圓的有關(guān)計(jì)算及證明（33題）

專題06圓的有關(guān)計(jì)算及證明一．選擇題（共8小題）1．（2020?錫山區(qū)校級(jí)一模）如圖，為的直徑，點(diǎn)在上．若，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】欲求，又已知一圓心角，可利用圓周角與圓心角的關(guān)系求解．【解答】解：，，．故選：．2．（2020?錫山區(qū)校級(jí)一模）如圖，正六邊形內(nèi)接于，若直線與相切于點(diǎn)，則A． B． C． D．【分析】連接，，，由多邊形是正六邊形可求出的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理即可求出的度數(shù)，利用弦切角定理．【解答】解：連接，，，多邊形是正多邊形，為外接圓的直徑，，．直線與相切于點(diǎn)，，故選：．3．（2020?江都區(qū)校級(jí)一模）如圖，在中，，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出，代入求出即可．【解答】解：對(duì)的圓周角是，對(duì)的圓心角是，又，，、、、四點(diǎn)共圓，，，故選：．4．（2020?啟東市一模）用一個(gè)圓心角為，半徑為6的扇形作一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面半徑為A．1 B．2 C．3 D．6【分析】易得扇形的弧長(zhǎng)，除以即為圓錐的底面半徑．【解答】解：扇形的弧長(zhǎng)，圓錐的底面半徑為．故選：．5．（2020?崇川區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在中，點(diǎn)、、在上，且，則A． B． C． D．【分析】在優(yōu)弧上任取一點(diǎn)，連接，，先由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出的度數(shù)，再由圓周角定理求出的度數(shù)即可．【解答】解：優(yōu)弧上任取一點(diǎn)，連接，，．四邊形內(nèi)接與，，，．故選：．6．（2020?無(wú)錫一模）如圖，是的直徑，、分別切于點(diǎn)、，若，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】連接，由弦切角定理得，再由切線的性質(zhì)求得，最后由切線長(zhǎng)定理求得的度數(shù)．【解答】解：連接，、分別切于點(diǎn)、，，，，是的直徑，，，．故選：．7．（2020?亭湖區(qū)校級(jí)一模）如圖，若銳角內(nèi)接于，點(diǎn)在外（與點(diǎn)在同側(cè)），則下列三個(gè)結(jié)論：①；②；③中，正確的結(jié)論為A．①② B．②③ C．①②③ D．①③【分析】連接，根據(jù)圓周角定理，可得，因?yàn)椋?，所以，根?jù)銳角三角形函數(shù)的增減性，即可判斷．【解答】解：如圖，連接，根據(jù)圓周角定理，可得，，，，根據(jù)銳角三角形函數(shù)的增減性，可得，，故①正確；，故②錯(cuò)誤；，故③正確；故選：．8．（2020?南通一模）若用半徑為6，圓心角為的扇形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓半徑為A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出扇形弧長(zhǎng)，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：扇形的弧長(zhǎng)，圓錐的底面圓的周長(zhǎng)，圓錐的底面圓半徑，故選：．二．填空題（共16小題）9．（2020?崇川區(qū)校級(jí)一模）某數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組制作了如下的三角函數(shù)計(jì)算圖尺：在半徑為1的半圓形量角器中，畫一個(gè)直徑為1的圓，把刻度尺的0刻度固定在半圓的圓心處，刻度尺可以繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．從圖中所示的圖尺可讀出的值是．【分析】如圖，連接．只要證明，可得．【解答】解：如圖，把刻度尺與圓的另一個(gè)交點(diǎn)記作，連接．是直徑，，，，，由刻度尺可知，，，故答案為：．10．（2020?崇川區(qū)校級(jí)一模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，以為直徑在正方形內(nèi)作半圓，將沿翻折，點(diǎn)剛好落在半圓的點(diǎn)處，則的長(zhǎng)為．【分析】連接，，然后，可以判定，從而可以得到的度數(shù)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，從而可以得到點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，然后根據(jù)勾股定理，即可求得的長(zhǎng)，本題得以解決．【解答】解：連接，，四邊形是正方形，將沿翻折得到，，，，在和中，，，又，，點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，設(shè)，則，，，，，解得，，即的長(zhǎng)為，故答案為：．11．（2020?錫山區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，是以為圓心，1為半徑的圓周上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，設(shè)的中點(diǎn)為，則線段的最小值為2．【分析】先確定最小值時(shí)點(diǎn)的位置：過作交軸于，由圖可知：當(dāng)經(jīng)過時(shí)，線段的長(zhǎng)最小，此時(shí)有最小值，根據(jù)勾股定理和三角形中位線定理可得的長(zhǎng)．【解答】解：過作交軸于，是的中點(diǎn)，，，當(dāng)取最小值時(shí)，最小，由圖可知：當(dāng)經(jīng)過時(shí)，線段的長(zhǎng)最小，此時(shí)有最小值，，，，，，，即線段的最小值為2；故答案為：2．12．