第七講 數(shù)學(xué)證明與趣談

第七講數(shù)學(xué)證明與趣談第1頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月一、什么做證明二、證明的幾種理解三、無字證明四、證明趣事五、證明的小結(jié)第2頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月一、什么做證明?

《辭?！罚骸案鶕?jù)已知真實(shí)的判斷來確定某一判斷的真實(shí)性的思維形式。”

根據(jù)某個(gè)或某些真實(shí)的數(shù)學(xué)命題和概念，斷定另一數(shù)學(xué)命題的真實(shí)性的推理過程叫做數(shù)學(xué)證明。數(shù)學(xué)證明是指數(shù)學(xué)的邏輯證明，它是數(shù)學(xué)科學(xué)的一大特點(diǎn)。一個(gè)定理就是一個(gè)命題。一個(gè)數(shù)學(xué)證明從某種意義上是一組命題或一類命題。（哈代，李文林，一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白，江蘇教育出版社，1996，P66）第3頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)證明的組成任何證明都由論題、論據(jù)和論證三部分組成。論題——待證明的論題命題論據(jù)——用于證明的一論據(jù)系列判斷論證——把論題和論據(jù)聯(lián)系起來的一系列推理第4頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月

說它容易，是因?yàn)橐话銜荆绕涫俏鞣降闹?，都公認(rèn)數(shù)學(xué)證明始于公元前六世紀(jì)。據(jù)說當(dāng)時(shí)的希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家泰勒斯(Thales)證明了幾條幾何定理，包括如直徑把圓平分、等腰三角形的底角相等、對(duì)頂角相等之類。到了公元前4世紀(jì)，歐幾里得寫成了不朽巨著《幾何原本》。他從一些基本定義與公理出發(fā)，以合乎邏輯的演繹手法推導(dǎo)出四百多條定理，從而奠定了數(shù)學(xué)證明的模式，成為后世宗師。蕭文強(qiáng),數(shù)學(xué)證明,江蘇教育出版社,1990年07月第1版,第4頁第5頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月

如果沒有嚴(yán)格的證明，則不能信服一事物是可能的還是不可能的。數(shù)學(xué)家曾證明了一系列可能的事和不可能的事。對(duì)于其它科學(xué)，如果也能像數(shù)學(xué)那樣嚴(yán)格地進(jìn)行推理和證明，則必將最終發(fā)現(xiàn)許多看上去可能的事其實(shí)是不可能的。莫里茲，數(shù)學(xué)的本性，P118第6頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月二、證明的幾種理解數(shù)學(xué)的證明與科學(xué)的證明之間存在著深刻的差別．這種差別是理解自畢達(dá)哥拉斯以來每個(gè)數(shù)學(xué)家工作的關(guān)鍵。

經(jīng)典數(shù)學(xué)的證明方法是，從一系列公理、定義出發(fā)，通過邏輯論證，一步一步地得到某個(gè)結(jié)論．如果公理是正確的，邏輯又沒有缺陷，那么得到的結(jié)論將是不可否定的。這個(gè)結(jié)論就是一個(gè)定理。數(shù)學(xué)證明依靠這一邏輯過程，而且一個(gè)定理一經(jīng)證明就永遠(yuǎn)是對(duì)的．

科學(xué)的證明依賴于觀察、實(shí)驗(yàn)和理解力。而這兩者都是容易出錯(cuò)的，從而它只能提供近似真理的概念．即使人們最為普遍地接受了的科學(xué)證明中也總存在著可疑的成分，而在另外—些場(chǎng)合，這種理論最終會(huì)被證明是錯(cuò)的，這就導(dǎo)致科學(xué)上的革命。張順燕編著,數(shù)學(xué)的源與流（第二版）,2000年版,第527-529頁第7頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)證明與科學(xué)證明有著本質(zhì)的判別

