2021年全國(guó)高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（五）（全國(guó)Ⅲ卷）（附答案詳解）

2021年全國(guó)高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（五）（全國(guó)ID卷）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.（2021?全國(guó)?模擬題）已知復(fù)數(shù)z滿足2=戶（1+產(chǎn)。21）,則團(tuán)為（）

A.2B.V2C.1D.|

2.（2021.全國(guó).模擬題）已知集合［/={-2,-1,0,1,2,3,4},

4={—1,0,1）,B={-1,3}.對(duì)應(yīng)的Venn圖如圖所示，。/

則圖中陰影部分表示的集合為（）

A.{-2,0,1,2,3,4}B.{-1,0,1,3}

C.{-2,2,4}D.0

3.（2021?全國(guó)?模擬題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC中，。為8C邊中點(diǎn)，點(diǎn)

E滿足荏=2前，若荏=（2,5），萬？=（1,3），則而=（）

A.（0.-1）B.（1,2）C.（2,|）D.（2,g）

4.（2021?全國(guó)?模擬題）乒乓球男女混合雙打比賽是由比賽雙方在比賽之前分別確定參

賽的兩名隊(duì)員而進(jìn)行的一種比賽，某隊(duì)現(xiàn)有3名男隊(duì)員（含甲），2名女隊(duì)員（含乙），

在甲隊(duì)員確定參加混雙比賽的情況下，乙隊(duì)員也被確定與甲隊(duì)員一同出場(chǎng)的概率為

（）

A.；B.|C.|D.|

5.（2021?全國(guó)?模擬題）定義在R上的圖象不間斷的奇函數(shù)f（x）,滿足以下條件：①當(dāng)

x6（0,1）時(shí),/'（X）＜0,當(dāng)x6（1,2）時(shí),尸（乃＞0；@f（x+4）=f（x）,則當(dāng)xG（4,8）

時(shí)，/。）＞0的解集為（）

A.（3,5）B.（4,6）C.（5,7）D.（6,8）

6.（2021?四川省眉山市?模擬題）古代名著中的造造法式J）集中了當(dāng)時(shí)的建筑設(shè)計(jì)與

施工經(jīng)驗(yàn)，對(duì)后世影響深遠(yuǎn)，右圖為信造法式》中的殿堂大木制作示意圖，其中

某處木件嵌入處部分的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

俯視圖

A.V3+V6B.2A/3+V6C.3V3+V6D.5A/3+V6

7.(2021?全國(guó)?模擬題)已知數(shù)列｛a九｝滿足的=2,a2=3,an-an+1+an+2=0(nG

N*),則%++…+a16=()

A.—4B.—2C.2D.4

8.（2021.全國(guó)?模擬題）已知函數(shù)/㈤=/（3》+以3>0）的最小正周期大于5,且關(guān)

o5

于直線X=W對(duì)稱，則3的值為（）

A.1B.2C.3D.4

9.（202卜全國(guó)?模擬題）已知F為拋物線C：/二八的焦點(diǎn)，過尸的直線交拋物線C于

A、B兩點(diǎn)，準(zhǔn)線/上有點(diǎn)M（—1,1）,44MB=90。，則卜陽=（）

A.2B.V3C.±2D.±V3

10.（2021.全國(guó)?模擬題）如圖，正△ABC的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)。為邊AB

的中點(diǎn)，點(diǎn)尸沿著邊AC,CB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8,記NADP=x.函數(shù)

/（x）=\PB\2-\PA\2,則y=/（x）的圖象大致為（）

第2頁，共22頁

B.

