)a1>0，公比0<q<1或首項(xiàng)a1<0，公比q>1，則數(shù)列{an}單調(diào)________；遞減③若公比q＝1，則數(shù)列{an}為常數(shù)列；④若公比q<0，則數(shù)列{an}為擺動數(shù)列.a1(1－qn)5.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，其前n項(xiàng)和為Sn.當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝________；na1當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝1－q＝________.a1－anq

1－q

6.等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

若q≠－1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n

仍是等比數(shù)列.題組一走出誤區(qū)1.(多選題)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，下列數(shù)列中)一定是等比數(shù)列的有(定為同一個常數(shù)，即{lgan}不一定為等比數(shù)列，故C錯誤； 若an＝(－1)n為等比數(shù)列，公比－1，則Sn

有可能為0，不一定成等比數(shù)列，故D錯誤.

故選AB.

答案：AB題組二走進(jìn)教材

2.(必修5P54A組第8題改編)在3與192中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個數(shù)為________.

解析：設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，192＝3×q3，q3＝64，所以q＝4.所以插入的兩個數(shù)分別為3×4＝12，12×4＝48.

答案：12，483.[必修5P68B組第1(2)題改編]設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)，前

2n項(xiàng)，前3n項(xiàng)的和分別為A，B，C，則()A.A＋B＝CC.(A＋B)－C＝B2B.B2＝AC

D.A2＋B2＝A(B＋C)

解析：等比數(shù)列的前n項(xiàng)，前2n項(xiàng)，前3n項(xiàng)的和分別為A，B，C，則(B－A)2＝A(C－B)，∴A2＋B2＝AC＋AB，故選D.

答案：Da3＝12，a6－a4＝24，則＝(－2n－11－n－1題組三真題展現(xiàn)4.(2020年全國Ⅱ)記

Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a5－Sn)n－1－21－nan解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，答案：B5.(2020年全國Ⅰ)設(shè){an}是等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，則a6＋a7＋a8＝()

解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝1，

a2＋a3＋a4＝a1q＋a1q2＋a1q3＝a1q(1＋q＋q2)＝q＝2， 因此，

a6＋a7＋a8＝a1q5＋a1q6＋a1q7＝a1q5(1＋q＋q2)＝

q5＝32.故選D.

答案：D考點(diǎn)1等比數(shù)列的基本運(yùn)算自主練習(xí)

1.(2018年全國Ⅰ)記

Sn

為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Sn

＝2an＋1，則S6＝____________.

答案：－63

2.(2016年全國Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為__________.

解析：方法一，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為

q，方法二，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，

所以當(dāng)

n＝3或

n＝4時(shí)，a1a2…an最大，最大值為26＝64.答案：643.(2019年全國Ⅰ)記

Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1＝4.(2020年全國Ⅱ)數(shù)列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，則k＝(

)解析：在等式am＋n＝aman中，令m＝1，可得an＋1＝ana1＝2an，∴an＋1

an＝2，

∴數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則an＝2×2n－1＝2n，答案：C

5.(多選題)在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列{an}中，Sn

是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，則下列說法正確的是(

)A.q＝2B.數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列C.S8＝510D.數(shù)列{lgan}是公差為2的等差數(shù)列解析：∵a1＋a4＝18，a2＋a3＝12且公比q為整數(shù)，∴a1＋a1q3＝18，a1q＋a1q2＝12，

∴Sn＋2＝2n＋1，故數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列，故B正確； 而lgan＝lg2n＝nlg2，故數(shù)列{lgan}是公差為lg2的等差數(shù)列，故D錯誤.故選ABC.

答案：ABC

【題后反思】在解決等比數(shù)列問題時(shí)，已知a1，an，q，n，Sn中任意三個，可求其余兩個，稱為“知三求二”.而求得a1和q是解決等比數(shù)列{an}所有運(yùn)算的基本思想和方法.考點(diǎn)2等比數(shù)列的基本性質(zhì)及應(yīng)用師生互動[例1](1)(2019年江西新余模擬)已知等比數(shù)列{an}中，a2＝2，a6＝8，則a3a4a5＝()A.±64

解析：因?yàn)閍2＝2，a6＝8，所以由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a2a664.故選B.

答案：B(2)等比數(shù)列{an}的前

n項(xiàng)和為

Sn，S2＝7，S6＝91，則

S4為為()D.28或－21

解析：∵{an}為等比數(shù)列，∴S2，S4－S2，S6－S4也為等比數(shù)列，即7，S4－7，91－S4成等比數(shù)列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得

S4＝28或

S4＝－21.∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，∴S4＝28.故選A.

答案：A(3)已知{an}是等比數(shù)列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5

的值為()答案：A

【題后反思】(1)解決給項(xiàng)求項(xiàng)問題，先考慮利用等比數(shù)列的性質(zhì)“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am·an＝ap·aq”，再考慮基本量法.

(2)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)：若公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍是等比數(shù)列.【考法全練】(2020年押題導(dǎo)航卷)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且

a5a6＋a4a7＝18，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝()＋log35

解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a5a6＋a4a7＝2a5a6＝18，所以a5a6＝9.

a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝…＝9.則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a10)5＝5log39＝10，故選B.

答案：B考點(diǎn)3等差與等比數(shù)列的混合運(yùn)算多維探究

[例2](2017年全國Ⅰ)記

Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)求Sn，并判斷Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差數(shù)列.

解：(1)設(shè){an}的公比為q，故{an}的通項(xiàng)公式為

an＝(－2)n.

故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列.

【題后反思】從近幾年的高考試題分析，對等差(比)數(shù)列的性質(zhì)的考查每年必考，通常是一題中等差、等比同時(shí)考查，這就要求我們要熟練掌握等差、等比的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及其性質(zhì).【考法全練】答案：D⊙轉(zhuǎn)化化歸思想在數(shù)列中的應(yīng)用

【策略指導(dǎo)】本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系的運(yùn)用，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了學(xué)生的邏輯推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

【高分訓(xùn)練】

設(shè)

Sn是數(shù)列{an}的前

n項(xiàng)和，且

a1＝1，(n＋1)an＋1＝(n－1)Sn，則Sn＝__________.

解析：∵(n＋1)an＋1＝(n－1)Sn，∴nan＋1＋Sn＋1＝nSn.一個推導(dǎo)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的推導(dǎo)方法是錯位相減法.

兩條性質(zhì)：(1)在等比數(shù)列{an}中m＋n＝p＋q?am·an＝ap·aq.

(2)等比數(shù)列{an}的前

n項(xiàng)和為

Sn，若

Sm≠0，則

Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列.四種方法：等比數(shù)列判定的四種方法：(1)定義法：an＋1

an＝q(q為非零常數(shù)).

(3)通項(xiàng)公式法：an＝c·qn(c、q均為非零常數(shù)，n∈N*). (4)前n項(xiàng)和公式法：Sn＝A－A·qn(k、q為常數(shù)k≠0，q≠0，1). (注：(1)(2)可用于證明，(3)只能用于選擇題、填空題中的判斷)四點(diǎn)