第六章 多目標規(guī)劃方法

第六章多目標規(guī)劃方法

在水文水資源研究中，對于許多規(guī)劃問題，常常需要考慮多個目標，如經(jīng)濟效益目標，生態(tài)效益目標，社會效益目標，等等。為了滿足這類問題研究之需要，本章擬結(jié)合有關(guān)實例，對多目標規(guī)劃方法及其在水文水資源研究中的應用問題作一些簡單地介紹。本章主要內(nèi)容：多目標規(guī)劃及其求解技術(shù)簡介目標規(guī)劃方法

多目標規(guī)劃應用實例

多目標規(guī)劃及其非劣解多目標規(guī)劃求解技術(shù)簡介第一節(jié)多目標規(guī)劃及其非劣解

一、多目標規(guī)劃及其非劣解（一）任何多目標規(guī)劃問題，都由兩個基本部分組成：（1）兩個以上的目標函數(shù)；（2）若干個約束條件。

（二）對于多目標規(guī)劃問題，可以將其數(shù)學模型一般地描寫為如下形式：

（2）（1）式中：為決策變量向量。

如果將（1）和（2）式進一步縮寫，即：（3）

（4）式中：是k維函數(shù)向量，

k是目標函數(shù)的個數(shù)；是m維函數(shù)向量；是m維常數(shù)向量；m是約束方程的個數(shù)。

對于線性多目標規(guī)劃問題，可以進一步用矩陣表示：

（5）（6）式中：為n維決策變量向量；為k×n矩陣，即目標函數(shù)系數(shù)矩陣；為m×n矩陣，即約束方程系數(shù)矩陣；為m維的向量，約束向量。

二、多目標規(guī)劃的非劣解

對于上述多目標規(guī)劃問題，求解就意味著需要做出如下的復合選擇：▲每一個目標函數(shù)取什么值，原問題可以得到最滿意的解決？▲每一個決策變量取什么值，原問題可以得到最滿意的解決？多目標規(guī)劃問題的求解不能只追求一個目標的最優(yōu)化（最大或最?。?，而不顧其它目標。在圖1中，就方案①和②來說，①的目標值比②大，但其目標值比②小，因此無法確定這兩個方案的優(yōu)與劣。在各個方案之間，顯然：③比②好，④比①好，⑦比③好，⑤比④好。而對于方案⑤、⑥、⑦之間則無法確定優(yōu)劣，而且又沒有比它們更好的其他方案，所以它們就被稱之為多目標規(guī)劃問題的非劣解或有效解，其余方案都稱為劣解。所有非劣解構(gòu)成的集合稱為非劣解集。非劣解可以用圖1說明。圖1多目標規(guī)劃的劣解與非劣解當目標函數(shù)處于沖突狀態(tài)時，就不會存在使所有目標函數(shù)同時達到最大或最小值的最優(yōu)解，于是我們只能尋求非劣解（又稱非支配解或帕累托解）。

一、模效用畝最優(yōu)朝化模聚型二、嚇罰款礦模型三、怠約束縮慧模型第二援節(jié)腐多目俯標規(guī)寶劃求挑解技壁術(shù)簡胞介為了求得覽多目瞞標規(guī)塌劃問脖題的蓄非劣縣解，常希常需惡要將血多目住標規(guī)賴劃問博題轉(zhuǎn)癥化為磚單目睡標規(guī)譯劃問僵題去聞處理融。實軟現(xiàn)這繭種轉(zhuǎn)址化，裹有如客下幾這種建禾模方史法。四、裝目標清規(guī)劃綁模型五、軌目標鞭達到滴法是與各目標函數(shù)相關(guān)的效用函數(shù)的和函數(shù)。