在物理學(xué)中，—個(gè)假設(shè)被提出來，用以解釋某一類物理現(xiàn)象如果對(duì)物理現(xiàn)象的觀察與這個(gè)假設(shè)相符，就成為這個(gè)假設(shè)成立的證據(jù)。進(jìn)而，這個(gè)假設(shè)不僅能描述已知的現(xiàn)象，而且能預(yù)見新的結(jié)果．如果它再次成功，那么就有更多的證據(jù)支持這個(gè)假設(shè)最終，證據(jù)的數(shù)量可能達(dá)到壓倒的程度，這個(gè)假設(shè)就作為一個(gè)理論而被接受．

數(shù)學(xué)證明與上不同，數(shù)學(xué)證明具有絕對(duì)的意義，是無可懷疑的。畢達(dá)哥拉斯公元前500年證明的定理，今天依然正確。數(shù)學(xué)不依賴于容易出錯(cuò)的實(shí)驗(yàn)證據(jù)，而是立足于邏輯。

張順燕編著,數(shù)學(xué)的源與流（第二版）,2000年版,第528頁

第8頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)的機(jī)械證明如幾何定理的機(jī)械證明，吳文俊、張景中等數(shù)學(xué)家做了大量工作，解決了等式型或不等型的機(jī)器證明。幾何的機(jī)器證明一般分三個(gè)步驟：1．從幾何公理系統(tǒng)出發(fā)，引進(jìn)坐標(biāo)系統(tǒng)，使任意幾何定理的證明問題成為純代數(shù)問題(幾何的代數(shù)化與坐標(biāo)化)。2．整理幾何定理假設(shè)部分的代數(shù)關(guān)系式，依照確定步驟，驗(yàn)證終結(jié)部分的代數(shù)關(guān)系式是否可以從假設(shè)部分的代數(shù)關(guān)系式推出(幾何的機(jī)械化)。3．依據(jù)第二步中確定步驟編成程序，在計(jì)算機(jī)上實(shí)施，以得出定理是否成立的最后結(jié)論。即公理化一代數(shù)化一坐標(biāo)化一機(jī)械化。丁石孫數(shù)學(xué)與教育，湖南教育出版社1998年04月第2版P112第9頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月三、無字證明第10頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第11頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月中學(xué)數(shù)學(xué)雜志

1992（8）第12頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)

，1992（4）

第13頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月婆什迦羅用圖去解釋勾股定理如魏晉人趙爽注《周髀算經(jīng)》弦圖一樣最后寫一句“看呀！”便不再說什么了。蕭文強(qiáng),《數(shù)學(xué)證明》,1990年07月第1版,第13頁第15頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第16頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第17頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第18頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第19頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第20頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第21頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第22頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月幾千年的數(shù)學(xué)史表明，直觀的、物理的方式早于形式演繹方式。正如美國數(shù)學(xué)史家克萊因所說的：

很久以前數(shù)學(xué)家就知道直覺的可靠性要?jiǎng)龠^邏輯的可靠性。

數(shù)學(xué)命題的直觀證明就是使用知覺來確認(rèn)論據(jù)的正確性與真實(shí)性，易于與人的經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合，所需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)較少。第23頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月案例1

不單在文獻(xiàn)上有這樣的記載，甚至“演示”(demonstrate)這個(gè)詞的希臘文，在歐幾里得的時(shí)代雖解釋為證明，在公元前6世紀(jì)的時(shí)候，卻有視覺、觀察的意思。

在歐幾里得的《原本》里，每條定理證畢都寫上“這就是要證明的”，后來變成拉丁文的QuodEratDemonstrandum，簡寫作Q．E．D．香港不少中學(xué)生習(xí)慣戲稱此謂英文“相當(dāng)容易做”(QuiteEasilyDone)的縮與!。最后那個(gè)字，便是視覺、觀察的證明遺留下來的痕跡了。蕭文強(qiáng),《數(shù)學(xué)證明》,江蘇教育出版社,1990年07月第1版,第6頁四、證明趣事第24頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月案例2“驢橋在此，愚者莫過”

原來歐幾里得的《幾何原本》是牛津大學(xué)的教科書，這個(gè)書第一篇中給出36個(gè)定義，再給出5個(gè)公設(shè)和5個(gè)公理，接著敘述了48個(gè)命題(定理)．其中命題五就是所謂“驢橋”問題：等腰三角形底角必相等。這個(gè)定理現(xiàn)在證法很簡單；引頂角的平分線是在后面才提到。于是，歐兒里德只能用前面的四個(gè)命題來證明，因此是長長一大篇，絕大部分學(xué)生到此就看不懂了，因此命題五就成為“笨蛋的難關(guān)”。