11.（2021?全國(guó)?模擬題）己知雙曲線搐一?=l（a>0）的左、右焦點(diǎn)分別為&,尸2，點(diǎn)尸

在雙曲線的右支上，APFiF?的內(nèi)切圓的圓心為C,無?瓦用=46，則雙曲線的

離心率為（）

A.在B.在C.V3D.V5

22

12.（2021?全國(guó)?模擬題）當(dāng)％G（1,+8）時(shí)，不等式ln（x-1）-2ax4-3b<0（<a,beR,a

0）恒成立，則料最大值為（）

A.-B.2C.：D.2e

e3

二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.（2021?全國(guó)?模擬題）今年第6號(hào)臺(tái)風(fēng)“米克拉”于8月10日正面登陸福建，影響波

及面較大，為做好民眾的安全防護(hù)工作，當(dāng)?shù)卣坝嘘P(guān)部門做了大量的宣傳及預(yù)

防工作，事后某自由媒體從A、B、C三個(gè)社區(qū)按社區(qū)人數(shù)之比4：4：3,采用分層

抽樣的方法抽取八位居民進(jìn)行問卷檢測(cè)，了解其對(duì)突發(fā)事件的防護(hù)等安全知識(shí)的掌

握情況.若4社區(qū)抽取了20位居民，則n的值是.

14.（2021.全國(guó)?模擬題）已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛冊(cè)｝中,。4=8,a6=32,若a,為等差

數(shù)列｛%｝的前兩項(xiàng)，則數(shù)列｛%｝的前20項(xiàng)的和為.

15.（2021?全國(guó)?模擬題）某企業(yè)的A、8、C、。四個(gè)科研小組的一次競(jìng)賽活動(dòng)，分別在

編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地進(jìn)行，為確定各自的實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地，每個(gè)小組長(zhǎng)抽

取一個(gè)場(chǎng)地號(hào)，現(xiàn)他們的回答如下：4組長(zhǎng)說：我們的場(chǎng)地編號(hào)不在頭與尾；B組

長(zhǎng)說：我們場(chǎng)地編號(hào)不在中間；C組長(zhǎng)說：我們組場(chǎng)地不在奇數(shù)號(hào)；。組長(zhǎng)說：我

們組的場(chǎng)地編號(hào)不會(huì)大于2.根據(jù)以上四位組長(zhǎng)的回答，A、B、C、。四個(gè)科研小組

的比賽場(chǎng)地的編號(hào)有種.

16.(2021?全國(guó)?模擬題)如圖所示的三棱錐4一BCO中，AB1

平面BCD,BC=BD=2,BC1BD,BA=CD,P,Q

分別是棱AB與棱CO上的動(dòng)點(diǎn)，且BP=CQ,過點(diǎn)。作

QM//BD,則三棱錐P-BMQ的體積的最大值為.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.(2021.全國(guó)?模擬題)如圖平面四邊形ABCD中,

Z.BAD=60°,BD=V7.cos乙4BD=—.

2

(1)求AB的長(zhǎng)；

(2)若Z84D+4BC。=180。，BC=1,求四邊形A8CD的面積.

18.(2021?全國(guó)?模擬題)如圖所示的多面體A8CQP中，PA=

PB=BC=CA=2,/.APB=60°,平面P4B_L平面ABC,

CQ1平面ABC.

(1)求證：平面4BQ，平面PQC-,

(2)若CQ的長(zhǎng)度為日，求二面角4一PQ-B的余弦值.

第4頁，共22頁

19.（2021?全國(guó)?模擬題）已知橢圓C噂+'=l（a>b>0）的上頂點(diǎn)在圓E；x2-2x+

y2—i=o上，且橢圓的離心率為由.

2

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為凡過尸的直線/交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

當(dāng)A48。的面積為1時(shí)，求直線/的方程.

20.（2021?全國(guó)?模擬題）以下圖表是20個(gè)省會(huì)城市的海拔高度（米）與當(dāng)?shù)厝似骄鶋勖q

）之間的對(duì)應(yīng)圖表:

烏魯木

城市哈爾濱昆明貴陽杭州長(zhǎng)春蘭州銀川西寧沈陽

齊

海拔（

14665418911071723715171112226142

米）

平均

78.2175.879.0177.9680.6275.9676.2576.3875.6280.37

壽命

呼和浩

城市福州鄭西安石家莊太原合肥長(zhǎng)沙拉薩成都

特

海拔（

1063881093978278624813958506

米）

平均

76.4479.0379.379.177.4678.9479.0679.4670.3280.54

壽命

(1)填充下表，并計(jì)算有沒有95%的把握認(rèn)為“平均壽命超過78.5歲與海拔低于500

米有關(guān)”；

平均壽命超過78.5平均壽命低于78.5合計(jì)

海拔超過500米的省會(huì)個(gè)數(shù)

海拔低于500米的省會(huì)個(gè)數(shù)

合計(jì)

(2)現(xiàn)在要從海拔高度低于500米的城市中隨機(jī)抽取三個(gè)城市進(jìn)行老齡化問題的研

究.

