2023年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)二歷年高頻考題帶答案難題附詳解

2023年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)二歷年高頻考題帶答案難題附詳解（圖片大小可自由調(diào)整）第1卷一.歷年考點(diǎn)試題黑鉆版(共50題)1.設(shè)f(x)為R上不恒等于零的奇函數(shù)，且f'(0)存在，則函數(shù)______．A.在x=0處左極限不存在B.有跳躍間斷點(diǎn)x=0C.在x=0處右極限不存在D.有可去間斷點(diǎn)x=02.設(shè)y=y(x)一階可導(dǎo)，y(0)=π，若對(duì)任一點(diǎn)x∈(-∞，+∞)處函數(shù)的增量為，其中o(Δx)為Δx的高階無(wú)窮小量，求y(x)．3.4.已知A是2n+1階正交矩陣，即AAT=ATA=E，證明：|E-A2|=0．5.若x→0時(shí)，與xsinx是等價(jià)無(wú)窮小，則a=______．6.設(shè)曲線(xiàn)L位于xOy平面的第一象限內(nèi)，L上任意一點(diǎn)M處的切線(xiàn)與y軸總相交，交點(diǎn)為A，已知|MA|=|OA|，且L經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求L的方程．7.設(shè)u=f(x，y，z)，y=φ(x，t)，t=ψ(x，z)，其中f，φ，ψ可微，求．8.設(shè)函數(shù)f(x)在x=a的某鄰域內(nèi)有定義，則f(x)在x=a處可導(dǎo)的一個(gè)充分條件是______

A．

B．

C．

D．9.設(shè)A，B為3階可逆矩陣，A，B相似，且|A-3E|=0，λ1=1，λ2=2是矩陣A的兩個(gè)特征值，則|B-1-2AB-1|=______

A．

B．

C．

D．10.設(shè)則有______．A.N＜P＜MB.M＜P＜NC.P＜M＜ND.N＜M＜P11.線(xiàn)性方程組

的基礎(chǔ)解系有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解組成，則參數(shù)a，b，c，d，e應(yīng)滿(mǎn)足關(guān)系______．12.在齊次線(xiàn)性方程組Am×nx=0中，若秩(A)=k且，η1η2…，ηr是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則r=______；當(dāng)k=______時(shí)，此方程組只有零解．13.14.設(shè)y=y(x)(x＞0)是微分方程xy'-6y=-6滿(mǎn)足條件y()=10的解.

(1)求y(x);

(2)設(shè)P為曲線(xiàn)y=y(x)上的一點(diǎn),記曲線(xiàn)y=y(x)在點(diǎn)P的法線(xiàn)在y軸上的截距為,IP,當(dāng)IP最小時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).15.反常積分的斂散性為_(kāi)_____A.①發(fā)散，②收斂B.①收斂，②發(fā)散C.①收斂，②收斂D.①發(fā)散，②發(fā)散16.n階矩陣求A的特征值和特征向量。17.對(duì)一般的n元實(shí)二次型f=xTAx，其中x=(x1，x2，…，xn)T，證明：f在條件下的最大值恰為矩陣A的最大特征值．18.f(x)在[0，1]上連續(xù)，(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且

證明：至少存在一點(diǎn)ξ∈(0，1)，使f'(ξ)=(1-ξ-1)f(ξ)．19.設(shè)曲線(xiàn)L位于xOy平面的第一象限內(nèi)，L上任意一點(diǎn)M處的切線(xiàn)與y軸總相交，交點(diǎn)為A，已知|MA|=|OA|，且L經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，1)，求L的方程．20.21.計(jì)算曲線(xiàn)y=ln(1-x2)上相應(yīng)于的一段弧的長(zhǎng)度．22.設(shè)，其中ai≠0，bi=0(i=1，2，…，n)，則矩陣A的秩為r(A)=______．23.已知α1，α2，α3，α4是3維非零向量，則下列命題中錯(cuò)誤的是A.如果α4不能由α1，α2，α3線(xiàn)性表出，則α1，α2，α3線(xiàn)性相關(guān)．B.如果α1，α2，α3線(xiàn)性相關(guān)，α2，α3，α4線(xiàn)性相關(guān)，那么α1，α2，α4也線(xiàn)性相關(guān)．C.如果α3不能由α1，α2線(xiàn)性表出，α4不能由α2，α3線(xiàn)性表出，則α1可以由α2，α3，α4線(xiàn)性表出．D.如果秩r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)，則α4可以由α1，α2，α3線(xiàn)性表出．24.(本題滿(mǎn)分10分)

