從數(shù)學(xué)模型角度談偏微分方程的討論

從數(shù)學(xué)模型角度談偏微分方程的討論

一、自然現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型復(fù)合器從最初的研究中直接來(lái)源于物理和幾何，發(fā)展到獨(dú)立于數(shù)學(xué)的分支。它的內(nèi)容和方法是復(fù)雜的。偏微分方程討論的問(wèn)題不僅來(lái)源于物理、力學(xué)、生物、幾何和化學(xué)等學(xué)科的古典問(wèn)題,而且在解決這些問(wèn)題時(shí)應(yīng)用了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的許多工具。近幾十年來(lái),該領(lǐng)域的研究工作,特別是對(duì)非線性方程的理論、應(yīng)用以及計(jì)算方法的研究起到了極大的推動(dòng)作用,十分活躍。用數(shù)學(xué)方法處理應(yīng)用問(wèn)題時(shí),首先是要建立合理的數(shù)學(xué)模型。在科學(xué)技術(shù)日新月異的發(fā)展過(guò)程中,人們研究的許多問(wèn)題用一個(gè)自變量的函數(shù)來(lái)描述已經(jīng)顯得不夠了,不少問(wèn)題需要用多個(gè)變量的函數(shù)來(lái)描述。這樣建立的數(shù)學(xué)模型在很多情況下是偏微分方程。比如,從物理角度來(lái)說(shuō),物理量有不同的性質(zhì),溫度、密度等是用數(shù)值來(lái)描述的叫做純量;速度、電場(chǎng)的引力等,不僅在數(shù)值上有不同,而且還具有方向,這些量叫做向量;物體在一點(diǎn)上的張力狀態(tài)的量叫做張量。這些量不僅和時(shí)間有關(guān)系,而且和空間坐標(biāo)也有聯(lián)系,這就要用多個(gè)變量的函數(shù)來(lái)表示。研究某些物理現(xiàn)象的理想了的多個(gè)變量的函數(shù)方程,這種方程就是偏微分方程。物質(zhì)總是在時(shí)間和空間中運(yùn)動(dòng)著的。雖然物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)形式千差萬(wàn)別,然而卻具有共同的量的變化規(guī)律?？陀^世界的一切事物的運(yùn)動(dòng)和變化在數(shù)學(xué)上的反映就是變量的概念。事物的運(yùn)動(dòng)和變化又是相互依賴、相互制約的,反映在數(shù)學(xué)上,就是變量之間的關(guān)系,從而又形成了函數(shù)的概念。由于大量的實(shí)際問(wèn)題中,稍微復(fù)雜一些的運(yùn)動(dòng)過(guò)程往往不能直接寫(xiě)出他們的函數(shù),卻容易建立變量及其導(dǎo)數(shù)(或微分)間的關(guān)系式,即微分方程。如果一個(gè)微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)只含一個(gè)自變量,這個(gè)方程叫做常微分方程;如果一個(gè)微分方程中出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),或者說(shuō)如果未知函數(shù)和幾個(gè)變量有關(guān),而且方程中出現(xiàn)未知函數(shù)對(duì)幾個(gè)變量的導(dǎo)數(shù),那么這種微分方程就是偏微分方程。因此微分方程分為常微分方程和偏微分方程。因?yàn)樽匀滑F(xiàn)象中可能含有一個(gè)變量,更可能含有多個(gè)變量。由于自然現(xiàn)象往往是由多種因素決定的,描寫(xiě)這類(lèi)現(xiàn)象的狀態(tài)函數(shù)一般是多變量的,所以,自然現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型用得最多的是偏微分方程。大學(xué)的《偏微分方程》課程講的正是這方面的內(nèi)容。問(wèn)題在于怎樣從數(shù)學(xué)模型的角度去認(rèn)識(shí)它,如何把它作為解決具體問(wèn)題的技術(shù)手段。自然界中的各種必然過(guò)程,比如物理、力學(xué)和工程技術(shù)中所抽象出來(lái)的那些物理量的狀態(tài)和相互關(guān)系,一般地可以建立三類(lèi)典型的偏微分方程,即雙曲型偏微分方程、拋物型偏微分方程和橢圓型偏微分方程。在《偏微分方程》或《數(shù)學(xué)物理方程》中,它們又分別被稱為波動(dòng)方程(或振動(dòng)方程)、熱傳導(dǎo)方程、位勢(shì)方程(或拉普拉斯方程和泊松方程)。