用自然坐標(biāo)刻畫(huà)轉(zhuǎn)動(dòng)洛侖茲變換

用自然坐標(biāo)刻畫(huà)轉(zhuǎn)動(dòng)洛侖茲變換

愛(ài)因斯坦提出的狹義討論是關(guān)于兩性系統(tǒng)之間的討論效應(yīng)，并從羅倫茨坦的變換中建立了兩性系統(tǒng)之間的關(guān)系。當(dāng)兩個(gè)參考系之間存在加速度時(shí),愛(ài)因斯坦提出了廣義相對(duì)論來(lái)討論此時(shí)的相對(duì)論效應(yīng)。但是愛(ài)因斯坦未能建立起聯(lián)系加速運(yùn)動(dòng)參考系和慣性系的坐標(biāo)變換。然而在1961年Mφl(shuí)ler得出了加速系和慣性系之間的一組坐標(biāo)變換(Mφl(shuí)ler變換),使加速度g恒定的參考系與慣性系聯(lián)系在一起。當(dāng)然也可把Mφl(shuí)ler變換推廣到加速度g是時(shí)間函數(shù)的參考系與慣性系之間的變換關(guān)系。在自然界中還存在著一類(lèi)相對(duì)運(yùn)動(dòng)是屬于廣義相對(duì)論的范疇,就是當(dāng)一參考系相對(duì)于慣性系作勻速轉(zhuǎn)動(dòng),而轉(zhuǎn)動(dòng)的參考系是非慣性參考系。其實(shí)自然界中有許多運(yùn)動(dòng),大到天體,小到基本粒子的很多運(yùn)動(dòng)都是屬于這一種情況。本文對(duì)這轉(zhuǎn)動(dòng)參考系進(jìn)行分析和討論,引入轉(zhuǎn)動(dòng)的洛侖茲變換。我們知道任何復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)都可以化成直線運(yùn)動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的迭加,結(jié)合洛侖茲變換或Mφl(shuí)ler變換和轉(zhuǎn)動(dòng)洛侖茲變換,從原則上講可以解決廣義相對(duì)論中的很多問(wèn)題。下述先介紹轉(zhuǎn)動(dòng)洛侖茲變換,接著再引入廣義洛侖茲變換,然后討論由轉(zhuǎn)動(dòng)參考系引出的一些問(wèn)題。1空間位置的描述設(shè)參考系Σ′相對(duì)于慣性系Σ作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),如果用直角坐標(biāo)來(lái)描述空間位置,那么這兩參考系坐標(biāo)之間的變換關(guān)系不適合用洛侖茲變換,用球坐標(biāo)或柱坐標(biāo)來(lái)描述也不行,為此引入自然坐標(biāo)系來(lái)描述空間位置。1.1系中p點(diǎn)的位置如圖1所示,Σ′系相對(duì)Σ系以ω的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)軸是O1O2,Σ′中任一點(diǎn)P隨Σ′系轉(zhuǎn)動(dòng)在Σ系中將是一圓周軌跡。過(guò)P點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)平面必與P點(diǎn)的軌跡圓平面重合,此平面與z軸的交點(diǎn)為O2,O2到O1距離即為P點(diǎn)z和z′(坐標(biāo)的值。而軌跡圓半徑在Σ系中用ρ表示,在Σ′系中用ρ′表示,即是P點(diǎn)在兩參考系中的矢徑坐標(biāo)。在Σ系中軌跡圓任選一點(diǎn)O作為原點(diǎn),O點(diǎn)到P點(diǎn)的弧長(zhǎng)為s,設(shè)在t=t′=0時(shí),Σ′系中原點(diǎn)O′與O點(diǎn)重合,t時(shí)間后,O′轉(zhuǎn)過(guò)ρωt的弧長(zhǎng),由O′到P點(diǎn)的軌跡弧長(zhǎng)記為s′,則s和s′分別表示Σ和Σ′中P點(diǎn)弧長(zhǎng)坐標(biāo)。各量的方向由圖1規(guī)定。P點(diǎn)的位置,Σ系中用P(s,ρ,z)表示,在Σ′系中用P(s′,ρ′,z′)表示。顯然各坐標(biāo)分量是相互正交的。1.2回轉(zhuǎn)洛侖茲變換將P點(diǎn)的軌跡圓以平面表示,如圖2所示。Σ系中取一時(shí)間元dt,則ds=ρωdt也是一無(wú)窮小量,速度大小為ρω,方向?yàn)檐壽E圓的切向。在此dt的時(shí)間中Σ′系和Σ系可視為作相對(duì)勻速(ρω)直線運(yùn)動(dòng),即轉(zhuǎn)化為瞬時(shí)慣性系。我們可直接用洛侖茲變換給出結(jié)果,有[dt′ds′dρ′dz′]=[γ-γρωc200-γρωγ0000100001][dtdsdρdz]??????dt′ds′dρ′dz′??????=??????γ?γρω00?γρωc2γ0000100001????????????dtdsdρdz??????(1)其中γ=1√1-ρ2ω2c2(2)同樣可得逆變換:[dtdsdρdz]=[γγρωc200γρωγ0000100001][dt′ds′dρ′dz′](3)對(duì)(1)式積分后可得:[t′s′ρ′z′]=[γ-γρωc200-γρωγ0000100001][tsρz](4)同理也可得出式(3)的積分式。以上式子給出了Σ′系相對(duì)于Σ系作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),任一點(diǎn)P在兩參考系中的時(shí)空坐標(biāo)(s′,ρ′,z′,t′)和(s,ρ,z,t)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。