①若X表示“抽到的平均壽命超過78.5歲的城市的個(gè)數(shù)”，寫出X的分布列，并

求E(X)；

②某退休職工準(zhǔn)備從鄭州、長(zhǎng)沙、沈陽三地選擇一個(gè)城市養(yǎng)老，選擇的依據(jù)是：

綜合考慮當(dāng)?shù)仄骄鶋勖头績(jī)r(jià)均值的因素.其中S=叫做宜居指數(shù)

為當(dāng)?shù)仄骄鶋勖?，宜居指數(shù)越大，該城市越宜居.已知鄭州、長(zhǎng)沙、沈陽三市的房

價(jià)均值分別為12160、8760、9698(單位：元/平方米)，則應(yīng)該選擇哪個(gè)城市最佳？

n(ad-bc)2

參考公式：K2=n=a+b+c+d.

(a+d)(c+d)(a+c)(d+d)'

P(K2>/c0)0.100.050.0250.0100.0050.010

ko2.7063.8415.0246.6357.8796.635

21.(2021?全國(guó)?模擬題)已知函數(shù)/(x)=寧處(aeR).

(1)當(dāng)a=l時(shí)，證明：函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)存在唯一的零點(diǎn);

(2)若不等式/Q)>M+axjr+i恒成立,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

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22.(2021?全國(guó)?模擬題)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓01的參數(shù)方程為二:i^ssaQ為參

數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓。2的極坐標(biāo)方程

為p=2sme.

(1)將圓01的參數(shù)方程化為普通方程，圓。2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)圓。1與x軸的正半軸的交點(diǎn)為4,點(diǎn)P在圓。1與圓。2公共弦所在的直線上，

求|P*+IP0J的最小值.

23.(2021.全國(guó)?模擬題)已知函數(shù)/(x)=\x-2\+\x-a\.

(1)若不等式f(x)<x-1的解集為[2,4],求實(shí)數(shù)a的值;

(2)若a>2,的最小值為1,且m>0,n>0,'+；=a,求2nl+n的最小值.

答案和解析

1.【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

【解析】解：1?,i2=-1,i4=1,i2021=(i4)505-i=i,i3=—i,

???z=i3(l+i2021)=-i(l+i)=1-i,

則|z|=Vl2+(-l)2=V2,

故選：B.

根據(jù)產(chǎn)=-1,i4=l,可得產(chǎn)021,13,化簡(jiǎn)z=i3(l+i2021),即可得出|z|.

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及其周期性、模的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】Ve〃〃圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算

【解析】解：由韋恩圖可知圖中陰影部分表示的集合為：

QG4UB),

?.?集合U=1,2,3,4},A=[-1,0,1),B={-1,3},

：.A<JB={-1,0,1,3},

???U8)={-2,2,4).

故選：C.

由韋恩圖可知圖中陰影部分表示的集合為QQ4UB),利用并集、補(bǔ)集的定義能求出結(jié)

果.

本題考查集合的運(yùn)算，考查并集、補(bǔ)集的定義、韋恩圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，

是基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的基本定理及其應(yīng)用

【解析】解：因?yàn)?。為BC邊中點(diǎn)，所以而=*何+而)=*3,8)=(|,4),

又；AE=2ED>???AE=^AD,

二荏=(琮)，

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???CF=C^+^4E=(-1,-3)+(1,|)=(0,-1),

故選：4.