如果客體是屬于各種波動(dòng)現(xiàn)象或振動(dòng)現(xiàn)象,諸如電磁波的波動(dòng)過(guò)程,水波、聲波等各種機(jī)械波的波動(dòng)過(guò)程,弦的振動(dòng)過(guò)程等,都可以用雙曲型偏微分方程來(lái)表示。因?yàn)檫@類(lèi)客體的量變規(guī)律具有共性,它們?cè)谶m當(dāng)條件下都可以抽象成理想化的狀態(tài),雙曲型偏微分方程恰好提供了在理想化狀態(tài)下處理該類(lèi)客體中各種量之間相互依存及發(fā)展變化的模式。如果說(shuō)“雙曲型偏微分方程”這一名稱典型的刻畫(huà)了純數(shù)學(xué)中數(shù)量關(guān)系和空間形式的特征的話,那么“波動(dòng)方程”(或“振動(dòng)方程”)這一名詞則形象地反映了客體的質(zhì)與量的特征,它更傾向于應(yīng)用數(shù)學(xué),所以它不是出現(xiàn)在純數(shù)學(xué)中,而是成為《數(shù)學(xué)物理方程》中的術(shù)語(yǔ)。同理,客體若是自然界中各種輸運(yùn)現(xiàn)象,諸如熱傳導(dǎo)過(guò)程、分子擴(kuò)散過(guò)程等,都可以用拋物型偏微分方程?！稊?shù)學(xué)物理方程》中熱傳導(dǎo)方程正是從該類(lèi)客體共有的已知科學(xué)規(guī)律出發(fā),運(yùn)用現(xiàn)成的純數(shù)學(xué)工具而建立的數(shù)學(xué)模型。如果自然界中各種穩(wěn)定的物理現(xiàn)象,諸如穩(wěn)定的溫度分布、濃度分布、靜電場(chǎng)、無(wú)旋穩(wěn)定恒電流場(chǎng)等與時(shí)間無(wú)關(guān)的自然現(xiàn)象,那么就可以建立位勢(shì)方程(拉普拉斯方程和泊松方程)這樣的數(shù)學(xué)模型,這正是純數(shù)學(xué)中橢圓型偏微分方程進(jìn)入穩(wěn)定的物理現(xiàn)象的橋梁。自然界是一個(gè)特大的系統(tǒng),必然現(xiàn)象不過(guò)是其中的一個(gè)子系統(tǒng)。而波動(dòng)現(xiàn)象、輸運(yùn)現(xiàn)象和穩(wěn)定的物理現(xiàn)象,又是必然現(xiàn)象的下一個(gè)層次的三個(gè)子系統(tǒng)。與此相對(duì)應(yīng),作為描述必然現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型的經(jīng)典數(shù)學(xué),它也有雙曲型、拋物型和橢圓型偏微分方程這三個(gè)子系統(tǒng)。因此,同是自然界中的必然現(xiàn)象,仍有次一級(jí)層次的質(zhì)的不同。究竟應(yīng)該建立哪種數(shù)學(xué)模型,就要具體問(wèn)題具體分析。當(dāng)然,對(duì)于特定的具體問(wèn)題,要確切地了解其運(yùn)動(dòng),僅有反映共同運(yùn)動(dòng)規(guī)律的微分方程是不夠的,還要考慮所研究對(duì)象處于怎樣的待定“歷史”和“環(huán)境”之中。歷史狀況體現(xiàn)在以某一時(shí)刻為開(kāi)始的初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài),叫做初始條件,而周?chē)h(huán)境的影響則表現(xiàn)在邊界上的實(shí)際狀況,叫做邊界條件。一個(gè)微分方程只有加上確定的初始條件和邊界條件以后,才構(gòu)成特定問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,這就是《數(shù)學(xué)物理方程》中微分方程的“定解問(wèn)題”。二、偏微分方程解的引進(jìn)十八世紀(jì),歐拉在他的著作中最早提出了弦振動(dòng)的二階方程,隨后不久,法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾也在他的著作《論動(dòng)力學(xué)》中提出了特殊的偏微分方程。這些著作當(dāng)時(shí)沒(méi)有引起多大注意。1747年,達(dá)朗貝爾在他的論文《張緊的弦振動(dòng)時(shí)形成的曲線的研究》中,明確導(dǎo)出了弦的振動(dòng)所滿足的偏微分方程,并給出了其通解。提議證明無(wú)窮多種和正弦曲線不同的曲線是振動(dòng)的模式。這樣就由對(duì)弦振動(dòng)的研究開(kāi)創(chuàng)了偏微分方程這門(mén)學(xué)科。達(dá)朗貝爾發(fā)表的論文《張緊的弦振動(dòng)時(shí)形成的曲線的研究》被看作是偏微分方程論的開(kāi)端。和歐拉同時(shí)代的瑞士數(shù)學(xué)家丹尼爾·貝努利也研究了數(shù)學(xué)物理方面的問(wèn)題,提出了解彈性系振動(dòng)問(wèn)題的一般方法,對(duì)偏微分方程的發(fā)展起了比較大的影響。拉格朗日也討論了一階偏微分方程,豐富了這門(mén)學(xué)科的內(nèi)容。