由于以上式子與狹義相對(duì)論中的洛侖茲變換很相似,可稱(chēng)為轉(zhuǎn)動(dòng)洛侖茲變換。式(1)、(3)為微分形式,式(4)為積分形式。這轉(zhuǎn)動(dòng)洛侖茲變換是符合變換對(duì)構(gòu)成規(guī)則,并滿(mǎn)足間隔不變性。但需要指出當(dāng)所選二點(diǎn)間隔較大且不在同一軌跡圓上,間隔不變只能在略去高價(jià)小量的條件下才成立,即積分形式的轉(zhuǎn)動(dòng)洛侖茲變換不能?chē)?yán)格保持間隔不變。所以,在下面討論中采用微分形式。以上的轉(zhuǎn)動(dòng)洛侖茲變換還有一個(gè)問(wèn)題,即在ρc=c/ω處線速度達(dá)到光速,我們把ρ=ρc點(diǎn)的集合稱(chēng)為臨界圓,矢徑ρ>ρc的空間稱(chēng)為臨界圓外域,ρ<ρc則稱(chēng)為臨界圓內(nèi)域。顯然在臨界圓外域上,線速度超過(guò)光速,因而得到的轉(zhuǎn)動(dòng)洛侖茲變換需要修正才能適用于臨界圓外域。2/c上的星子/太陽(yáng)?/以光照傳播的星兩參考系相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),在臨界圓外的物理現(xiàn)象實(shí)在是太多了,如:(1)地球自轉(zhuǎn)的角速度ω=7.3×10-5rad/s,那么ρc=4.1×109km,這距離光傳播僅需時(shí)間t=3.8h。在宇宙中除太陽(yáng)外,其它恒星到地球的距離都是以光年計(jì),因此在ρ>ρc上的恒星太多了。(2)組成質(zhì)子的夸克(u或d夸克)自旋角速度約為ω=3×1023rad/s,則ρ=10-15m=1fm,這只有一個(gè)質(zhì)子大小的尺寸,也就是說(shuō)質(zhì)子外的任何粒子相對(duì)質(zhì)子內(nèi)一個(gè)夸克的自旋來(lái)說(shuō),都處在臨界圓外。以上說(shuō)明不論是宏觀物體,還是微觀粒子都存在這臨界圓,下面我們就討論臨界圓外的轉(zhuǎn)動(dòng)洛侖茲變換的問(wèn)題。2.1洛侖茲變換的常見(jiàn)洛侖茲變換我們先給出一個(gè)廣義洛侖茲變換,可導(dǎo)出υ>c條件下兩慣性系作相對(duì)勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的洛侖茲變換。{t′=γ(t-αβαcx)x′=γ(x-αβαct)y′=yz′=z(5)其中β=υc(6)γ=1√1-β2α(7)α=(1-β2)/√(1-β2)2(8)當(dāng)υ<c時(shí)為亞光速狀態(tài),從上式可得α=1,β<1轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)洛侖茲變換的形式。而υ>c時(shí)為超光速狀態(tài),β>1,從式(7)、(8)可得α=-1?γ=1√1-β2,由式(5)變換可得[t′x′y′z′]=[γγυ00γc2υγ0000100001][txyz](9)2.2變換矩陣及時(shí)空間隔在自然坐標(biāo)下可直接引用上面的結(jié)果,以υ=ρω?γ=1√1-c2/ρ2ω2代入,可得[dt′ds′dρ′dz′]=[γγρω00γc2ρωγ0000100001][dtdsdρdz](10)其逆變換為[dtdsdρdz]=[γ-γρω00-γc2ρωγ0000100001][dt′ds′dρ′dz′](11)(10)、(11)兩式變換矩陣的乘積為[γγρω00γc2ρωγ0000100001][γ-γρω00-γc2ρωγ0000100001]=[1000010000100001]可見(jiàn)變換矩陣UU-1=I單位矩陣,符合變換對(duì)構(gòu)成規(guī)則。時(shí)空間隔c2dt′2-(ds′2+dρ′2+dz′2)=c2dt2-(ds2+dρ2+dz2)(12)把式(10)、(11)代入(12)成立,即Σ′系中的時(shí)空間隔與Σ系中的時(shí)空間隔相等,滿(mǎn)足間隔不變性,即協(xié)變性的要求。我們還可得出臨界域外的速度變換關(guān)系,設(shè)粒子相對(duì)于Σ系中的速度以u(píng)表示,其自然坐標(biāo)分量為us=dsdt,up=dρdt,uz=dzdt,相對(duì)于Σ′系中以u(píng)′表示,其分量為us′=ds′dt′?uρ′=dρ′dt′,uz′=dz′dt′,由式(10)、(11)可得速度變換:{u′s=us+c2/ρω1+us/ρωu′ρ=uρ1+us/ρω√1-c2/ρ2ω2u′z=uz1+us/ρω√1-c2/ρ2ω2(13)及速度逆變換{us=u′s-c2/ρω1-u′s/ρωup=u′ρ1-u′s/ρω√1-c2/ρ2ω2uz=u′z1-u′s/ρω√1-c2/ρ2ω2(14)3臨界圓外域上的速度上面的轉(zhuǎn)動(dòng)洛侖茲變換實(shí)質(zhì)是把這轉(zhuǎn)動(dòng)參考系看作一個(gè)瞬時(shí)慣性系,建立一個(gè)相互正交的自然坐標(biāo)系,這樣就可以直接應(yīng)用洛侖茲變換。在ρ<ρc的臨界圓內(nèi)域上洛侖茲變換是沒(méi)問(wèn)題。但在ρ>ρc的臨界圓外域上,由于Σ′系的線速度超過(guò)光速,因此我們采用廣義洛侖茲變換,同時(shí)也可計(jì)算出粒子P在臨界圓外域的速度,以ρω>c代入(13)、(14)式,即