（2020?江都區(qū)校級(jí)一模）如圖，將矩形繞點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到矩形的位置，，，則陰影部分的面積為．【分析】先求出，求出，求出，，分別求出扇形和三角形的面積，即可求出答案．【解答】解：四邊形是矩形，，，，，，，，由勾股定理得：，陰影部分的面積是，故答案為：．13．（2020?江都區(qū)校級(jí)一模）如圖，經(jīng)過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，是圓上一點(diǎn)，．圓心的坐標(biāo)是，．【分析】連接，，由圓周角定理可知為的直徑，再根據(jù)可求出以及的度數(shù)，在中，解直角三角形即可解決問題；【解答】解：連接，，，為的直徑，，，，過作于，則，，，，在中．，，，故答案為：，．14．（2020?宜興校級(jí)一模）用一個(gè)圓心角為，半徑為6的扇形作一個(gè)圓錐的側(cè)面，這個(gè)圓錐的底面圓的半徑是2．【分析】易得扇形的弧長(zhǎng)，除以即為圓錐的底面半徑．【解答】解：扇形的弧長(zhǎng)，圓錐的底面半徑為．故答案為：2．15．（2020?宜興校級(jí)一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，，，，則46．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出，計(jì)算即可．【解答】解：，，四邊形內(nèi)接于，，，故答案為：46．16．（2020?宜興校級(jí)一模）如圖，中，，，，為邊的中點(diǎn)，以上一點(diǎn)為圓心的和、均相切，則的半徑為．【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)．根據(jù)切線的性質(zhì)，知、是的半徑；然后由三角形的面積間的關(guān)系列出關(guān)于圓的半徑的等式，求得圓的半徑即可．【解答】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)．、是的切線，點(diǎn)、是切點(diǎn)，、是的半徑；；在中，，，，由勾股定理，得；又是邊的中點(diǎn)，，又，，即，解得，的半徑是．故答案為：．17．（2020?啟東市一模）如圖，是的弦，半徑，，則的度數(shù)為．【分析】連接，利用全等三角形的性質(zhì)證明是等邊三角形即可解決問題．【解答】解：如圖，連接，設(shè)交于．，，，，，，，，，，，是等邊三角形，，故答案為．18．（2020?崇川區(qū)校級(jí)一模）將圓心角為，面積為的扇形圍成一個(gè)圓維的側(cè)面，則此圓錐母線長(zhǎng)為4．【分析】先利用扇形的面積公式計(jì)算出扇形的半徑為，扇形的半徑就是圓錐的母線．【解答】解：設(shè)扇形的半徑為，則，解得，即圓錐的母線長(zhǎng)為．故答案為：4．19．（2020?崇川區(qū)校級(jí)一模）數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題：是的內(nèi)接三角形，于點(diǎn)．請(qǐng)借助直尺，畫出中的平分線．曉龍同學(xué)的畫圖步驟如下：（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)；（2）連接交于點(diǎn)．所以線段為所求中的平分線．請(qǐng)回答：曉龍同學(xué)畫圖的依據(jù)是垂徑定理和在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等．【分析】根據(jù)垂徑定理和圓周角定理的知識(shí)畫出圖形即可．【解答】解：如圖所示：線段為所求中的平分線，畫圖的依據(jù)是垂徑定理和在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；故答案為：垂徑定理和在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等．20．（2020?無(wú)錫一模）圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為240度．【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)圓錐底面周長(zhǎng)，圓心角弧長(zhǎng)母線長(zhǎng)計(jì)算．【解答】解：由題意知：弧長(zhǎng)圓錐底面周長(zhǎng)，扇形的圓心角弧長(zhǎng)母線長(zhǎng)．故答案為：240．21．（2020?無(wú)錫一模）如圖，在矩形中，，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)，圖中陰影部分的面積為．【分析】根據(jù)直角三角形角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得，然后求出，再根據(jù)陰影部分的面積列式計(jì)算即可得解．【解答】解：，（扇形的半徑），，，，，陰影部分的面積，，．故答案為：．22．（2020?灌南縣一模）如圖，是的直徑，是的弦，，則30．【分析】如圖，連接．求出即可解決問題．【解答】解：如圖，連接．是的直徑，，，，故答案為30．23．（2020?亭湖區(qū)校級(jí)一模）已知扇形的半徑為，圓心角的度數(shù)為，若將此扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則圍成的圓錐的底面半徑為1．【分析】正確理解圓錐側(cè)面與其展開得到的扇形的關(guān)系：圓錐的底面周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)．【解答】解：根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)公式，設(shè)底面圓的半徑是，則．故答案為：1．24．（2020?南通一模）如圖，在中，半徑垂直于弦，垂足為，若，，則24．【分析】直接垂徑定理得出，結(jié)合勾股定理得出的長(zhǎng)進(jìn)而得出答案．【解答】解：，，，，連接，在中，故．故答案為：24．三．解答題（共9小題）25．（2020?