一、釀效用梨最優(yōu)估化模面型建摸鼠依據(jù)煩：規(guī)劃桑問題屯的各姻個目療標函臟數(shù)可暫以通帶過一陡定的渴方式侵進行醉求和制運算省。這泄種方逆法將暴一系尺列的邀目標界函數(shù)援與效末用函奪數(shù)建塔立相棵關(guān)關(guān)插系，瓦各目扒標之捕間通棍過效翠用函榮數(shù)協(xié)怪調(diào)，使多攻目標燭規(guī)劃慚問題扯轉(zhuǎn)化射為傳拜統(tǒng)的惠單目泛標規(guī)訪劃問展題：（7剝）（8如）在用厘效用繁函數(shù)堡作為惰規(guī)劃帶目標李時，澇需要走確定膨一組持權(quán)值北來反羊映原蒼問題膜中各鋤目標丙函數(shù)已在總喬體目誼標中贈的權(quán)籮重，蔥即：式中牽，諸父應捷滿足尤：若采下用向態(tài)量與污矩陣二、苦罰款控模型規(guī)劃隨決策舉者對牛每一饞個目們標函清數(shù)都拋能提京出所羅期望牽的值稠（或俯稱滿禽意值所）；通過辦比較堅實際翠值與期講望值之間腸的偏朵差來倦選擇瓦問題民的解梳，其內(nèi)數(shù)學蠻表達居式如府下：或?qū)懨删叵谊囆螐埵剑菏街心?，帆是違與第識i個獅目標復函數(shù)掀相關(guān)矛的權(quán)蘭重；A是由負組成權(quán)的m×m對響角矩燈陣。三、垂約束業(yè)模型理論爽依據(jù)：若規(guī)惹劃問價題的大某一代目標掀可以推給出撒一個栗可供鉛選擇反的范襖圍，書則該街目標賓就可開以作逃為約眼束條警件而憂被排往除出定目標苦組，虹進入恭約束雁條件五組中陵。假如槳，除繪第一怒個目鞏標外藏，其倡余目刃標都此可以統(tǒng)提出出一個射可供珠選擇者的范騙圍，御則該濕多目噴標規(guī)齒劃問剖題就謠可以匪轉(zhuǎn)化偏為單蔬目標膀規(guī)劃郵問題造：采用摩矩陣可記宵為：四、虜目標刺規(guī)劃摔模型也需翅要預達先確縮慧定各壺個目煩標的劃期望變值液，罪同時叮給每協(xié)一個隱目標課賦予比一個旱優(yōu)先粥因子舍和權(quán)顛系數(shù)理，假電定有K個目翅標，L個優(yōu)款先級傅，嘆目標穴規(guī)劃木模型則的數(shù)艦學形模式為擋：式中痰：駕和覺分別矛表示僵與搖相應吩的、負與李相拍比的目奇標超涂過值雷和不夏足值賞，即獵正、缸負偏溪差變?nèi)浚磺灞砼闶镜趌個優(yōu)拾先級仆；、竭表示網(wǎng)在同職一優(yōu)襖先級纏中是，不鬧同目仁標的正編、負蓬偏差泉變量維的權(quán)縣系數(shù)盒。五、振目標劈燕達到異法首先等將多債目標鬼規(guī)劃料模型使化為緊如下譯標準冰形式益：（6機.2叔.2電1）（6切.2愿.2經(jīng)2）在求楚解之指前，灶先設翁計與窮目標抄函數(shù)素相應哈的一下組目災標值雙理想泳化的屈期望未目標肆,糞每一鄉(xiāng)豐個目械標對捉應的詠權(quán)重臨系數(shù)墾為代，再株設表為一嘆松弛蹦因子幕。那表么，弦多目優(yōu)標規(guī)視劃問磁題就撤轉(zhuǎn)化俘為：用目銷標達息到法糖求解聽多目癥標規(guī)棍劃的掉計算自過程梨，可丑以通污過調(diào)灑用M月at凝la瘦b軟碼件系巷統(tǒng)優(yōu)凳化工缺具箱濁中的談fg鄉(xiāng)豐oa穗la甚tt瓶ai轎n函嘉數(shù)實弊現(xiàn)。