2021年吉林省、內蒙古金太陽高考數(shù)學聯(lián)考試卷（理科）

2021年吉林省、內蒙古金太陽高考數(shù)學聯(lián)考試卷（理科）（4

月份）

一.選擇題（每小題5分）.

I.已知集合4=&片-2%-8<0},8={-4,-2,0,2,4},則AA8=（）

A.{-2,0}B.{-4,-2,0,2}C.{0,2}D.{-2,0,2,4}

2.已知復數(shù)z=-l+&i,貝！Jz?=（）

A.-2-2^B.-2+2眄C.4-2仃D.4+2制

3.設等差數(shù)列｛。〃｝的前n項和為設且。3+。9=的+5,則等3=（）

A.35B.65C.95D.130

TT

4.函數(shù)f（x）=）圖象的對稱中心是（）

兀L八幾

A.（加■—-,（依Z）B.（ATTH■—―,0）（依Z）

9v9

當工

C.（"二胃，娓）（依Z）D.，0）（依Z）

39

5.青少年近視問題己經成為我國面臨的重要社會問題.已知某校有小學生3600人，有初中

生2400人，為了解該校學生的近視情況，用分層抽樣的方法從該校的所有學生中隨機抽

取120名進行視力檢查，則小學生應抽取的人數(shù)與初中生應抽取的人數(shù)的差是（）

A.24B.48C.72D.96

6.已知某圓柱的軸截面是正方形，且該圓柱的側面積是4m則該圓柱的體積是（）

A.2irB.4iiC.8TID.12n

7.在等比數(shù)列｛?。?，。2,。8是方程X2-10x+9=0的兩個根，則。5=（）

A.3B.3或』C.—D.±3

33

8.2020年11月24日4時30分，我國在文昌航天發(fā)射場用長征五號運載火箭成功發(fā)射嫦

娥五號，12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內蒙古四子王旗預定區(qū)域安全

著陸，使得“繞、落、回”三步探月規(guī)劃完美收官，這為我國未來月球與行星探測奠定

了堅實基礎.若在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下，可以用公式旦計算

m

火箭的最大速度v（mis）,其中vo（加s）是噴流相對速度，相（依）是火箭（除推進劑

外）的質量，M（kg）是推進劑與火箭質量的總和，更稱為“總質比”.若A型火箭的

m

噴流相對速度為lOOO/n/5,當總質比為500時，A型火箭的最大速度約為（）Uge

亡0.434,/g240.301)

A.4890/n/sB.5790，”/sC.6219w/.vD.6825/nA

2

O

9.已知Q,尸2是橢圓C：三_+)2=l的左、右焦點，點。在橢圓C上，ZF1DF2=120,

4

點O為坐標原點，則|0。|=()

A.1B.豆C.返D.—

222

10.已知函數(shù)/(x)=log2(-f-g+16)在[-2,2]上單調遞減，則m的取值范圍是()

A.[4,+8)B.(-6,6)C.(-6,4]D.[4,6)

22

11.已知雙曲線C：t-%=1(4>°，b>0)的左、右焦點分別為人，尸2,過人作與其

中一條漸近線平行的直線與C交于點A,若為直角三角形，則雙曲線C的離心

率為()

A.V5B.MC.近D.2

-^-x^+3x+~+l>x<0

12.已知函數(shù)f(x)=?3x，若關于X的方程/(x)4/(-X)=0有4

21nx+x,x>0

個不同的實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍為()

919

A.(-1,0)B.(--,0)C.(0,—)D.(0,—)

323

二.填空題(每小題5分).

13.已知向量!=(2,/?),E=(1，-3),若(2^-則”?=.

x-y>1

14.設x,y滿足約束條件<x+2y-2?0,則z=2x+y的最大值是.

3x+y《ll

15.桂林是世界著名的風景旅游城市和中國歷史文化名城，號稱“桂林山水甲天下”，每年

都會迎來無數(shù)游客.甲同學計劃今年暑假去桂林游玩，準備在“印象劉三姐”“漓江游

船”“象山景區(qū)”“龍脊梯田”這4個景點中任選2個游玩.已知“印象劉三姐”的門

票為195元/位，“象山景區(qū)”的門票為35元/位，其他2個景點的門票均為95元/位，

則甲同學所需支付的門票費的期望值為元.