李小軍“數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)家趣事”第25頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月郭彬彩，王慶東，侯海軍，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)家，西安地圖出版社,2002.07，P52第26頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月案例3

70年代初，美國的東方民航公司登了一則廣告，大字標(biāo)題是“咖啡、茶、還是飛機(jī)？”頗吸引人，廣告效果好：“如果我們?cè)诙坛毯綑C(jī)上供應(yīng)飲品，便不能讓你如上公共汽車一樣隨來隨上飛機(jī)了?！苯又C明：“如果我們?cè)诙坛毯綑C(jī)上供應(yīng)飲品，服務(wù)員便沒有時(shí)間在飛機(jī)上賣票；服務(wù)員沒有時(shí)間在飛機(jī)上實(shí)票，乘客便須預(yù)購機(jī)票；乘客預(yù)購機(jī)票，我們便不用設(shè)置候用飛機(jī)；我們不用設(shè)置候用飛機(jī)，便不能保證乘客隨來隨有機(jī)位；如果不能有這項(xiàng)保證，也就沒資格叫做穿梭服務(wù)了！”風(fēng)趣地說明了一個(gè)證明怎樣把前提與一個(gè)并不明顯的結(jié)論連起來。蕭文強(qiáng),《數(shù)學(xué)證明》,1990年07月第1版,第9頁第27頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月

美國數(shù)學(xué)家科爾（F.N.Cole）在1903年10月作了一個(gè)無言的報(bào)告。他在黑板上寫下兩個(gè)式：267—1，193707721×761838257287。換句話說，他證明了267—1不是一個(gè)素?cái)?shù)。據(jù)說整個(gè)過程他一言不發(fā)，待他放下手中粉筆時(shí)，全場(chǎng)響起熱烈的掌聲。后來別人問他這花去多少時(shí)間，他說整個(gè)三年的日日夜夜。

蕭文強(qiáng),數(shù)學(xué)證明,1990年版,第43頁案例4第28頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月

狗猛酒酸宋國有個(gè)賣酒的人，買賣公道，待客恭敬，釀酒醇美，酒簾醒目，但酒賣不出去，都變酸了。后來有位長者對(duì)店主說：“是你的狗太兇猛啦！”原來，人家都怕店主的狗。有的人家讓小孩子來打酒，那只狗迎上去就咬人，誰還敢來呢?蕭文強(qiáng),《數(shù)學(xué)證明》,1990年07月第1版,第1頁案例5第29頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月

古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得(Euclid)(公元前300年)，在《幾何原本》中有了關(guān)于素?cái)?shù)的命題：素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)有無窮個(gè)，即“若有n個(gè)素?cái)?shù)，必有n+1個(gè)素?cái)?shù)。

證明：假設(shè)P是一個(gè)最大的素?cái)?shù)。令n為所有小于或等于P的素?cái)?shù)的乘積。則n+1很明顯不能被任何小于或等于P的素?cái)?shù)整除，因此只有兩種可能：

(1)n+1是一個(gè)大于P的素?cái)?shù)