第三杠節(jié)黨目標傾規(guī)劃顯方法通過阻上節(jié)蓮的介郵紹和鞏討論紀，我斤們知闊道，偶目標撐規(guī)劃略方法搏是解鈔決多弊目標勒規(guī)劃絞問題書的重醬要技帆術(shù)之渡一。這一忽方法頌是美米國學預者查愿恩斯憑（A塵.C微ha氣rn弓es咳）和耳庫伯鄰（W楊.W該.C亦oo錘pe郵r）研于1土96走1年李在線卻性規(guī)轎劃的秋基礎(chǔ)掃上提棄出來脂的。施后來蒙，查旬斯基艙萊恩世（U父.J該aa棋sh呼el服ai憲ne馬n）奇和李堡（S建an垃g.擦Le狀e）彈等人勢，進季一步挽給出聞了求吸解目桑標規(guī)籮劃問繼題的伐一般炎性方配法—燈—單喊純形叢方法貿(mào)。一、前目標守規(guī)劃玩模型給定庸若干哈目標袋以及括實現(xiàn)枕這些欺目標只的優(yōu)貸先順慰序，暈在有掏限的欲資源兩條件姜下，勵使總收的偏父離目欺標值癥的偏金差最何小。（一煌）基押本思匆想：例1：某廈一個寨企業(yè)俱利用享某種機原材冶料和直現(xiàn)有噸設備駐可生兵產(chǎn)甲壯、乙霉兩種犬產(chǎn)品糧，其鄰中，士甲、更乙兩幸種產(chǎn)送品的覽單價未分別穗為8佛元和境10次元；內(nèi)生產(chǎn)腐單位憂甲、集乙兩羞種產(chǎn)礙品需傍要消獅耗的鉤原材騰料分愈別為僑2個蜓單位究和1莖個單翻位，藏需要屢占用字的設飛備分售別為豬1臺鳳時和碌2臺羽時；爸原材啄料擁餐有量絲式為1源1個蛙單位絹；可懸利用赤的設叢備總頃臺時爪為1姐0臺惑時。狐試問昌：如掙何確惱定其丈生產(chǎn)往方案拿？（二情）目染標規(guī)栽劃的年有關(guān)聲概念如果航?jīng)Q策營者所堪追求技的唯渠一目擠標是陸使總池產(chǎn)值螞達到賀最大饑，則女這個孤企業(yè)堆的生防產(chǎn)方喜案可墾以由啄如下只線性蝴規(guī)劃暖模型虛給出?。呵笮眨?，兼使而且泰滿足廚：式中雅：和準為決熔策變餐量，客為目旅標函拌數(shù)值領(lǐng)。將驚上述崗問題苗化為貝標準段后，雪求解抱可得腳最佳寫決策昆方案淋為帽（盜萬元糾）。但是太，在賺實際娘決策巴時，鎮(zhèn)企業(yè)冊領(lǐng)導沒者必折須考革慮市楚場等廟一系訴列其恰它條園件，錘如：①根據(jù)杠市場選信息橡，甲趨種產(chǎn)查品的派需求罷量有炮下降好的趨廳勢，哥因此托甲種轟產(chǎn)品燈的產(chǎn)希量不哄應大杠于乙侍種產(chǎn)籍品的侄產(chǎn)量食。②超過暫計劃鄉(xiāng)豐供應完的原位材料形，需蝦用高棗價采臭購，妹這就慕會使扇生產(chǎn)雙成本嗽增加膝。③應盡蟲可能汁地充磨分利棄用設助備的溉有效舍臺時旺，但榮不希筍望加莊班。④應盡攜可能捆達到磁并超鐘過計適劃產(chǎn)旋值指椒標5共6萬買元。這樣蓋，該敬企業(yè)肝生產(chǎn)榜方案大的確能定，宏便成曉為一灣個多掃目標被決策膨問題輩，這泄一問欠題可另以運莊用目途標規(guī)鉗劃方久法進醒行求蜻解。為了撤建立訂目標傲規(guī)劃欣數(shù)學歡模型添，下?lián)嬉胗行龟P(guān)概珍念。目標茂規(guī)劃桃模型浸的有芳關(guān)概遵念1.濕偏差鳴變量在目朗標規(guī)陸劃模楊型中幕，除陜了決匠策變康量外肅，還凝需要搏引入障正、負負偏粱差變耀量賴、悶。其宣中，蝴正偏窮差變普量表蘭示決咱策值屈超過贏目標美值的艇部分命，負排偏差屈變量扛表示橫決策帖值未拔達到項目標駁值的蠟部分征。因為凈決策鳳值不集可能卸既超梁過目宴標值芝同時父又未匠達到刻目標造值，際故有脅成氣立。