黑龍江省伊春市宜春帶溪中學(xué)高二數(shù)學(xué)文月考試題含解析

黑龍江省伊春市宜春帶溪中學(xué)高二數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若{a，b，c}為空間的一組基底，則下列各項中，能構(gòu)成基底的一組向量是()A．a(chǎn)，a＋b，a－b

B．b，a＋b，a－bC．c，a＋b，a－b

D．a(chǎn)＋b，a－b，a＋2b參考答案：C略2.把曲線：（為參數(shù)）上各點的橫坐標(biāo)壓縮為原來的，縱坐標(biāo)壓縮為原來的，得到的曲線為（

）A.B.C.

D.參考答案：B略3.設(shè)F為拋物線y2=8x的焦點，A、B、C為該拋物線上不同的三點，且++=，O為坐標(biāo)原點，若△OFA、△OFB、△OFC的面積分別為S1、S2、S3，則S12+S22+S32=（）A．36 B．48 C．54 D．64參考答案：B【考點】K8：拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】確定拋物線y2=8x的焦點F的坐標(biāo)，求出S12+S22+S32的表達式，利用點F是△ABC的重心，求得數(shù)值．【解答】解：設(shè)A、B、C三點的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），∵拋物線y2=8x的焦點F的坐標(biāo)為（2，0），∴S1=×|y1|×2=|y1|，S2=×|y2|×2=|y2|，S3=×|y3|×2=|y3|，∴S12+S22+S32=y12+y22+y32=8（x1+x2+x3）；∵++=，∴點F是△ABC的重心，∴（x1+x2+x3）=p=2，∴（x1+x2+x3）=6；∴S12+S22+S32=6×8=48．故選：B．4.設(shè)集合M={x|x>2},P={x|x<3},那么“x∈M,或x∈P”是“x∈（M∩P）”的

A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A5.設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是(

）.參考答案：C略6.設(shè)集合U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2,3}，N＝{2,5}，則M∩(?UN)等于()A．{2}

B．{2,3}

C．{3}

D．{1,3}參考答案：D略7.若,則(

)（A）

（B）B

(C)C

（D）D參考答案：A8.用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，則當(dāng)時，應(yīng)當(dāng)在時對應(yīng)的等式的左邊加上（

）A. B.C. D.參考答案：C【分析】由數(shù)學(xué)歸納法可知時，左端，當(dāng)時，，即可得到答案.【詳解】由題意，用數(shù)學(xué)歸納法法證明等式時，假設(shè)時，左端，當(dāng)時，，所以由到時需要添加的項數(shù)是，故選C.【點睛】本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，著重考查了理解與觀察能力，以及推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.9.若不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）A. B. C. D.參考答案：B不等式恒成立，即，即恒成立，即恒成立，所以，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是，故選B.

10.曲線y＝ex在點A(0,1)處得切線斜率為()A．1

B．2C．e

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.從一堆蘋果中任取5只，稱得它們的質(zhì)量如下（單位：克）125

124

121

123

127，則該樣本標(biāo)準(zhǔn)差=

參考答案：212.若實數(shù)x，y滿足，則的最大值是

.參考答案：013.在等比數(shù)列{an}中，若a7+a8+a9+a10=，a8a9=﹣，則+++=

．參考答案：﹣【考點】等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】先把+++進行分組求和，再利用等比中項的性質(zhì)可知a7a10=a8a9，最后把a7+a8+a9+a10=，a8a9=﹣代入答案可得．【解答】解：+++=（+）+（+）=+==﹣故答案為﹣【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)特別是等比中項的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．14.設(shè)是橢圓的長軸，點在上，且，若=4，，則的兩個焦點之間的距離為________.參考答案：略15.設(shè)集合，則=

▲

．參考答案：略16.若等比數(shù)列滿足,則公比=__________.參考答案：217.已知點為拋物線的焦點，為原點，點是拋物線準(zhǔn)線上一動點，點在拋物線上，且，則的最小值為

.