16.某三棱錐的正視圖和俯視圖如圖所示，已知該三棱錐的各頂點都在球O的球面上，過

該三棱錐最短的棱的中點作球。的截面，截面面積最小為

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，

每個試題考生都必須作答，第22.23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60

分

17.某公司為了解服務質量，隨機調查了100位男性顧客和100位女性顧客，每位顧客對該

公司的服務質量進行打分.已知這200位顧客所打的分數(shù)均在［25,100］之間，根據(jù)這些

數(shù)據(jù)得到如下的頻數(shù)分布表：

顧客所打分數(shù)[25,40)[40,55)[55,70)[70,85)[85,100]

男性顧客人數(shù)46103050

女性顧客人數(shù)610244020

（1）估計這200位顧客所打分數(shù)的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.

（2）若顧客所打分數(shù)不低于70分，則該顧客對公司服務質量的態(tài)度為滿意；若顧客所

打分數(shù)低于70分，則該顧客對公司服務質量的態(tài)度為不滿意.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下列

2X2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為顧客對公司服務質量的態(tài)度與

性別有關？

滿意不滿意

男性顧客

女性顧客

附.v=.n(ad-bc)2______

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(照2A)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且2bcosA=2c-a.

（1）求角8；

(2)若a=4,6=2祈，求邊BC上的中線A。的長.

19.如圖，在四棱錐P-ABCO中，PAL平面A8CD,底面ABCD是菱形，/4BC=60。.點

E,尸分別在棱BC,PD上(不包含端點)，且「尸：DF=BE：CE.

(1)證明：EF〃平面PAB.

(2)若尸4=揚8,求二面角B-PC-D的余弦值.

20.已知拋物線C：W=2py(p>0)的焦點為尸，點P為拋物線C上一點，點尸到F的距

離比點P到x軸的距離大L過點P作拋物線C的切線，設其斜率為ko.

(1)求拋物線C的方程；

(2)直線/：y=fcv+〃與拋物線C相交于不同的兩點A,B(異于點尸)若直線AP與直

線3尸的斜率互為相反數(shù)，證明：k+ko=O.

2_1

21.設函數(shù)/(x)=2\I?GR.

ex

(1)若函數(shù)/(x)在R上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

(2)證明：當“22時，/(x)+弋+加20.

e

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中在選一題作答.如果多做，則按所做的第一

題計分.［選修4?4；坐標系與參數(shù)方程

22.在直角坐標系xOy中，曲線。的參數(shù)方程是1(a為參數(shù))，以坐標原點為

ly=sind

極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為pcose-2psin0=3&.

(1)求直線/的直角坐標方程和曲線C的普通方程；

(2)若點尸在曲線C上，求點P到直線/的距離的最大值.

［選修4-5：不等式選講］

23.設函數(shù)/(x)=|x+?l+k-3|.

(1)當。=2時，求不等式/(x)W7的解集;

(2)若/(x)求。的取值范圍.

參考答案

一.選擇題（每小題5分）.

1.已知集合A={xW-2x-8<0},B={-4,-2,0,2,4},貝ijACB=()

A.{-2,0)B.{-4,-2,0,2}C.{0,2}D.{-2,0,2,4)

解:'：A={^-2<x<4},B=[-4,-2,0,2,4},

...ACB={0,2}.

故選：C.

2.已知復數(shù)z=-則z2=()

A.-2-2^B.-2+2?iC.4-2介D.4+2?i

解：由題意可得，z2=(-l+ai)2=l-2gi+(gi)2=-2-2^L

故選：A.

3.設等差數(shù)列｛斯｝的前幾項和為S〃，且。3+49=恁+5,則S13=)

A.35B.65C.95D.130

解：根據(jù)題意，等差數(shù)列｛〃〃｝中，〃3+。9=。5+5,

貝!]6+他)-〃5=m+6d=5,即ci7=5,

(a1+aiq)X13

貝|J$3=--------------=13^7=13X5=65,

2

故選：B.

TT

4.函數(shù)f（x）二十^cos（3x十圖象的對稱中心是()

兀LK

A.(ZnrH---,(依Z)B.(/fkn+--,0)(依Z)

99

C.(-^-+—,娓)(keZ)D.(西工,0)(依Z)

39v39

TT

解：函數(shù)f(x)=V5cos(3x+-^-)?

jrjr71k兀

令兀，k《Z,解得x=1F,k￡Z,

所以/（X）的對稱中心為（Xp卷，0）（keZ）.

故選：D.

5.青少年近視問題已經成為我國面臨的重要社會問題.已知某校有小學生3600人，有初中

生2400人，為了解該校學生的近視情況，用分層抽樣的方法從該校的所有學生中隨機抽

取120名進行視力檢查，則小學生應抽取的人數(shù)與初中生應抽取的人數(shù)的差是（）

A.24B.48C.72D.96

解:由題意得：抽樣比為:120_1

3600+2400-50

二小學生應抽取的人數(shù)為：36OOX±=72,

50

初中生應抽取的人數(shù)為：2400X±=48,

50

二小學生應抽取的人數(shù)與初中生應抽取的人數(shù)的差是：72-48=24,

故選：A.