求不定積分。25.26.27.設(shè)F(x)是f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，則F(x)+f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)______．A.可導(dǎo)B.連續(xù)C.存在原函數(shù)D.是初等函數(shù)28.設(shè)A為2階矩陣，α1，α2為線(xiàn)性無(wú)關(guān)的2維列向量，Aα1=0，Aα2=2α1+α2，則A的非零特征值為_(kāi)_____．29.30.設(shè)A為三階矩陣，將A的第2列加到第1列得矩陣B，再交換B的第2行與第3行得單位矩陣。記則A=______

A．P1P2

B．

C．P2P1

D．31.設(shè)D是由曲線(xiàn)圍成的平面區(qū)域，求D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積和表面積．32.求．33.若，則為

A．0．

B．3．

C．

D．∞．34.設(shè)當(dāng)x→0時(shí)，f(x)=ln(1+x2)-ln(1+sin2x)是x的n階無(wú)窮小，則正整數(shù)n等于______A.1B.2C.3D.435.以y1=excos2x，y2=exsin2x與y3=e-x為線(xiàn)性無(wú)關(guān)特解的三階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程是A.y'''+y''+3y'+5y=0.B.y'''-y''+3y'+5y=0.C.y'''+y''-3y'+5y=0.D.y'''-y''-3y'+5y=0.36.37.若方程x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4經(jīng)正交變換化為，則a為_(kāi)_____．A.1B.2C.3D.438.設(shè)向量組Ⅰ：α1，α2，…，α3，Ⅱ：α1，α2，…，αs，…，αs+r，則必有

(A)Ⅰ相關(guān)Ⅱ相關(guān)．

(B)Ⅰ無(wú)關(guān)Ⅱ無(wú)關(guān)．

(C)Ⅱ相關(guān)Ⅰ相關(guān)．

(D)Ⅱ相關(guān)Ⅰ無(wú)關(guān)．39.40.41.計(jì)算42.函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)是x=______A.-1．B.1．C.0．D.2．43.f(x)在[-1，1]上三階連續(xù)可導(dǎo)，且f(-1)=0，f(1)=1，f'(0)=0.證明：存在ξ∈(-1，1)，使得f'''(ξ)=3.44.45.設(shè)p(x)，q(x)與f(x)均為連續(xù)函數(shù)，．設(shè)y1(x)，y2(x)與y3(x)是二階非齊次線(xiàn)性方程

y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)

①

的3個(gè)解，且

則式①的通解為_(kāi)_____．46.設(shè)平面區(qū)域D由星形線(xiàn)與x軸圍成，則

A．

B．

C．

D．47.48.設(shè)n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似，則______．A.A的n個(gè)特征值都是單值B.A是可逆矩陣C.A存在n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量D.A一定為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣49.計(jì)算定積分50.設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，證明，并計(jì)算積分

第1卷參考答案一.歷年考點(diǎn)試題黑鉆版1.參考答案：D[考點(diǎn)]極限、間斷點(diǎn)