由因?yàn)?。為BC邊中點(diǎn)可得而="荏+m)，進(jìn)而求出血的坐標(biāo)，結(jié)合已知條件可知

而=|而，從而求出荏的坐標(biāo)，再利用三角形法則即可求出方的坐標(biāo).

本題主要考查了平面向量的基本定理，考查了向量的坐標(biāo)表示，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】古典概型的計(jì)算與應(yīng)用

【解析】解法一：甲確定參加的情況下，

女隊(duì)員有兩種可能，

二乙也確定與甲隊(duì)員一同出場(chǎng)的概率為宏

故選：C.

解法二：由題意得，從3名男隊(duì)員、2名女隊(duì)員中選出男女各一人參加混雙比賽，

設(shè)男隊(duì)員甲被選中為事件A,其概率為P(A)=3=3

設(shè)女隊(duì)員乙也被選中為事件8,其概率PQ4B)=血=',

二在甲隊(duì)員確定參加混雙比賽的情況下，乙隊(duì)員也被確定與甲隊(duì)員一同出場(chǎng)的概率為:

故選：C.

法一：甲確定參加的情況下，女隊(duì)員有兩種可能，由此能求出乙也確定與甲隊(duì)員一同出

場(chǎng)的概率.

法二：從3名男隊(duì)員、2名女隊(duì)員中選出男女各一人參加混雙比賽，設(shè)男隊(duì)員甲被選中

為事件A,其概率為P(A)=3=；,設(shè)女隊(duì)員乙也被選中為事件8,其概率P(AB)=

金=3利用條件概率計(jì)算公式能求出在甲隊(duì)員確定參加混雙比賽的情況下，乙隊(duì)員

也被確定與甲隊(duì)員一同出場(chǎng)的概率.

本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合、條件概率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解

能力等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性

【解析】解：定義在R上的圖象不間斷的奇

函數(shù)/'(%),/(o)=o,太工弋

因?yàn)楫?dāng)Xe(0,1)時(shí)，f'(x)<0,即函數(shù)在

(0,1)上單調(diào)遞減，當(dāng)％6(1,2)時(shí)，f(x)>0,函數(shù)在(1,2)上單調(diào)遞增，

又/(尤+4)=/(#),

所以/(-2)=-〃2)=/(2),

所以/(-2)=/(2)=0,

所以當(dāng)x6(0,2)時(shí)，/(%)<0,當(dāng)％6(—2,0)時(shí)，/(x)>0,且函數(shù)的周期7=4,

則當(dāng)x6(4,8)時(shí)，“X)>0的解集為(6,8).

故選：D.

利用函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性.周期性即可直接求解.

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性，單調(diào)性，奇偶性及周期性在求解不等式中的應(yīng)用，屬于

中檔題.

6.【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積、表面積和體積、空間幾何體的三視圖

【解析】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為底面邊長(zhǎng)為2和8的長(zhǎng)

方形，側(cè)面S4D1底面ABCO的四棱錐體；

如圖所示：

且滿足：CD1SD,AB1SA,

所以S表=2x1x2xV3+1x2xV3+2xV3+1x2xV6=5V3+V6,

故選：D.

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進(jìn)一步求出幾何體的表面積.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的表面積公式的應(yīng)

用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

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7.【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列求和方法

【解析】解：=2,a2=3,an—an+1+an+2—0(nGN"),

aj子導(dǎo)CZ3=a2a[=],CI4=@3-a2=13=2,

a5=a4—a3=—2—1=—3,a6=a5—a4=—3+2=-1,

a7=a6—a5=-1+3=2,.

可得數(shù)列｛aj是周期為6的數(shù)列，

則+0.2+…+a16=2(a1+。2+,??+&6)++。2+。3+。4)=2(2+3+1—2—

3-1)+(2+3+1-2)=0+4=4.

故選：D.

計(jì)算數(shù)列的前7項(xiàng)，可得數(shù)列｛aj是周期為6的數(shù)列，計(jì)算可得所求和.