(2)n+1的質(zhì)因子都大于P

不論是(1)或(2)的情況都會(huì)得到大于P的素?cái)?shù)。案例6第30頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月棘刺母猴燕王供養(yǎng)了一位自稱能在棘刺尖上雕母猴的衛(wèi)國人，并想看他表演。誰料這客人只顧吃喝玩樂，還說若國王要看棘刺母猴，必須半年不進(jìn)后宮，不喝酒，不吃肉，而且要待至雨停日出，似明似暗的一剎那才能看到。燕王拿他沒法，只好一直供養(yǎng)他。后來有位鐵匠對(duì)燕王說：我是打刀的，我知道刻?hào)|西需用小刀，而且刻的東西一定要比刀刃大方行。如果棘刺尖兒容納不下刀刃，就不能在上面雕刻了。請(qǐng)國王瞧瞧客人的刻刀，不就知道他有沒有說謊嗎?于是國王問客人取刻刀看，客人藉辭回家取刀趁機(jī)溜走了！蕭文強(qiáng),數(shù)學(xué)證明,1990年07月第1版,第1頁案例7第31頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于反證法，英國近代數(shù)學(xué)家哈代說得好：歐幾里得很喜歡采用歸謬法(即反證法)。這是數(shù)學(xué)家最有力的一件武器，比起象棋開局時(shí)犧牲一子以取得優(yōu)勢(shì)的讓棋法還要高明。象棋弈者不過犧牲一卒或頂多一子，數(shù)學(xué)家則索性把全局拱手讓子對(duì)方！歐陽鋒,數(shù)學(xué)的藝術(shù),1997年版,第181頁第32頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月

柏拉圖在《理想園》的一段話，這是很可信的：你一定曉得，研究幾何、算術(shù)或類似科學(xué)的人，以奇數(shù)、偶數(shù)、圖形、三種角及這一類東西作為基礎(chǔ)。這是他們的研究的出發(fā)點(diǎn)，他們不認(rèn)為有需要對(duì)這些再加任何說明，這是開始的原理。如，

公元前6世紀(jì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派關(guān)于圖形數(shù)的一些定理，看來是憑形象觀察去證明的。他們常把數(shù)描繪成小石于，按小石子能排列成的形狀把數(shù)分類。例如，l、4、9、16，…叫做正方形數(shù)；1、3、6、10、…叫做三角形數(shù)蕭文強(qiáng),數(shù)學(xué)證明,江蘇教育出版社,1990年07月第1版,第5頁第33頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第34頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月把這四個(gè)這樣的三角形合成一矩形，再重新拼湊尋20塊小片，得到另一矩形，兩矩形的面積相等，一個(gè)是2ab，另一個(gè)是2r(a+b+c).故2ab=2r(a+b+c)即2r=2ab/(a+b+c).第35頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第36頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第37頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月蕭文強(qiáng),《數(shù)學(xué)證明》,1990年07月第1版,第25頁第38頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月蕭文強(qiáng),《數(shù)學(xué)證明》,1990年07月第1版,第27—28頁誰能保證證明沒有錯(cuò)誤呢？如湯普遜一菲特定理為例，有多少人能透徹讀通那255頁？所謂透徹，是指連文章里引用到的定理也全部核實(shí)。這番功夫是很費(fèi)勁的，而且要十分仔細(xì)，任何細(xì)節(jié)都不能放過或者借別人之手去驗(yàn)證。即使真的有這樣的人，怎能肯定任何錯(cuò)誤都逃不過他的銳利目光呢?

第39頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月?lián)f，波蘭數(shù)學(xué)家史坦因豪斯的學(xué)生，根據(jù)希爾伯特《幾何基礎(chǔ)》公理的形式化，把勾股定理的證明幾乎寫了89頁，這只不過是一條定理的證明而巳。

最著名的是羅素與懷特海1910一1913年出版的三卷巨著《數(shù)學(xué)原理》，根據(jù)公理化方法，花了三百多頁的篇幅才證明了1+1＝2。有人認(rèn)為這是最不可讀的杰作。軍蕭文強(qiáng),《數(shù)學(xué)證明》,1990年07月第1版,第29頁第40頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月使用計(jì)算機(jī)檢驗(yàn)全部可能情況得出結(jié)論的證明，也沒有使我們?cè)鎏砝斫?。?jì)算機(jī)證明令我不滿意并非是它有沒有核實(shí)該命題，正如用人手花幾個(gè)月檢驗(yàn)幾百頁的證明一樣，而是通過證明并沒有使我獲得理解。固然，這引起證明還有另一項(xiàng)功用，就是導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)，其實(shí)這也是理解了問題后的收獲。

計(jì)算機(jī)的興起，有些證明運(yùn)用了計(jì)算機(jī)去驗(yàn)算四色問題的計(jì)算機(jī)證明，爭論頗大，算不算是數(shù)學(xué)證明?誰能確定計(jì)算機(jī)不會(huì)出錯(cuò)。若證明出錯(cuò)，那是計(jì)算機(jī)本身的毛病，還是該證明本身的紕漏？