[解析]由題設(shè)，f(-x)=-f(x)，則有f(0)=0，

從而，

即g(x)在x=0處極限存在，但x=0時(shí)g(x)無(wú)定義，

因此可補(bǔ)充定義g(0)=f'(0)，則g(x)在x=0處連續(xù)．

綜上，g(x)有可去間斷點(diǎn)x=0，所以選(D)．2.參考答案：[解析]由可知，

已知y(0)=π，上式兩邊做定積分，得

即y=πearctanx．3.參考答案：[解]4.參考答案：由已知條件可得

|A|2=|A|·|AT|=|AAT|=|E|=1．

若|A|=1，則

|E-A|=|AAT-A|=|A(AT-ET)|=|A|·|A-E|=|-(E-A)|

=(-1)2n+1|E-A|=-|E-A|，

從而|E-A|=0．

若|A|=-1，則由

|E+A|=|AAT+A|=|A(AT+ET)|=|A|·|A+E|=-|E+A|,

可得|E+A|=0．

又因

|E-A2|=|(E-A)(E+A)|=|E-A|·|E+A|，

所以無(wú)論|A|為1還是-1，一定有|E-A2|=0．5.參考答案：-4．[解析]．6.參考答案：解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則切線(xiàn)MA:Y-y=y'(X-x)．

令X=0，則Y=y-xy'，故A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，y-xy')．

由|MA|=|OA|，得

即，或者

則

因?yàn)榍€(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以C=3，再由曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)第一象限得曲線(xiàn)方程為7.參考答案：[解]

8.參考答案：D[解析]因?yàn)?/p>

如果此極限存在，則由導(dǎo)數(shù)定義可知，函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，即該極限存在是f(x)在x=a處可導(dǎo)的一個(gè)充分條件。故選D。9.參考答案：B[考點(diǎn)]本題考查相似矩陣的冪，逆矩陣的性質(zhì)和伴隨矩陣。首先結(jié)合|A-3E|=0可得出矩陣A和B的所有特征值，利用矩陣行列式等于矩陣所有特征值乘積的性質(zhì)即可計(jì)算|B-1-2AB-1|。[解析]根據(jù)|A-3E|=0可知λ=3是矩陣A的一個(gè)特征值，因此A的所有特征值為1，2，3。已知A和B相似，因此B的特征值也是1，2，3。E-2A的特征值分別為1-2×1=-1，1-2×2=-3，1-2×3=-5。因此

|E-2A|=(-1)×(-3)×(-5)=-15，|B|=λ1λ2λ3=1×2×3=6，

故10.參考答案：C[解析]三個(gè)積分的積分區(qū)間相同，都為對(duì)稱(chēng)區(qū)間，且被積函數(shù)的子函數(shù)又有奇偶性．利用此可算出三個(gè)積分再比較大小．

M中被積函數(shù)為奇函數(shù)，故M=0．去掉被積函數(shù)中等于0的奇函數(shù)的積分，得到

故N＞M＞P．僅(C)入選．11.參考答案：e+bc-ad=0．12.參考答案：n-k，n；13.參考答案：14.參考答案：解：(1)原方程整理,得,則

P(x)=-,Q(x)=-,

所以,通解y=e-∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dx+C]

=1+Cx6,

又因?yàn)閥()=10,得10=1+C()6,

解得C=,

所以y(x)=1+x6(x＞0);

(2)P為曲線(xiàn)y=y(x)上一點(diǎn),設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,1+)．

又因?yàn)?y'=(1+)'=2x5,則P點(diǎn)處的法線(xiàn)方程為

令X=0,得法線(xiàn)在Y軸上的截距,

令,得駐點(diǎn)x=1,

當(dāng)0＜x＜1時(shí),＜0,當(dāng)x＞1時(shí),＞0,

則x=1為極小值點(diǎn),也是最小值點(diǎn),此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,)．15.參考答案：B[解析]故①收斂；