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績（單位：分）的頻率分布直方圖如下：（1）求頻率分布直方圖中a的值并估計數(shù)學(xué)考試成績的平均分；（2）從成績在[50，70）的學(xué)生中人選2人，求這2人的成績都在[60，70）中的概率．參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖．【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)能求出a和數(shù)學(xué)考試成績的平均分．（2）由頻率分布直方圖得到成績在[50，70）的學(xué)生人數(shù)為5人，其中成績在[50，60）的學(xué)生人數(shù)為2人，成績在[60，70）的學(xué)生人數(shù)為3人，由此利用等可能事件概率計算公式能求出這2人的成績都在[60，70）中的概率．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖得：（2a+3a+7a+6a+2a）×10=1，解得a=．?dāng)?shù)學(xué)考試成績的平均分為：=55×+65×+75×+85×+95×=76.5．（2）成績在[50，70）的學(xué)生人數(shù)為：20×5××10=5，其中成績在[50，60）的學(xué)生人數(shù)為：20×2××10=2，成績在[60，70）的學(xué)生人數(shù)為：20×3××10=3，∴從成績在[50，70）的學(xué)生中人選2人，基本事件總數(shù)n==10，這2人的成績都在[60，70）中的基本事件個數(shù)m==3，∴這2人的成績都在[60，70）中的概率P=．【點評】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．19.已知函數(shù)f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（1）當(dāng)a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f（x）在（0，）上無零點，求a最小值．參考答案：【考點】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；54：根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)f′（x），然后令f′（x）＞0即可求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，令f′（x）＜0可求出函數(shù)單調(diào)減區(qū)間，注意與定義域求交集；（2）因為f（x）＜0在區(qū)間（0，）上恒成立不可能，故要使函數(shù)f（x）在（0，）上無零點，只要對任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，然后利用參變量分離，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式另一側(cè)的最值即可求出a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=x﹣1﹣2lnx，則f′（x）=1﹣，由f′（x）＞0，得x＞2，由f′（x）＜0，得0＜x＜2，故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2]，單調(diào)增區(qū)間為[2，+∞）．（Ⅱ）因為f（x）＜0在區(qū)間（0，）上恒成立不可能，故要使函數(shù)f（x）在（0，）上無零點，只要對任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即對x∈（0，），a＞2﹣恒成立．令l（x）=2﹣，x∈（0，），則l′（x）=，再令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），則m′（x）=﹣+=＜0，故m（x）在（0，）上為減函數(shù)，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，從而l（x）＞0，于是l（x）在（0，）上為增函數(shù)，所以l（x）＜l（）=2﹣4ln2，故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），綜上，若函數(shù)f（x）在（0，）上無零點，則a的最小值為2﹣4ln2．20.交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念，記交通指數(shù)為T，其范圍分為五個級別，T∈[0，2）暢通；T∈[2，4）基本暢通；