6.已知某圓柱的軸截面是正方形，且該圓柱的側面積是4m則該圓柱的體積是（）

A.2nB.4ITC.8TTD.12TT

解：設圓柱的高為〃，底面圓的半徑為八則力=2%2m7Z=4TT,從而，r=l,〃=2,

故該圓柱的體積為：nr2h=2n.

故選：A.

7.在等比數(shù)列｛?。?，痣，制是方程l（k+9=0的兩個根，則恁=（）

A.3B.3或』C.—D.±3

33

解：根據(jù)題意，“2,"8是方程/-10x+9=0的兩個根，

則a2a8=9,

則有（的）2=9,解可得“5=±3,

故選：D.

8.2020年11月24日4時30分，我國在文昌航天發(fā)射場用長征五號運載火箭成功發(fā)射嫦

娥五號，12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內蒙古四子王旗預定區(qū)域安全

著陸，使得“繞、落、回”三步探月規(guī)劃完美收官，這為我國未來月球與行星探測奠定

了堅實基礎.若在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下，可以用公式v=W?勿旦計算

m

火箭的最大速度v（m/s）,其中vo（m/s）是噴流相對速度，m（依）是火箭（除推進劑

外）的質量，M（kg）是推進劑與火箭質量的總和，旦稱為“總質比”.若A型火箭的

m

噴流相對速度為1000〃加，當總質比為500時，A型火箭的最大速度約為（）（Ige

*0.434,/g2=0.301）

A.4890/77/5B.5790加sC.6219m/sD.6825祖/s

1;g50C31g

解：根據(jù)題意，v=voln—=1000XZn500=1000X-=1000X~"-^6219m/s,

mIgeIge

故選：C.

2

9.已知Q,F2是橢圓C：的左、右焦點，點。在橢圓C上，ZF,DF2=120°,

4

點O為坐標原點，則|。。|=()

A.1B.近C.返D.—

222

解：\DF2\^m,由橢圓的定義可得|。人|=4-加，

由余弦定理可得IB尸2F=|QFIF+|￡>尸2。-2|。由余弦|COSNBOF2,

X(2)=12,

即〃於+(4-w)2-2m(4-m)即m2-4*4=0,解得m=2,

所以|DQ|=|OF2|=2,即點。與橢圓C的上頂點重合，所以|OD|=L

故選：A.

10.已知函數(shù)/(X)=log2(-A2-mx+16)在［-2,2］上單調遞減，則m的取值范圍是()

A.［4,+8)B.(-6,6)C.(-6,4］D.(4,6)

解：,函數(shù)f(x)=log2(-JC2-znr+16)在［-2,2］上單調遞減,

??j(x)在［-2,2］上單調遞減，且大于零，故有J2f,

-4-2m+16>0

求得4Wm<6,

故選：D.

22

11.已知雙曲線C:t-%=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為人，尸2,過尸1作與其

中一條漸近線平行的直線與C交于點A,若為直角三角形，則雙曲線C的離心

率為()

A.V5B.MC.V2D.2

解：設HQ|=m|AB|=",由題意過Fl作與其中一條漸近線平行的直線與C交于點A,

若△4QF2為直角三角形，

故選：4.

w、/

t?)

?-x^+3x+~+l9x<0

12.已知函數(shù)/(x)=i3x,若關于x的方程f(x)V(-x)=0有4

21nx+x,x>0

個不同的實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍為()

9I9

A.(-1,0)B.(--,0)C.(0,—)D.(0,—)

323

解：設g(X)=/(x)V(7)，則g(X)的定義域為｛x^WO｝，且g(-x)=g(x),

即g(X)是偶函數(shù)，

故關于X的方程g(X)=0有4個不同的實數(shù)根等價于g(x)在(0,+8)上有2個零

點，

當x>0時，g(x)=2/m:+—x2-2x-旦+1,則g(x)=0等價于a=2xlnx+—xi-2x2+x,

3x3

令h(x)=2x//ir4--x3-iv+x,貝ljhf(x)=2bvc-4x+x2+3,令m(x)=2lnx-4x+/+3,

3

WJm'(x)=2-4+2x22^/"^-4=0,

x

：.m(x)在區(qū)間(0,+8)上單調遞增，又機(1)=0,

：.h(x)在區(qū)間(0,1)上單調遞減，在區(qū)間(1,+8)上單調遞增，

9

即〃(%)在x=1處取得極小值/?(1)=-—,當X-0時，h(x)f0,當+8時，h

o

(x)f+8,

：.h（x）的大致圖象如下,

o

當-■!<“<（）時?，關于X的方程力（X）=4在區(qū)間（0,+8）上有兩個不同的實數(shù)根,

即關于X的方程/（X）+/（-X）=0有4個不同的實數(shù)根.