偏微分方程得到迅速發(fā)展是在十九世紀(jì),那時(shí)候,數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的研究繁榮起來(lái)了,許多數(shù)學(xué)家都對(duì)數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的解決做出了貢獻(xiàn)。這里應(yīng)該提一提法國(guó)數(shù)學(xué)家傅立葉,他年輕的時(shí)候就是一個(gè)出色的數(shù)學(xué)學(xué)者。在從事熱流動(dòng)的研究中,寫(xiě)出了《熱的解析理論》,在文章中他提出了三維空間的熱方程,也就是一種偏微分方程。他的研究對(duì)偏微分方程發(fā)展的影響是很大的。1749年,歐拉發(fā)表的論文《論弦的振動(dòng)》討論了同樣的問(wèn)題,并沿用達(dá)朗貝爾的方法,引進(jìn)了初始形狀為正弦級(jí)數(shù)的特解。18世紀(jì),計(jì)算兩個(gè)物體之間的引力問(wèn)題,引出另一類(lèi)重要的偏微分方程——位勢(shì)方程,它是1785年拉普拉斯(P.S.Laplace,1749-1827)在論文《球狀物體的引力理論與行星形狀》中導(dǎo)出的,現(xiàn)在通常稱為“拉普拉斯方程”。隨著物理學(xué)所研究的現(xiàn)象從力學(xué)向電學(xué)以及電磁學(xué)的擴(kuò)展,到19世紀(jì),偏微分方程的求解成為數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家關(guān)注的重心。1822年,法國(guó)數(shù)學(xué)家傅立葉(J.Fourier,1768-1830)發(fā)表的論文《熱的解析理論》,研究了吸熱或放熱物體內(nèi)部任何點(diǎn)處的溫度變化隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律,導(dǎo)出了三維空間的熱傳導(dǎo)方程。傅立葉解決了特殊條件下的熱傳導(dǎo)問(wèn)題,也就是滿足邊界條件和初始條件的偏微分方程的求解。并且得到結(jié)論:可以將區(qū)間上的任何函數(shù)表示為我們通常所稱的傅立葉級(jí)數(shù)。英國(guó)數(shù)學(xué)家格林(G.Green,1793-1841)是19世紀(jì)研究偏微分方程中位勢(shì)方程的重要代表人物。他用奇異點(diǎn)方法研究了位勢(shì)方程,并在1828年出版的小冊(cè)子《關(guān)于數(shù)學(xué)分析應(yīng)用于電磁學(xué)理論的一篇論文》中建立了許多對(duì)于推動(dòng)位勢(shì)理論的進(jìn)一步發(fā)展極為關(guān)鍵的定理和概念,其中以格林公式和作為一種帶奇異性的特殊位勢(shì)的格林函數(shù)概念影響最為深遠(yuǎn)。19世紀(jì)導(dǎo)出的著名偏微分方程還有麥克斯韋電磁場(chǎng)方程、粘性流體運(yùn)動(dòng)的納維-司托克斯方程以及彈性介質(zhì)的柯西方程等,所有這些方程都不存在普遍解法。和常微分方程一樣,求偏微分方程顯式解的失敗,促使數(shù)學(xué)家們考慮偏微分方程解的存在性問(wèn)題?？挛魇茄芯科⒎址匠探獾拇嬖谛缘牡谝蝗恕？挛鞯墓ぷ骱髞?lái)被俄國(guó)女?dāng)?shù)學(xué)家柯瓦列夫斯卡婭發(fā)展為非常一般的形式,現(xiàn)代文獻(xiàn)中稱有關(guān)的偏微分方程解的存在唯一性定理為“柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理”?？峦吡蟹蛩箍▼I是歷史上第一位女?dāng)?shù)學(xué)博士,歷史上為數(shù)不多的杰出女?dāng)?shù)學(xué)家之一,也是俄國(guó)科學(xué)院歷史上第一位女院士,為此俄國(guó)科學(xué)院還專門(mén)修改了院章中不接納女性院士的規(guī)定。偏微分方程包含的內(nèi)容可從一個(gè)例子的研究加以介紹。弦振動(dòng)是一種機(jī)械運(yùn)動(dòng),當(dāng)然機(jī)械運(yùn)動(dòng)的基本定律是質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的F=ma,但是弦并不是質(zhì)點(diǎn),所以質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的定律并不適用在弦振動(dòng)的研究上。然而,如果我們把弦細(xì)細(xì)地分成若干個(gè)極小極小的小段,每一小段抽象地看作是一個(gè)質(zhì)點(diǎn),這樣我們就可以應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的基本定律了。