2、巴絕對議約束賭和目給標約塑束絕對爽約束，必闊須嚴蜘格滿賓足的哨等式晉約束非和不擺等式針約束輛，譬莊如，捷線性賺規(guī)劃烤問題馬的所樂有約沙束條搬件都口是絕勢對約天束，浩不能形滿足恒這些填約束鞭條件答的解招稱為距非可麗行解搬，所爐以它夏們是揮硬約量束。目標吐規(guī)劃核模型轉(zhuǎn)的有采關(guān)概煤念目標仰約束，目字標規(guī)叢劃所有特有確的，您可以北將約狗束方蠶程右園端項扭看作近是追貪求的耳目標反值，底在達扯到此黎目標筍值時導允許愿發(fā)生篇正的圾或負泰的偏歉差釣，可矩加入陸正負環(huán)偏差寇變量閥，是泳軟約充束。線性霞規(guī)劃斧問題環(huán)的目平標函羨數(shù)，倉在給紙定目唱標值驕和加說入正宴、負獻偏差嫂變量運后可劃以轉(zhuǎn)物化為隙目標干約束驅(qū)，也眠可以叛根據(jù)幫問題磚的需游要將其絕對需約束鏈轉(zhuǎn)化是為目雞標約秩束。目標價規(guī)劃鈔模型與的有志關(guān)概膀念目標聽規(guī)劃確模型群的有島關(guān)概刑念3.辮優(yōu)先暫因子言（優(yōu)橫先等縱級）等與權(quán)歡系數(shù)一個惕規(guī)劃吐問題冷,?？宄Ｓ羞x若干殿個目輕標，癢決策潔者對切各個穴目標例的考晨慮,醒往往憤是有柴主次咸或輕慕重緩消急的佛。凡捕要求稿第一友位達楚到的們目標銳賦予奧優(yōu)先文因子贏，次唐位的拼目標憑賦予漫優(yōu)先膨因子美，…鍋…，屯并規(guī)佩定唯表示啄比有更癢大的菊優(yōu)先秘權(quán)。廳這就匹是說倍，首商先保臘證級目術(shù)標的煌實現(xiàn)氣，這怪時可土以不奶考慮害次級療目標蹦；而移級目述標是槽在實允現(xiàn)莊級拉目標憑的基壯礎(chǔ)上廢考慮讓的；卻依此龜類推尖。若要門區(qū)別臺具有管相同新優(yōu)先勁因子爭的目葵標的單差別撒，就景可以很分別牛賦予鈔它們逝不同建的權(quán)孝系數(shù)哨。這陪些優(yōu)琴先因書子和欠權(quán)系膜數(shù)都鼓由決案策者洲按照孟具體主情況租而定考。4.佳目標壞函數(shù)目標恩規(guī)劃洽的目孤標函滲數(shù)（串準則姨函數(shù)召）是刷按照線各目棄標約佛束的款正、背負偏獄差變仿量和膚賦予憑相應號的優(yōu)嚷先因催子而學構(gòu)造茶的。國當每災一目污標確浸定后歐，盡惹可能們縮小啟與目侵標值元的偏挽離。利因此這，目覺標規(guī)漸劃的洗目標鄉(xiāng)豐函數(shù)正只能餐是：基本秧形式懂有三駕種：目標垮規(guī)劃紗模型愁的有霧關(guān)概站念a)太要齡求恰餓好達帥到目狀標值壘，就眼是正系、負腸偏差洗變量告都要午盡可被能小哪,即b)雖要買求不希超過贏目標曬值，兵即允錘許達款不到赤目標蹈值，養(yǎng)就是醉正偏倘差變浴量要稠盡可輔能小甚，即c)譜要證求超科過目答標值痛，也捉就是賊超過昂量不依限，勿但負煙偏差爭變量恐要盡禁可能晝小，并即在實義際問般題中脹，可伍以根她據(jù)決聾策者奸的要烏求，顆引入淘正、際負偏途差變銳量和討目標劣約束撕，并工給不栗同目尊標賦輕予相芝應的霧優(yōu)先擾因子敏和權(quán)炊系數(shù)賞，構(gòu)引造目路標函凡數(shù)，慌建立營模型默。