本題考查數(shù)列的求和，求得數(shù)列的周期是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

8.【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【解析】解：由題意函數(shù)/(x)=sin@尤+勺的周期為丁=里則生所以3<6,

o6033

又x=W為函數(shù)的一條對(duì)稱軸，所以g3+m=m+/OT,keZ,

解得3=3+9k,k&Z,令k=0,得3=3,

故選：C.

根據(jù)周期公式求出3的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱軸的性質(zhì)求出3滿足的關(guān)系式，進(jìn)

而可以求解.

本題考查了正弦函數(shù)的周期性，對(duì)稱性，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】拋物線的性質(zhì)及幾何意義

【解析】解:作A41，于1.1于反，AB中點(diǎn)為。乙4MB=

90°,

可知IQM|=/4B|+故MQ為梯形的中位線,

yA+yB=2yM=2,且直線AB的斜率存在，

設(shè)A8：y=k(x-1),可得x=/y+l,代入/=4%,

可得y2=%y+l),即y2—》_4=0,

所以加+丫8=3=2,解得k=2,

故選：A.

作44i_U于4,BBr1l^BltAB中點(diǎn)為Q,乙1MB=90。，設(shè)A&y=/c(x-1),可

得x=/+l,代入y2=4x,利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化求解即可.

本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是中檔題.

10.【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)圖象的作法

【解析】解：根據(jù)題意,/(x)=\PB\2-\PA\2,^ADP=x.

在區(qū)間(0,今上，尸在邊AC上，\PB\>\PA\,則/(x)>0,排除C；

在區(qū)間G，兀)上，P在邊8C上，\PB\<\PA\,則/(x)<0,排除8,

又由當(dāng)今+%2=乃時(shí)，有/(%)=-/(犯)，/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(；,0)對(duì)稱，排除￡>,

故選：A.

根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分析區(qū)間(0片)和G㈤上/Q)的符號(hào)，再分析f(x)的對(duì)稱性，排

除BCD,即可得答案.

本題考查函數(shù)的圖象分析，注意利用解析式分析函數(shù)值的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì)及幾何意義

【解析】解：如圖，

設(shè)圓C與x軸切于點(diǎn)。（曲,0），則|&D|-EDI=IPFJI-\PF2\=2a,

二（殉+c）—（c—殉）=2a,即&=a,則。（a,0）,

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XvOC-=\OC\\F\F^\cosZ.COD=\OD\-\F^\=2ac，

且小.福=4近,

2ac=4小,得ac=2位，

又rc2-a2=3,聯(lián)立解得a=2,c=V7,

??.雙曲線的離心率為e=￡=叱.

a2

故選：B.

由題意畫出圖形，求得圓C與x軸切于雙曲線的右頂點(diǎn)，由已知向量等式結(jié)合數(shù)量積的

幾何意義可得ac=2夕，再由c2-a2=3,聯(lián)立解得mc,則雙曲線的離心率可求.

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查雙曲線定義及圓的切線性質(zhì)的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能

力，是中檔題.

12.【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】不等式的恒成立問題

【解析】解：設(shè)/'(%)=ln(x-1)-2ax+3b,

則［Q)fa，

當(dāng)a<0時(shí)，因?yàn)閄>1,

所以((x)>0,所以“X)在(1,+8)遞增；

YT+8時(shí)，/(X)f+8.所以不符題意；

當(dāng)a>0時(shí)，令/'(x)=0,可得x=l+5,

當(dāng)xe(l,l+?f(x)>0,/(x)遞增；

當(dāng)xe(l+,+8)時(shí),<(x)<0,/Q)遞減.

所以，(x)的最大值為/(I+或)=一伍2a-2a-l+3b,

所以由題意可得—IYI2.CC—2a—14-3bW0?即3bWln2cz+2a+1?

1,1\icuu［、［匕..1712a+2a+1

因?yàn)閍>0,所以

'八/、ln2a+2a+l,、八、

設(shè)9(a)=—————(a>0),

1(^+2')a-(ln2a+2a+l)>_22a

則"(a)=71

3

當(dāng)QW(oj)時(shí)，"(a)>0,W(Q)遞增,

當(dāng)?！辍?+8)時(shí)，(p^a)<0,3(a)遞減,

所以W(a)的最大值為=p

所以2的最大值為點(diǎn)

a3

故選：C.