故②發(fā)散。

故選B。16.參考答案：解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為

則A的特征值為1+(n-1)b和1-b(n-1重)。

①當(dāng)b=0時(shí)，A的特征值是1(n重)，任意n維非零列向量均為A的特征向量。

②當(dāng)b≠0時(shí)，對(duì)方程組{[1+(n-1)]bE-A}x=0的系數(shù)矩陣作初等行變換得

解得上述方程組的基礎(chǔ)解系為ξ1=(1，1，1，…，1)T。所以A的屬于λ=1+(n-1)b的全部特征向量為

kξ1=k(1，1，1，…，1)T，k≠0。

對(duì)方程組[(1-b)E-A]x=0的系數(shù)矩陣作初等行變換得

解得上述方程組的基礎(chǔ)解系為

ξ2=(1，-1，0，…，0)T，ξ3=(1，0，-1，…，0)T，…，ξn=(1，0，0，…，-1)T，

所以A的屬于λ=1-b的全部特征向量為

k2ξ2+k3ξ3+…+knξn，其中k2，k3，…，kn是不全為零的常數(shù)。17.參考答案：[解]對(duì)于實(shí)二次型f=xTAx，存在正交變換x=Qy，使得：

f=λ1y12+λ2y22+…+λnyn2．

其中，λ1，λ2，…，λn為A的全部特征值．不妨假定：λ1≤λ2≤…≤λn

則λ1xTx=λ1yTQTQy=λ1yTy，

λ2xTx=λ2yTQTQy=λ2yTy，

依此類(lèi)推：

λnxTx=λnyTQTQy=λnyTy，

于是，

又λ1yTy=λ1y12+λ1y22+…+λ1yn2，

λnyTy=λny12+λny22+…+λnyn2，

且λ1≤λ2≤…≤λn．

所以λ1yTy≤xTAx=λ1y12+λ2y22+…+λn2yn2≤λnyTy，

所以λ1xTx≤xTAx≤λnxTx．

當(dāng)，即當(dāng)xTx=1時(shí)，λ1≤xTAx≤λn

由λnxTx=λnyTQTQy=λnyTy知，當(dāng)yTy=1時(shí)，xTx=1．取y=(0，0，…，1)T時(shí)，相應(yīng)的x有xTAx=λ1y12+λ2y22+…+λnyn2=λn．

所以f在條件下的最大值恰為矩陣A的最大特征值．18.參考答案：[證]令F(x)=xe-xf(x)，則由中值定理得

故在上，對(duì)F(x)運(yùn)用羅爾定理，可得存在使f'(ξ)=(1-ξ-1)f(ξ)．19.參考答案：[解析]設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則切線(xiàn)MA：Y-y=y'(X-x)，令X=0，則Y=y-y'x，故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，y-y'x)．

由|MA|=|OA|得

即

這是一階線(xiàn)性非齊次方程，解得

因?yàn)榍€(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，1)，所以C=2．

再由曲線(xiàn)在第一象限內(nèi)，得曲線(xiàn)方程為20.參考答案：A21.參考答案：解：

22.參考答案：1；23.參考答案：B例如α1=(1，0，0)T，α2=(0，1，0)T，α3=(0，2，0)T，α4=(0，0，1)T，可知(B)不正確．應(yīng)選(B)．

關(guān)于(A)：如果α1，α2，α3線(xiàn)性無(wú)關(guān)，又因α1，α2，α3，α4是4個(gè)3維向量，它們必線(xiàn)性相關(guān)，而知α4必可由α1，α2，α3線(xiàn)性表出．

關(guān)于(C)：由已知條件，有

(Ⅰ)r(α1，α2)≠r(α1，α2，α3)，

(Ⅱ)r(α2，α3)≠r(α2，α3，α4)．

若r(α2，α3)=1，則必有r(α1，α2)=r(α1，α2，α3)，與條件(Ⅰ)矛盾．故必有r(α2，α3)=2．那么由(Ⅱ)知r(α2，α3，α4)=3，從而r(α1，α2，α3，α4)=3．因此α1可以由α2，α3，α4線(xiàn)性表出．

關(guān)于(D)：經(jīng)初等變換有

(α1，α1+α2，α2+α3)→(α1，α2，α2+α3)→(α1，α2，α3)，

(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)→(α4，α1，α2，α3)→(α1，α2，α3，α4)，