例2：在丟例1銜中，必如果辟決策兵者在作原材貢料供句應受尋嚴格倉控制章的基辨礎(chǔ)上炕考慮跪：首莖先是忍甲種螺產(chǎn)品領(lǐng)的產(chǎn)左量不乞超過線乙種論產(chǎn)品引的產(chǎn)抖量；桐其次膏是充礦分利星用設請備的園有限與臺時決，不藏加班錫；再兆次是揀產(chǎn)值籃不小團于5術(shù)6萬保元。朱并分插別賦雨予這并三個擱目標把優(yōu)先貪因子狗。試隸建立多該問米題的熄目標很規(guī)劃性模型茄。解：根購據(jù)題步意，夫這一碧決策鐮問題挑的目拐標規(guī)柱劃模痕型是假定廢有L個目發(fā)標，K個優(yōu)成先級泄(K≤L)，n個變奸量。炎在同晴一優(yōu)搭先級濟中不女同目乒標的春正、綁負偏廟差變紹量的戚權(quán)系鋼數(shù)分環(huán)別為怨、溝，則賊多目經(jīng)標規(guī)私劃問揪題可揉以表蘋示為律：（三碗）目漠標規(guī)坑劃模晴型的羨一般督形式在以狗上各衛(wèi)式中膠，、克分逐別為舌賦予團優(yōu)先貴因子讀的第陜個目餃標的蔑正、抽負偏巨差變躲量的租權(quán)系瓦數(shù)，為第緣瑞個目夕標的頑預期熟值，為決詞策變謠量，、濁分別湊為第k個目糕標的香正、漸負偏欄差變荒量，一、場土地道利用層問題二、制生產(chǎn)便計劃甚問題三、耕投資政問題第四泡節(jié)哨多目時標規(guī)根劃應賞用實矩例某灌建區(qū)土看地資助源根捷據(jù)土相質(zhì)情疊況將蠢當?shù)厣迅貎Ψ譃橐譏、鞋II窩、I搖II棋三級銷，其趕中I艦等耕簡10易0萬宴公頃眉、I親I等叢耕地斬30舞0萬寫公頃哄、I閘II泥等耕溪地2叢00映萬公崗頃?？F(xiàn)擬憑種植虧水稻襲、大袍豆、坑玉米壯三種無農(nóng)作報物，殼各種翠耕地猴的作從物產(chǎn)巨量見格表，布要求漁水稻量產(chǎn)量駕不得揪低于取19異00漠00郊kg痰，大禍豆不些得低型于1眠30急00榜0k近g，胃玉米礎(chǔ)不得衛(wèi)低于注35鏈00霧00踩kg被。若問想達疲到產(chǎn)撥量及尿產(chǎn)值回的雙帝贏，錫應如業(yè)何確毀定種擇植結(jié)請構(gòu)。一、久土地級利用告問題水稻大豆玉米資源限制（萬公頃）I等耕地單產(chǎn)(kg/公頃)1100095009000100II等(kg/公頃)800068006000300III等(kg/公頃)140001200010000200單價(元/kg)1.21.50.8取僻決策緒變量美，它肚表示恥在第j等級婚的耕醬地上油種植皇第i種作鄰物的爐面積話。如奧果追溜求總亞產(chǎn)量蕉最大柔和總與產(chǎn)值堵最大良雙重側(cè)目標沈，那敬么，景目標萍函數(shù)妄包括可：①追襯求總田產(chǎn)量奏最大②追鬧求總杏產(chǎn)值捧最大根據(jù)途題意賭，約菠束方冷程包慶括：耕地罪面積坦約束最低噸收獲捆量約爆束非負樸約束對上膚述多乓目標笛規(guī)劃據(jù)問題朵，我故們可償以采片用如邊下方固法，裁求其致非劣灘解。1.彩用線哭性加渴權(quán)方吐法取魔，誓重新貸構(gòu)造書目標漏函數(shù)室：這樣落，就先將多例目標投規(guī)劃墳轉(zhuǎn)化證為單旅目標往線性著規(guī)劃脖。用單組純形價方法周對該渠問題猴求解觀，可趴以得訊到一嘴個滿觀意解桿（非府劣解宗）方性案，冷結(jié)果遙見表貝1。此方扁案是觸：I頌II眨等耕惰地全歇部種打植水領(lǐng)稻，鵝I等宋耕地過全部餃種植碎玉米芒，I呼I等底耕地復種植更大豆杰19該.1昂17頃6公告頃、繡種植糖玉米頸28角0.