設(shè)/(X)=ln(x-1)-2ax+3b,求得導(dǎo)數(shù)，推得a>0,求得/'(x)的最大值，即有3bW

ln2a+2a+l,進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于a的函數(shù)，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性和求得最大值，可得所

求最大值.

本題考查函數(shù)恒成立問題解法，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性和最值，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)

算能力、推理能力，屬于中檔題.

13.【答案】55

【知識(shí)點(diǎn)】分層隨機(jī)抽樣

【解析】解：根據(jù)分層抽樣方法原理知，

20_4

n-4+4+3’

解得n=55,

所以〃的值是55.

故答案為：55.

根據(jù)分層抽樣方法原理列方程求出n的值.

本題考查了分層抽樣方法原理應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

14.【答案】1180

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的求和、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

【解析】解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛an｝的公比為“，q>0,

由=8,a6=32,可得aiq3=8,a"=32,

解得的=1.q=2,

則=2,

設(shè)等差數(shù)列｛b｝的公差為d,可得d=a4-a2=6,

瓦=2,

所以數(shù)列｛bj的前20項(xiàng)的和為20x2+|x20xl9x6=1180.

故答案為：1180.

設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,q>0,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解得首項(xiàng)和公比，求得

等差數(shù)列｛勾｝的公差和首項(xiàng)，由等差數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求和.

第14頁，共22頁

本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】2

【知識(shí)點(diǎn)】排列、組合的綜合應(yīng)用

【解析】解：根據(jù)題意，根據(jù)A、B、C、。四個(gè)組的組長(zhǎng)的對(duì)話，可得如下表格:

1234

AXX

BXX

CXX

DXX

則A組一定在編號(hào)為3的場(chǎng)地，8組只能在編號(hào)為1或4的場(chǎng)地，

若8在編號(hào)為1的場(chǎng)地，。必在編號(hào)為2的場(chǎng)地，C組在編號(hào)為4的場(chǎng)地，有1種情況，

若B在編號(hào)為4的場(chǎng)地，C組在編號(hào)為2的場(chǎng)地，力必在編號(hào)為1的場(chǎng)地，有I種情況，

故四個(gè)科研小組的比賽場(chǎng)地的編號(hào)有2種情況，

故答案為：2.

根據(jù)題意，由4個(gè)組長(zhǎng)的對(duì)話列出表格，分析可得A組一定在編號(hào)為3的場(chǎng)地，B組只

能在編號(hào)為1或4的場(chǎng)地，由此分情況討論，即可得答案.

本題考查合情推理的應(yīng)用，注意認(rèn)真審題，理解題意，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】"

81

【知識(shí)點(diǎn)】圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積、表面積和體積

【解析】解：由題意可知卜BA=CD=2>/2，設(shè)BP=x(0cx<2夜)，

則CQ=%,.?.CM=MQ從而BM=2-當(dāng)x,

1111V2V2

?1?VP-BMQ'SABMQ-BP=-MQ-BP=-(2--%)?—x-x

=-^(x3-2V2x2)(0<x<2V2),

3

令VQ)=~^(x-2缶2)(o<x<2V2),

KX%)=-^(3x-4V2x),令7(x)=0,得％=手，

當(dāng)xe(0,竽)時(shí),r(x)>0,當(dāng)(竽,2&)時(shí),V'(x)<0,

???當(dāng)X=華時(shí)，V（久）max=_*X［（竽）3—2aX（乎聲=警.

故答案為：竺它.

81

由已知求得BA、C￡>的值，設(shè)BP=x（0<x<2V^），則CQ=x,可得8〃=2—￥%,

由棱錐體積公式寫出三棱錐P-BMQ的體積，再由導(dǎo)數(shù)求最值.

本題考查棱錐體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，是

中檔題.