蕭文強(qiáng),數(shù)學(xué)證明,1990年版,第43頁第41頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月哈代說：我相信素?cái)?shù)定理是因?yàn)橥呷R—普桑對(duì)它的證明，但我并不認(rèn)為《數(shù)學(xué)原理》中的證明而相信2+2=4。對(duì)任何數(shù)學(xué)家來說，不言而喻的是一個(gè)結(jié)論的明顯性并不影響到證明它的有趣性。賀賢孝P109第42頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月

通常的證明，如數(shù)學(xué)家哈代說的“指指點(diǎn)點(diǎn)”，并不是形式化的純邏輯推導(dǎo)。哈代的《數(shù)學(xué)證明》：嚴(yán)格來說，沒有所謂證明這個(gè)東西，歸根結(jié)底，我們只能指指點(diǎn)點(diǎn)。我與李特爾伍德把證明管叫“氣體”，它只是修辭雄辯，用以加強(qiáng)心理感受；它只是講課中在黑板上畫的圖畫，用以激發(fā)學(xué)生的想像力。蕭文強(qiáng),《數(shù)學(xué)證明》,1990年07月第1版,第29頁第43頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月“指指點(diǎn)點(diǎn)”，自然涉及人的因素。講解證明的是人，理解證明的也是人。通常的數(shù)學(xué)證明其實(shí)是一項(xiàng)社會(huì)活動(dòng)，難怪蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家曼寧說：

一個(gè)證明只當(dāng)它通過‘被接納為證明’這項(xiàng)社會(huì)行為后，它才算是證明。集合論創(chuàng)立人德國數(shù)學(xué)家康托發(fā)現(xiàn)一個(gè)驚人結(jié)果，1874年寫信給數(shù)學(xué)家戴德金，能把正方形上的點(diǎn)與線段上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來。他認(rèn)為雖然大家都傾向于相信那是不可能的，要真正決定對(duì)或錯(cuò)卻并不容易。過了三年多，他找到了答案，但不是如想像中的那樣，反而他證明了正方形上的點(diǎn)與它的一條邊上的點(diǎn)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。在這個(gè)意義上，正方形與它的一條邊有同樣多的點(diǎn)?？低邪堰@個(gè)發(fā)現(xiàn)及證明告訴了戴德金。并對(duì)戴德金說：除非我從你這位老朋友口中得悉證明是對(duì)或錯(cuò)，否則我的心情難以平靜下來。在你未曾證實(shí)這回事之前，我只能說，我看到，但我不相信！蕭文強(qiáng),《數(shù)學(xué)證明》,1990年07月第1版,第30-31頁第44頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月

上世紀(jì)70年代后期，有兩組數(shù)學(xué)家同時(shí)計(jì)算數(shù)學(xué)中拓?fù)淇臻g的同倫群。有趣的是兩組入得到了不同的答案!一組數(shù)學(xué)家在美國另一組數(shù)學(xué)家在日本為求真相他們交換筆記詳加審查，每組各自聚精會(huì)神尋找對(duì)方的紕漏。結(jié)果都找不到對(duì)方證明的錯(cuò)誤，但顯然至少有一個(gè)證明是不對(duì)的。后來，第三組數(shù)學(xué)家發(fā)表了與美國組相符的答案，于是美國組暫時(shí)占了上風(fēng)。這說明所謂證明，有人的因素，這方面占有重要地位。蕭文強(qiáng),《數(shù)學(xué)證明》,1990年07月第1版,第28頁第45頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月

命題：任何三角形皆等腰！證明：設(shè)△ABC是任一三角形，作BC的中垂線DO與∠BAC的內(nèi)角平分線AO相交于點(diǎn)O，從O作垂線OE，OF，分別垂直于AB，AC，連OB和OC。則△AOE與△AOF全等，△ODB與△ODC，△OBE與△OCF全等。若DO與AO相交于三角形內(nèi)，如圖1，便有AB=AE+BE=AF+CF=AC，若DO與AO相交于三角形外，如圖2，便有AB=A－EBE=AF－CF=AC。無論哪種情況，三角形都是等腰三角形。證畢。