故選：B.

二.填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡上.

13.己知向量之=(2,m),芯=(1，-3),若(2之-1)_1_3，則一=-1

解：根據(jù)題意，a=(2,m),芯=(1,-3),則2r1=(3,2/n+3),

若(2二1)±b,則(2；-*工=3-3(2〃z+3)=0,

解可得：加=-1,

故答案為：-L

x-y^l

14.設x,y滿足約束條件<x+2y-2>0，則z="+y的最大值是8.

3x+y411

解：由約束條件作出可行域如圖，

x-y=l

x~v=1

聯(lián)立Jy，解得A(3,2),

3x+y=ll

由z=2x+y,得y=-2x+z,由圖可知，當直線y=-2x+z過A時，

直線在y軸上的截距最大，z有最大值為2X3+2X1=8.

故選答案為：8.

15.桂林是世界著名的風景旅游城市和中國歷史文化名城，號稱“桂林山水甲天下”，每年

都會迎來無數(shù)游客.甲同學計劃今年暑假去桂林游玩，準備在“印象劉三姐”“漓江游

船”“象山景區(qū)”“龍脊梯田”這4個景點中任選2個游玩.已知“印象劉三姐”的門

票為195元/位，“象山景區(qū)”的門票為35元/位，其他2個景點的門票均為95元/位，

則甲同學所需支付的門票費的期望值為210元.

解：由題意可知，甲同學所需支付的門票的期望為《X(230+290+290+190+130+130,

=210元.

故答案為：210.

16.某三棱錐的正視圖和俯視圖如圖所示，已知該三棱錐的各頂點都在球O的球面上，過

該三棱錐最短的棱的中點作球。的截面，截面面積最小為.7T.

俯視圖

解：由正視圖和俯視圖在長方體中還原出三棱錐的直觀圖如圖所示，該三棱錐的各頂點

在球0的表面積上，

即球。的半徑為R,則（2R）2=22+22+42=24,解得R=捉，

由三棱錐的直觀圖可得最短棱BC,設BC的中點為E,則22=

O￡=1A1B=1^2+4V5>

當截面面積最小時，OE_L截面，設截面圓的半徑為r,

則/+。序=/?2,解得，=］,此時截面面積為億

故答案為：K.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，

每個試題考生都必須作答，第22.23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60

分

17.某公司為了解服務質量，隨機調查了100位男性顧客和100位女性顧客，每位顧客對該

公司的服務質量進行打分.已知這200位顧客所打的分數(shù)均在［25,100］之間，根據(jù)這些

數(shù)據(jù)得到如下的頻數(shù)分布表：

顧客所打分數(shù)[25,40)[40,55)[55,70)[70,85)[85,100]

男性顧客人數(shù)46103050

女性顧客人數(shù)610244020

（1）估計這200位顧客所打分數(shù)的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.

（2）若顧客所打分數(shù)不低于70分，則該顧客對公司服務質量的態(tài)度為滿意；若顧客所

打分數(shù)低于70分，則該顧客對公司服務質量的態(tài)度為不滿意.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下列

2X2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為顧客對公司服務質量的態(tài)度與

性別有關？

滿意不滿意

男性顧客

女性顧客

附.依=n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2》％)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解：(1)由題意知，計算(10X空16X晅+34X衛(wèi)殳+70X^^+70X型工)

20022222

=75.55,

所以估計這200位顧客所打分數(shù)的平均值約為75.55.

(2)根據(jù)題意，填寫列聯(lián)表如下:

滿意不滿意合計

男性顧客8020100

女性顧客6040100

合計14060200

根據(jù)表中數(shù)據(jù)’計算心=2嗨霽祗。;煞震=等324,

因為9.524>6.635,

所以有99%的把握認為顧客對公司服務質量的態(tài)度與性別有關.

18.在AABC中，內角A,B,C所對的邊分別為小b,c,且2%cos4=2c-a.

(1)求角&

(2)若a=4,6=2有，求邊8C上的中線4。的長.