17.【答案】解：（1）因?yàn)閏osZTlBD=手可得乙4BD=45。,

又4B4D=60°,

所以N4D8=75°,

所以sin/ADB=sin750=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=

由.---A-B--=----B-D--,可得48=B?si山DH__屈+3g

sinz.ADBsinz.BADsinZ-BAD叵6

2

(2)由48/1D+乙BCD=180°,可知4BCD=120°,

設(shè)CD=x,所以在△8C。中，由余弦定理可得BD?=BC2+CD2-2BC-CD-cos乙BCD,

即7=1+%2一2x.cosl20。，化簡(jiǎn)可得/+乂一6=0,解得x=2,或一3(舍去)，

所以SABCD=\BC-CD-sinl20°=|xlx2xy=y,S^ABD=\AB-BD-sin^ABD=

為運(yùn)電HxV7x^=①i,

26212

所以四邊形ABCD的面積S=SABCD+S-BD=4+喑1=喑

【知識(shí)點(diǎn)】正余弦定理在解三角形計(jì)算中的綜合應(yīng)用、余弦定理、正弦定理

【解析】（1）由已知可求得乙4BD,利用三角形內(nèi)角和定理可求ZADB,利用兩角和的正

弦公式可求sin乙4OB的值，進(jìn)而根據(jù)正弦定理可求AB的值.

（2）由已知可求4BCD=120。，設(shè)CD=x,在△BCD中由余弦定理可得/+工-6=0,

解得x的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦公式，正弦定理，余弦定理，三角形

的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和方程思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

18.【答案】（1）證明：取AB中點(diǎn)E,連接尸E、CE,

因?yàn)镻4=PB,BC=CA,所以PE12B,CE1AB,

又因?yàn)镻EnCE=E,所以4B1平面PEC,

又因?yàn)镻Cu平面PEC,所以AB1PC,

第16頁，共22頁

又因?yàn)镃Q1平面ABC,

所以CQ_L4B,

又因?yàn)镃QCPC=C,所以481平面PQC,

又因?yàn)锳Bu平面ABQ,所以平面ABQ-L平面PQC.

(2)解：以E為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,如圖所示:

由題意知，F(xiàn)(0,0,0),8(1,0,0),C(0,V3,0).P(0,0,百)，Q(0,遮,苧),

則的=(-1,遮,？)，BP=(-1,0,V3).

設(shè)平面BPQ的一個(gè)法向量為沅=(x,y,z),

則沅?麗=沅?前=0.

即卜+加+^z=0,

-X+V3z=0

令z=b,則%=3,y=乎,所以沆=(3,看代)，

由題意知該幾何體關(guān)于平面PECQ對(duì)稱，

由(1)知平面PECQ的一個(gè)法向量為元=(1,0,0),

—?_yn-n_3+0+0_2V51

cosV記，=麗麗=岸荔=干，

N4

設(shè)二面角A-PQ-8的大小為仇

則cos。=2cos2<m,n>-1=2x(亞至尸-1=—,

v17717

即二面角4-PQ-B的余弦值為3

【知識(shí)點(diǎn)】利用空間向量求線線、線面和面面的夾角、面面垂直的判定

【解析】(1)取A8中點(diǎn)E,連接PE、CE,證明4B_L平面PEC,得出力B1PC,再證明

CQ1AB,得出481_平面尸。0平面4BQ_L平面PQC.

(2)以E為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,利用坐標(biāo)表示向量，求出平面BP。與平

面PECQ所成的角，

再利用二倍角公式求出二面角A-PQ-B的余弦值.

本題考查了空間中的垂直關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力與空間想象能力，是中

檔題.

19.【答案】解：⑴依題意橢圓C：捺+3=l(a>6>0)的上頂點(diǎn)為

將B(0,b)坐標(biāo)代入圓氏x2-2x+y2-1=0,得b=l,

即4-C2=1①，

又￡=更②，

a2?

由①②得：a=2,c=V3,

所以橢圓C的方程為：丘+y2=i.