這錯(cuò)在什么地方？蕭文強(qiáng),《數(shù)學(xué)證明》,1990年07月第1版,第15頁第46頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月命題：任何三角形皆等腰！

設(shè)△ABC是任一三角形，作BC的中垂線DO與∠BAC的內(nèi)角平分線AO相交于點(diǎn)O，第47頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月阿貝爾對(duì)近三百年還沒有解決的五次多項(xiàng)式方程根式求解的問題進(jìn)行研究。1821年，他以為找到了五次方程的解的公式，他的老師也找不出證明中的任何紕漏，求助當(dāng)時(shí)水平較高的丹麥數(shù)學(xué)家狄根，他也找不出紕漏，但憑經(jīng)驗(yàn)他覺得應(yīng)審慎處理這個(gè)困惑了三百年的難題。他回信說：阿貝爾年紀(jì)尚輕，他沒有達(dá)到解決這個(gè)問題的目標(biāo)，但我們?nèi)猿姓J(rèn)他是稀有的天賦奇才。我并非想阻撓他向科學(xué)院提出論文，但希望他舉一個(gè)實(shí)例加以演算，以資證明，這是必要的試金石。阿貝爾聽從勸告，通過實(shí)例找到了證明中的謬誤。過了三年，阿貝爾得出了完全相反的結(jié)論：五次或更高次的方程一般不能以根式求解。蕭文強(qiáng),《數(shù)學(xué)證明》,1990年07月第1版,第31頁第48頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月阿貝爾由于沒錢印刷，只好把內(nèi)容濃縮為六頁，于是文章艱澀難懂，加上印得亂七八糟，令人看不上。把文章寄給了巴黎科學(xué)院數(shù)學(xué)家柯西與勒讓德。勒讓德年事已高，轉(zhuǎn)給柯西?？挛髅τ谧约旱难芯?，看也不看扔在一旁。德國數(shù)學(xué)家雅可比恰巧也研究同一課題，他在別處看到阿貝爾的文章，十分欽佩，同時(shí)他知道阿貝爾論文早交巴黎科學(xué)院，但杳無音信。便寫信給勒讓德，憤怒地說：如此偉大的發(fā)現(xiàn)，甚至可能是本世紀(jì)最偉大的發(fā)現(xiàn)，阿貝爾先生兩年前巳向貴院提出，何以閣下與同僚對(duì)此不聞不問？他要求科學(xué)院拿出原稿。柯西找回原稿，勒讓德讀后驚呼：他真的找到了我長期想要解決的問題的答案，他已經(jīng)做出了世界上最困難的發(fā)現(xiàn)，他已經(jīng)找到我40年來想尋找的答案！

蕭文強(qiáng),數(shù)學(xué)證明,1990年07月第1版,第32頁第49頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月法國大思想家盧梭描述，當(dāng)我第一次通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)：一個(gè)二項(xiàng)式的平方等于它的各項(xiàng)的平方和加上這兩項(xiàng)之積的倍，根本不相信這一結(jié)果，直到我找到了一個(gè)能驗(yàn)證它的幾何圖形，情況才發(fā)生了根本變化我最喜歡把代數(shù)看做一種純抽象的量，但當(dāng)我們果真擴(kuò)大它的應(yīng)用范圍時(shí)，我又喜歡看到這種擴(kuò)展在線條上進(jìn)行，否則我就什么也不能理解。第50頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月德國物理學(xué)家馬赫巧妙地使用一根鐵絲證明了多邊形內(nèi)角和定理，一時(shí)傳為佳話。第51頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月巧布直觀背景:

O是正方形的中心，以AB為斜邊向正方形外任作一個(gè)直角三角形ABE，聯(lián)結(jié)OE，那么，不論E在什么位置上，總有角AEO=450，你相信嗎？等價(jià)地說，以AB為直徑向正方形外作半圓，則圓周上任一點(diǎn)E（與A不重合）對(duì)A，O兩點(diǎn)所張的視角總是450，你不覺得這是很怪的事嗎？！取三個(gè)與三角形ABE相同的三角形與正方形ABCD另三邊拼接成正方形。那么，一目了然。賀賢孝P7，8第52頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》第四卷中介紹了一個(gè)勾股定理的推廣命題：設(shè)三角形ABC是一任意三角形，以AB，AC為邊任意作兩個(gè)平行四邊形ABB1A1，ACC1A2。點(diǎn)M是B1A1與C1A2的交點(diǎn)，連AM，作BB2平行且等于AM，BB2、BC為邊作平行四邊形BCC2B2，則其面積等于平行四邊形ABB1A1，ACC1A2的面積之和。

如圖加上陰影線，則帕普斯的結(jié)果躍然紙上。第53頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月笛卡兒在《思維的指導(dǎo)法則》一書中所評(píng)價(jià)的用幾何圖形去表達(dá)這類事情是極為有利的，因?yàn)闆]有什么東西比幾何圖形更容易進(jìn)入人們的思維。

數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫也指出：在只要有可能的地方，數(shù)學(xué)家總是力求把他們研究的問題盡量地變成可借用幾何直觀的問題……幾何想像，或如同平常人們所說的幾何直覺，對(duì)于幾乎所有數(shù)學(xué)分科的研究工作，甚至對(duì)于最抽象的工作有著重大的意義?！辟R賢孝P12第54頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月法國數(shù)學(xué)家羅增儒，數(shù)學(xué)的領(lǐng)悟，河南科學(xué)技術(shù)出版社,1997P94-95第55頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月吳振奎，吳彬，異曲同工，天津教育出版社,2007，P35-38第56頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月吳振奎，吳彬，異曲同工，天津教育出版社,2007，P35-38正方體面涂色第57頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第58頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第59頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月

劉徽析理以辭，解體用圖。長期探索九章算術(shù)的奧秘，領(lǐng)悟其中道理，這不是推理又是什么呢?

析理以辭——邏輯推理解體用圖——直觀推理兩者并用，即能獲致簡潔清晰而又嚴(yán)密完整的證明了．蕭文強(qiáng),《數(shù)學(xué)證明》,1990年07月第1版,第11頁第60頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月羅增儒，數(shù)學(xué)的領(lǐng)悟，河南科學(xué)技術(shù)出版社,1997第61頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月近代著名的德國數(shù)學(xué)家魏爾說得好：“邏輯是數(shù)學(xué)家為保持思想強(qiáng)健而遵守的衛(wèi)生規(guī)則。蕭文強(qiáng),數(shù)學(xué)證明,1990年07月第1版,第41頁所謂數(shù)學(xué)證明就是依照循守公認(rèn)章法，去核實(shí)直覺是否導(dǎo)致正確答案的活動(dòng)。我們不能否認(rèn)證明的重要，但也不要把它強(qiáng)調(diào)為數(shù)學(xué)家的唯一活動(dòng)。

蕭文強(qiáng),數(shù)學(xué)證明,1990年07月第1版,第41頁五、小結(jié)：第62頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月戴維斯(P．J.Davis)和赫什(R·Hersh)說得好：

在最好的情況下，證明通過揭示事物的核心而增強(qiáng)理解．證明提供新的數(shù)學(xué)．初學(xué)證明的人變得更加接近于新數(shù)學(xué)的創(chuàng)造．證明是數(shù)學(xué)的力量，是這門學(xué)科用來賦予定理的靜態(tài)斷言以活力的電壓．戴再平.數(shù)學(xué)方法與解題研究.高等教育出版社,1996年04月第1版.P71第63頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月法國數(shù)學(xué)家勒貝格說道：每當(dāng)碰到有新發(fā)現(xiàn)，便需要引進(jìn)邏輯作為控制，只有憑邏輯才能最終決定這發(fā)現(xiàn)是正確的，還是僅為幻象而已。因此，邏輯的作用雖重要，畢竟是次要吧。德國數(shù)學(xué)家克萊因：在某種意義上說，數(shù)學(xué)的進(jìn)展主要?dú)w功于那些以直覺能力著稱的人多于那些以嚴(yán)謹(jǐn)證明著稱的人。