解：(1)因為28cosA=2c-〃，

222

所1以2bx也_t_2_N—=2c-a,

2bc

整理得，屏+°2一拄=g

2上2“21

由余弦定理得，cos8=M.*±=±,

2ac2

因為OVBVn,

jr

所以8=勺；

(2)因為。2+d一〃2=ac,

所以16+c2-28=4c,

解得c=6,

△ABO中，AB=6,BD=yBC=2，ZABD=60°,

則ACP=AB2+BD2-2AB?BDcosZABD=36+4-2X6X2Xy=28,

故AO=2j7

19.如圖，在四棱錐P-ABC。中，PAL平面4BCD,底面ABC。是菱形，4BC=60°.點

E,F分別在棱8C,PDh（不包含端點），且PF：DF=BE：CE.

（1）證明：EF〃平面PAB.

（2）若R4=&AB,求二面角8-PC-。的余弦值.

解：（1）證明：過點F作，?〃A。，HFHPA=H,連接

：._PF

'HF//AD,??面—市

PRBE.HFBE

,:PF：DF=BE：CE,；??二i1,

PDBCADBC

,四邊形ABC。是菱形，：.BC//AD,KBC=AD,

:.HF//BE,J.HF=BE,

四邊形ABC。是菱形,J.BC//AD,且BC=AD,

：.HF//BE,J@.HF=BE,四邊形BEFH是平行四邊形，...EFaBH,

「BHu平面RW,EFu平面PA8,二七/〃平面PAB.

（2）解：以A為原點，過A作垂直的直線為x軸，AD,下的方向為y，z軸的正方

向，

建立如圖所示的空間直角坐標系A-x），z,

設A8=2,則B（遮，-1,0）,C（?,1,0）,。（0,2,0）,P（0,0,2加），

.?.前=（0,2,0）,pc=（退，1,-2M），而=（-?,1,0）,

設平面P8C的法向量;=（x,y,z）,

則［丁色油?2岳=0,取戶2M,得走⑦瓜0,如），

n*BC=2y=0

設平面PCD的法向量7=（小b,c）,

r/m,PCW§a+b-26c=0,zra_「

則，—,>取”=2,得1r=（2,,

m,CD=-V3a+b=0

設二面角B-PC-。為仇由圖可知。為鈍角，

4/2+0+3V2___7_

..COS0=-|cos<n,ir>l=-IJ=

InI?ImI7nx癥―H

20.已知拋物線C：（=2py（p>0）的焦點為凡點?為拋物線C上一點，點P到尸的距

離比點P到x軸的距離大1.過點P作拋物線C的切線，設其斜率為ko.

（1）求拋物線C的方程；

（2）直線/：與拋物線C相交于不同的兩點A,8（異于點P）若直線A尸與直

線BP的斜率互為相反數(shù)，證明：k+ko=0.

【解答】（1）解：設點P（沏，”），由點P到F的距離比點P到x軸的距離大1,

所以Pb=yo+1,即了0號=了。+1，

所以p=2,即拋物線C的方程為r=4），；

（2）證明：設4（X”%），B（及，”），直線AP的斜率為心P,直線BP的斜率為依”

y「y。丫2~0

則kAP(x!7tx)'62滬X。），

xl-x00

因為直線AP與直線BP的斜率互為相反數(shù)，

所以kAp--kep,即-------=--------,

xrxox2-xo

又點A(XI,州)，B(X2,y2)均值拋物線上，

2222

X1XQx2x0

所以4-44-4,化簡可得乃+初=-2A”,

-

x-x0x2-x0

2

因為x/=4yi，x2=4y2)

所以X12-x22=4(y[-y2)，

丫「丫2xi+x2

x0

2

因為N=4y,所以yn/x?

故y，9X,故女。亭0,

所以k+fc)=0.

41

21.設函數(shù)/(x)=月X了,“6R.

(1)若函數(shù)/(x)在R上是增函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍.

(2)證明：當a22時，/(x)+弋+42().

【解答】(1)解：因為/(x)=-生昂J,所以/(x)=發(fā)且:咤

ee

2

-ax+2ax+l

因為函數(shù)/Cr)在R上是增函數(shù)，所以，(x)20恒成立,

即-0^+2^+120恒成立，

當。=0時，120恒成立，符合題意；

_(-a>0

當〃WO時，要使-OX2+2OY+120恒成立，只需，,解得-IWaVO,

4a'+4a<0

綜上可得，實數(shù)。的取值范圍是[-1,0].

(2)證明：當。22時，令g(x)=/(x)+弋+?，

e

,,、-ax2+2ax+l_l-x(ax+1)(x-2)

g8=------x-----+x=-x,

eee

令g'(X)=0,可得Xl=-上，X2=2,

a

因為。22,所