T∈[4，6）輕度擁堵；T∈[6，8）中度擁堵；T∈[8，10]嚴(yán)重擁堵．早高峰時段（T≥3），從某市交通指揮中心隨機選取了三環(huán)以內(nèi)的50個交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖．（Ⅰ）這50個路段為中度擁堵的有多少個？（Ⅱ）據(jù)此估計，早高峰三環(huán)以內(nèi)的三個路段至少有一個是嚴(yán)重擁堵的概率是多少？參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】（Ⅰ）由頻率分布直方圖先求出這50個路段為中度擁堵的頻率，由此能求出求出這50個路段為中度擁堵的個數(shù)．（Ⅱ）設(shè)事件A為“一個路段嚴(yán)重擁堵”，則P（A）=0.1，事件B“至少一個路段嚴(yán)重擁堵”，P（）=（1﹣P（A））3，由此能求出早高峰三環(huán)以內(nèi)的三個路段至少有一個是嚴(yán)重擁堵的概率．【解答】解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖得：這50個路段為中度擁堵的有：（0.2+0.16）×1×50=18個．（Ⅱ）設(shè)事件A為“一個路段嚴(yán)重擁堵”，則P（A）=0.1，事件B“至少一個路段嚴(yán)重擁堵”，則P（）=（1﹣P（A））3=0.729，∴早高峰三環(huán)以內(nèi)的三個路段至少有一個是嚴(yán)重擁堵的概率：P（B）=1﹣P（）=1﹣0.729=0.271．21.已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)在，上的最大值；（Ⅱ）討論函數(shù)的零點的個數(shù)．參考答案：（Ⅰ）f（x）max＝9﹣4e-2.（Ⅱ）見解析【分析】（Ⅰ）a＝1時，f（x）＝（x﹣1）2+（x﹣2）ex，可得f′（x）＝（x﹣1）（ex+2），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出最值．（Ⅱ）令a（x﹣1）2+（x﹣2）ex＝0，則a（x﹣1）2＝（2﹣x）ex，討論f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex的零點個數(shù)，即轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)y＝a（x﹣1）2與函數(shù)g（x）＝（2﹣x）ex的圖象交點個數(shù)．畫出函數(shù)g（x）＝（2﹣x）ex的圖象大致如圖．對a分類討論即可得出a＞0時，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有兩個零點，當(dāng)a<0時，對a分類討論研究f(x)的圖象的變化趨勢得出結(jié)論.【詳解】（Ⅰ）a＝1時，f（x）＝（x﹣1）2+（x﹣2）ex，可得f′（x）＝2（x﹣1）+（x﹣1）ex＝（x﹣1）（ex+2），由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）遞減；在（1，+∞）遞增，所以f（x）在[﹣2，1]單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，所以f（x）min＝f（1）＝﹣e，又f（﹣2）＝9﹣4e-2＞f（2）＝1所以f（x）max＝9﹣4e-2.（Ⅱ）討論f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex的零點個數(shù)，令a（x﹣1）2+（x﹣2）ex＝0，則a（x﹣1）2＝（2﹣x）ex,轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)y＝a（x﹣1）2與g（x）＝（2﹣x）ex的圖象交點個數(shù)，由g（x）＝（2﹣x）ex，可得g′（x）＝（1﹣x）ex．由單調(diào)性可得：g（x）圖象大致如右圖：所以當(dāng)a=0時，y＝a（x﹣1）2=0與g（x）＝（2﹣x）ex圖象只有一個交點，a＞0時，y＝a（x﹣1）2與函數(shù)g（x）＝（2﹣x）ex有兩個交點，當(dāng)a<0時，f′（x）＝2a（x﹣1）+（x﹣1）ex＝（x﹣1）（ex+2a），當(dāng)a=-時，f′（x）恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）遞增，又f（1）=-e<0,f（3）=-e3=-e3>0，此時f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一個零點.當(dāng)a-時，f′（x）＝0的兩根為1，ln(-2a),當(dāng)1<ln(-2a)時，f（x）在（﹣∞，1）遞增；在（1，ln(-2a)）上遞減，在（ln(-2a)，+∞）遞增，又f（1）=-e<0,又存在=,使+(a-2)x-a=0,+(a-2)x-a]x=0,而+(a-2)x-a]x=ax(x-1)+(x-2)<a（x﹣1）2+（x﹣2）ex=f（x）,所以f（）>0,此時f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一個零點.當(dāng)1>ln(-2a)時，f（x）在（﹣∞，ln(-2a)）遞增；在（ln(-2a),1）上遞減，在（1，+∞）遞增，又f(ln(-2a))=a[(ln(-2a)﹣1]2-2a[(ln(-2a)﹣2]=a[-4(ln(-2a)+5]<0,又f（1）=-e<0,同樣有f（）>0,所以此時f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一個零點.綜上當(dāng)a＞0時，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有兩個零點a≤0時，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一個零點.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、數(shù)形結(jié)合方法、分類討論方法、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．22.已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）若函數(shù)在區(qū)間[－1,1]上存在零點，求實數(shù)m的取值范圍；（3）若函數(shù)，其中g(shù)(