錫山區(qū)校級(jí)一模）已知：如圖，在中，，是角平分線，平分交于點(diǎn)，經(jīng)過，兩點(diǎn)的交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，恰為的直徑．（1）求證：與相切；（2）當(dāng)，時(shí)，求的半徑．【分析】（1）連接，證明，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)說(shuō)明，進(jìn)而證明；（2）結(jié)合已知求出，再證明，利用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算．【解答】（1）證明：連接，則平分在中，，是角平分線點(diǎn)在圓上，與相切；（2）解：在中，，是角平分線，，，在中，設(shè)的半徑為，則解得的半徑為．26．（2020?江都區(qū)校級(jí)一模）如圖，已知等腰三角形的底角為，以為直徑的與底邊交于點(diǎn)，過作，垂足為．（1）證明：為的切線；（2）連接，若，求的面積．【分析】（1）首先連接，，由以為直徑的，可得，又由等腰三角形的底角為，可得，即可證得，繼而可證得結(jié)論；（2）首先根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，求得，，的長(zhǎng)，然后求得，，以及的面積，繼而求得答案．【解答】（1）證明：連接，，為直徑，，即，是等腰三角形，，，是的中位線，，，，點(diǎn)在上，為的切線；（2）解：，，，，，，，，，，，，，．27．（2020?宜興市校級(jí)一模）如圖，中，經(jīng)過、兩點(diǎn)，且交于點(diǎn)，連接，．（1）證明與相切；（2）若的半徑為6，，求圖中陰影部分的面積．【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．由圓周角定理得出，再求出，根據(jù)切線的判定定理即可得出是的切線；（2）分別求出等邊三角形的面積和扇形的面積，即可求出答案．【解答】證明：（1）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．是的直徑，，，，，，即，又點(diǎn)在上，是的切線；（2）連接，，，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，，，．28．（2020?廣陵區(qū)校級(jí)一模）如圖，中，，以為直徑的交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接、．（1）判斷與的位置關(guān)系并說(shuō)明理由．（2）若半徑，，求的長(zhǎng)．【分析】（1）連接、，利用中位線定理可求出且，進(jìn)而可得出，由圓周角定理可得出，進(jìn)而可得出，結(jié)合、即可證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出，即與相切；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）連接、，如圖所示．點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，且，．又，．在和中，，，，與相切；（2）為的直徑，，，，，，，，，，，，，．29．（2020?崇川區(qū)校級(jí)一模）如圖，是的直徑，為上一點(diǎn)，過上一點(diǎn)作的切線，且于點(diǎn)．（1）若，求的度數(shù)；（2）若半徑為5，，求的長(zhǎng)．【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件即可求出的度數(shù)；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，由，，可得四邊形是矩形，得，再根據(jù)勾股定理即可求出的長(zhǎng)．【解答】解：（1）如圖，連接，為的切線，，，，，，，，，，；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，，，四邊形是矩形，，，在中，，．30．（2020?無(wú)錫一模）如圖，的頂點(diǎn)，在上，與相交于點(diǎn)，連接，，．（1）求圓心到弦的距離；（2）若，求證：是的切線．【分析】（1）連接，，過作于，得到是等邊三角形，求得，解直角三角形即可得到結(jié)論；（2）由（1）得，是等邊三角形，求得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，求得，于是得到是的切線．【解答】解：（1）連接，，過作于，，，，，是等邊三角形，，，，，，，圓心到弦的距離為：；（2）①由（1）得，是等邊三角形，，，，，，，，，是的切線．31．（2020?亭湖區(qū)校級(jí)一模）如圖，直線交于、兩點(diǎn)，是的直徑，平分交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．（1）求證：直線是的切線；（2）若，的半徑為5，求四邊形的面積．【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，即可得出答案；（2）首先得出四邊形是矩形，進(jìn)而利用勾股定理得出的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．【解答】（1）證明：連接，，．平分，．．是的直徑，，又，，，即，，又是半徑，與相切．（2）解：延長(zhǎng)，與交于點(diǎn)，由（1）可知，四邊形是矩形．，．又四邊形是矩形，，．．在中，，．．．32．（2020?高郵市一模）如圖，是的直徑，與相切于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求的半徑；（3）在（2）的條件下，求線段、及劣弧圍成的陰影部分面積．【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得出，即可得出，由，推出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，即可證得；（2）由，推出，所以，，得到，易知為等邊三角形，所以，得出結(jié)論；（3）三角形的面積減去扇形的面積即為線段、及劣弧圍成的陰影部分面積．【解答】解：（1）證明：連接，與相切，，，，，，，；（2），，，，，，，為等邊三角形，，