4J

(2)由(1)可知橢圓C：9+y2=1的右焦點(diǎn)為F(V5,0),

①當(dāng)直線的斜率為。時(shí)，不適合題意，

②當(dāng)直線/的斜率不為0時(shí).，設(shè)直線/：X=my+V3.4(匕,%)，B(x2,y2),

x=my+V3

聯(lián)立方程/，消去X得：(加2+4)y2+2遍^^—1=0,

匕+y7=1

???△=12m2+4(m2+4)>0,■■meR,

2V3m…1

???，1+%=一訴，％曠2=一訴，

?1?SMBO=l\OF\-\y1-y2\='Ja+及尸一4y1?y?=苧儒東三2=

2V3-Vm2+1r

--m-2;-+-4-=1，

解得：m—+V2>

此時(shí)直線/方程為：x=y/2y+百或％=—y/2y+V3.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程

【解析】(1)把橢圓C的上頂點(diǎn)坐標(biāo)代入圓E方程，求出6的值，再結(jié)合離心率和a2=

川+?2求出a,c的值，進(jìn)而得到橢圓C的方程.

(2)由題意可知直線/的斜率不為0,設(shè)直線/：x=my+V3.與橢圓方程聯(lián)立，利用韋

達(dá)定理和三角形面積公式表達(dá)出△48。的面積，進(jìn)而求出〃?的值，頂點(diǎn)直線/的方程.

本題主要考查了橢圓的方程，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了學(xué)生的計(jì)算能力,

是基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：由已知數(shù)據(jù)可得2X2列聯(lián)表如下：

第18頁，共22頁

平均壽命超過78.5平均壽命低于78.5合計(jì)

海拔超過500米的省會(huì)個(gè)數(shù)3710

海拔低于500米的省會(huì)個(gè)數(shù)7310

合計(jì)101020

n(ad-bc)2_20(9-49)2

3,2<3.841,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)-10x10x10x10

故沒有95%的把握認(rèn)為“平均壽命超過78.5歲與海拔低于500米有關(guān)”.

（2）①海拔低于500米的城市由10個(gè)，平均壽命超過78.5歲的有7個(gè),

X所有可能取值為0,1,2,3,

故P（x=o）=等=強(qiáng)，

P（X=1—，

P（X=2）=管*

P（X=3）=*=g

所以X的分布列為：

X0123

P17217

120404024

17717

E(X)=0x-+lx-+2x-+3x-=2.1.

(79.3-78.5)x10000

②S鄭州=?0.658,

121600

(_(79.46—78.5)x10000

x1.096,

長(zhǎng)沙—87600

(80.37-78.5)x10000

沈陽=-1.928,

S9698

比較可得：應(yīng)選擇沈陽.

【知識(shí)點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差、獨(dú)立性檢驗(yàn)、離散型隨機(jī)變量及其分布列

【解析】（1）根據(jù)己知求出2x2列聯(lián)表，然后代入公式即可求解；

（2）①求出X的可能取值，然后求出對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而可以求解；

②分別求出鄭州、長(zhǎng)沙、沈陽三地的宜居指數(shù)，比較大小即可結(jié)論.

本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，考查運(yùn)算求解能力,

屬于中檔題.

21.【答案】(1)證明：當(dāng)a=l時(shí):/Q)=T竺，

所以「(%)=巴宇上，

記g(%)=2x+^—x2-lnx(x>0),

所以或乃=

2-A_2x-i=

又記t(x)=-2x3+2x2—x—1,

所以t(x)=-6x2+4x—1=—6(x-|)2-|<0,

所以1(尤)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以t(x)<t(0)=一1<0,

所以g'(x)<0,

所以g(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，

且g(2)=1-Zn2=Ve-/n2<0,g(|)=^-ln|>0,

由零點(diǎn)存在性定理可得存在唯一Xo€(|,2),使得g(x0)=0,即/(沏)=0,

即函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)存在唯一的零點(diǎn).

(2)解：由不等式/(乃>'士恒成立,

化簡(jiǎn)可得Q伍％-Q久+：+x-lN。恒成立，

令(p(x)=alnx—ax+^4-x—1,%>0,

則“(%)=g_