從而

r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，α4)．

因而α4可以由α1，α2，α3線(xiàn)性表出．24.參考答案：解：運(yùn)用變量替換，令，得

由分部積分得

其中，C是任意常數(shù)

于是，C是任意常數(shù)。

根據(jù)下圖所示三角形示意圖，作變量還原得

，C是任意常數(shù)。

[考點(diǎn)]換元法、分部積分法在不定積分求解中的應(yīng)用。25.參考答案：26.參考答案：27.參考答案：C[考點(diǎn)]原函數(shù)的存在條件

[解析]因F(x)是f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，故F'(x)=f(x)，

因此F(x)在區(qū)間[0，1]內(nèi)連續(xù)，于是F(x)在區(qū)間[0，1]內(nèi)存在原函數(shù)，

因此F(x)+f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)存在原函數(shù)，選(C)．28.參考答案：1[解析]根據(jù)題設(shè)條件，得

A(α1，α2)=(Aα1，Aα2)=(0，2α1+α2)=．

記P=(α1，α2)，因α1，α2線(xiàn)性無(wú)關(guān)，故P=(α1，α2)是可逆矩陣，因此，從而．記，則A與B相似，從而有相同的特征值，因?yàn)?/p>

，所以λ=0，λ=1．故A的非零特征值為1．29.參考答案：D30.參考答案：D[解析]由題設(shè)條件可知，矩陣P1，P2正是和題中所給的初等變換對(duì)應(yīng)的初等矩陣，根據(jù)初等矩陣的性質(zhì)，有B=AP1和E=P2B，從而E=P2(AP1)，即，因此有A=，故選D。31.參考答案：解

設(shè)D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V，表面積為S，則

32.參考答案：解：令φ(x)=max{x3，x2，1}，則

設(shè)F(x)為φ(x)的一個(gè)原函數(shù)，則有

其中C1，C2，C3為待定常數(shù)．

因?yàn)镕(x)連續(xù)，故

所以

因此

[考點(diǎn)]不定積分、定積分、反常積分33.參考答案：C[解析]

因?yàn)?/p>

又

所以選C．

對(duì)sin3x2用泰勒公式．由

令t=3x2得

于是

34.參考答案：D[解析]因?yàn)?/p>

因此n=4.35.參考答案：B[解析]線(xiàn)性無(wú)關(guān)特解y1=excos2x，y2=exsin2x與y3=e-x對(duì)應(yīng)于特征根λ1=1+2i，λ2=1-2i與λ3=-1，由此可得特征方程是

由此即知以y1=excos2x，y2=exsin2x與y3=e-x為線(xiàn)性無(wú)關(guān)特解的三階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程是y'''-y''+3y'+5y=0．應(yīng)選(B)．36.參考答案：37.參考答案：A[考點(diǎn)]特征值、特征向量及二次型

[解析]二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為，則A的特征值為0，1，4，而|A|=-(a-1)2，所以a=1．應(yīng)選A．38.參考答案：A39.參考答案：40.參考答案：A41.參考答案：[解]將D分成兩部分D1，D2，其中

則42.參考答案：C[解析]x=0，x=±1，x=2是f(x)的間斷點(diǎn)．

由于

故x=0是f(x)的跳躍間斷點(diǎn)．

經(jīng)計(jì)算知，x=1是f(x)的可去間斷點(diǎn)，x=-1和x=2是f(x)的無(wú)窮間斷點(diǎn)．故C正確．43.參考答案：證：由泰勒公式得

兩式相減得f'''(ξ1)+f'''(ξ2)=6.

因?yàn)閒(x)在[-1，1]上三階連續(xù)可導(dǎo)，所以f'''(x)在[ξ1，ξ2]上連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)最值定理，f'''(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f'''(ξ1)+f'''(ξ2)≤2M，即m≤3≤M．