輕88濁24趨公頃照。在志此方即案下背，線矩性加成權(quán)目您標函幕數(shù)的臣最大皂取值徐為6愈44父56培00栗。表1掩線瞇性加膚權(quán)目郵標下窗的非織劣解朽方案（單水位：hm2）2.撐目標挖規(guī)劃痛方法實際尼上，泉除了頓線性葛加權(quán)蕩求和業(yè)法以狠外，本我們疲還可斯以用喬目標氧規(guī)劃曠方法謠求解批上述撤多目陸標規(guī)警劃問擇題。如果肝我們追對總醋產(chǎn)量策和活總產(chǎn)洽值兄，痛分別創(chuàng)提出漲一個低期望碰目標敢值（kg）（元舌）并將竟兩個餡目標爛視為楚相同作的優(yōu)惱先級捏。如果豎、瘦分別房誠表示套對應禁第一月個目構(gòu)標期喘望值乏的正旨、負血偏差穿變量夕，建、輕分廳別表盜示對漆應于押第二評個目陽標期庫望值后的正胳、負穿偏差陽變量悅，而邊且將躲每一隙個目枯標的槽正、有負偏計差變半量同赴等看束待（蠅即可賢將它械們的值權(quán)系鏈數(shù)都港賦為1），觸那么衰，該翠目標擊規(guī)劃模問題東的目無標函呼數(shù)為屯：對應濫的兩押個目悶標約修束為短：即：除了號目標貧約束帶以外誼，該之模型申的約重束條巡壽件，掀還包購括硬齒約束薪和非執(zhí)負約旋束的希限制削。其花中，副硬約睡束包鬼括耕聯(lián)地面殃積約擱束和連最低夕收獲榜量約液束；道非負捕約束和，不戶但包固括決貸策變豪量的趕非負牲約束蕉，還妥包括萍正、刊負偏介差變級量的禾非負績約束柿：解上膊述目抬標規(guī)勸劃問男題，瓶可以慢得到圖一個否非劣緊解方組案，鑄詳見授表2。表2屢目澇標規(guī)銷劃的趟非劣的解方陳案（單糾位hm2）在此牢非劣刪解方禾案下曠，兩那個目肌標的拆正、捏負偏盆差變再量分壓為，躬，銜，產(chǎn)。二、劑生產(chǎn)廈計劃泊問題某企止業(yè)擬喜生產(chǎn)券A和肉B兩腸種產(chǎn)幫品，六其生跌產(chǎn)投棵資費傘用分鋒別為摘21欺00華元/稍t和辜48蹄00赤元/墊t。政A、群B兩掩種產(chǎn)搏品的肯利潤狀分別無為3舌60費0元位/t劈燕和6胃50呆0元廟/t煮。A座、B窗產(chǎn)品瓣每月癥的最邪大生遍產(chǎn)能接力分慰別為貍5t弄和8壁t；蓋市場種對這樂兩種乞產(chǎn)品豆總量紹的需咳求每淺月不毀少于說9t虎。試模問該勾企業(yè)暖應該串如何閑安排追生產(chǎn)恒計劃等，才菠能既素能滿瘋足市與場需姜求，潮又節(jié)棚約投構(gòu)資，且而且暈使生宿產(chǎn)利端潤達勻到最烘大?該問繡題是鹿一個標線性疑多目渣標規(guī)發(fā)劃問蘿題。席如果全計劃告決策腫變量框用帆和也表示雀，它奔們分獲別代黃表A招、B作產(chǎn)品討每月范的生傳產(chǎn)量勉（單薪位：酷t(yī)）委；表示宵生產(chǎn)構(gòu)A、幕B兩巴種產(chǎn)淘品的差總投閃資費捆用（翅單位懶：元頌）；伯表洪示生廈產(chǎn)A舊、B滿兩種趟產(chǎn)品祖獲得眾的總拒利潤配（單衡位：惱元）償。那勿么，賤該多吃目標開規(guī)劃腔問題互就是紫：求醉和晉，使?jié)B：而且逗滿足亭：對于巡壽上述很多目恒標規(guī)峰劃問涉題，肌如果數(shù)決策瓦者提茫出的另期望瞎目標譯是：旅（1?。┟盔唫€月劉的總血投資硬不超艷30潮00恨0元搭；（訴2）努每個腸月的啄總利兔潤達室到或?qū)３^孩45講00例0元長；（悅3）熔兩