弦是指又細(xì)又長(zhǎng)的彈性物質(zhì),比如弦樂(lè)器所用的弦就是細(xì)長(zhǎng)的、柔軟的、帶有彈性的。演奏的時(shí)候,弦總是繃緊著具有一種張力,這種張力大于弦的重量幾萬(wàn)倍。當(dāng)演奏的人用薄片撥動(dòng)或者用弓在弦上拉動(dòng),雖然只因其所接觸的一段弦振動(dòng),但是由于張力的作用,傳播到使整個(gè)弦振動(dòng)起來(lái)。用微分的方法分析可得到弦上一點(diǎn)的位移是這一點(diǎn)所在的位置和時(shí)間為自變量的偏微分方程。上述例子是弦振動(dòng)方程,它屬于數(shù)學(xué)物理方程中的波動(dòng)方程,也就是雙曲型偏微分方程。偏微分方程的解一般有無(wú)窮多個(gè),但是解決具體的物理問(wèn)題的時(shí)候,必須從中選取所需要的解,因此,還必須知道附加條件。因?yàn)槠⒎址匠淌峭活?lèi)現(xiàn)象的共同規(guī)律的表示式,僅僅知道這種共同規(guī)律還不足以掌握和了解具體問(wèn)題的特殊性,所以就物理現(xiàn)象來(lái)說(shuō),各個(gè)具體問(wèn)題的特殊性就在于研究對(duì)象所處的特定條件,就是初始條件和邊界條件。拿上面所舉的弦振動(dòng)的例子來(lái)說(shuō),對(duì)于同樣的弦的弦樂(lè)器,如果一種是以薄片撥動(dòng)弦,另一種是以弓在弦上拉動(dòng),那么它們發(fā)出的聲音是不同的。原因就是由于“撥動(dòng)”或“拉動(dòng)”的那個(gè)“初始”時(shí)刻的振動(dòng)情況不同,因此產(chǎn)生后來(lái)的振動(dòng)情況也就不同。天文學(xué)中也有類(lèi)似情況,如果要通過(guò)計(jì)算預(yù)言天體的運(yùn)動(dòng),必須要知道這些天體的質(zhì)量,同時(shí)除了牛頓定律的一般公式外,還必須知道我們所研究的天體系統(tǒng)的初始狀態(tài),就是在某個(gè)起始時(shí)間,這些天體的分布以及它們的速度。在解決任何數(shù)學(xué)物理方程的時(shí)候,總會(huì)有類(lèi)似的附加條件。就弦振動(dòng)來(lái)說(shuō),弦振動(dòng)方程只表示弦的內(nèi)點(diǎn)的力學(xué)規(guī)律,對(duì)弦的端點(diǎn)就不成立,所以在弦的兩端必須給出邊界條件,也就是考慮研究對(duì)象所處的邊界上的物理狀況。帶有邊界條件的微分方程問(wèn)題也叫做邊值問(wèn)題。當(dāng)然,客觀實(shí)際中也還是有“沒(méi)有初始條件的問(wèn)題”,如定場(chǎng)問(wèn)題(靜電場(chǎng)、穩(wěn)定濃度分布、穩(wěn)定溫度分布等),也有“沒(méi)有邊界條件的問(wèn)題”,如著重研究不靠近兩端的那段弦,就抽象的成為無(wú)邊界的弦了。在數(shù)學(xué)上,初始條件和邊界條件叫做定解條件。偏微分方程本身是表達(dá)同一類(lèi)物理現(xiàn)象的共性的,是作為解決問(wèn)題的依據(jù);定解條件卻反映出具體問(wèn)題的個(gè)性,它提出了問(wèn)題的具體情況。方程和定解條件合二為一體,就叫做定解問(wèn)題。求偏微分方程的定解問(wèn)題可以先求出它的通解,然后再用定解條件確定出函數(shù)。但是一般來(lái)說(shuō),在實(shí)際中通解是不容易求出的,用定解條件確定函數(shù)更是比較困難的。偏微分方程的解法可以用分離系數(shù)法、傅立葉變換法、拉普拉斯變換法以及數(shù)值解法等。分離系數(shù)法可以求解有界空間中的定解問(wèn)題,分離系數(shù)法可以求解無(wú)界空間的定解問(wèn)題;也可以用拉普拉斯變換法去求解一維空間的數(shù)學(xué)物理方程的定解。對(duì)方程實(shí)行拉普拉斯變換可以將偏微分方程轉(zhuǎn)化成常微分方程,而且初始條件也一并考慮到,解出常微分方程后進(jìn)行反演就可以了。應(yīng)該指出,偏微分方程的定解雖然有以上各種解法,但是我們不能忽視由于某些原因有許多定解問(wèn)題是不能?chē)?yán)格解出的,只可以用近似方法求出滿足實(shí)際需要的近似程度的近似解。常用的方法有變分法和有限差分法。變分法是把定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化成變分問(wèn)題,再求變分問(wèn)題的近似解;有限差分法是把定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程,然后用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算;還有一種更有意義的模擬法,它用另一個(gè)物理的問(wèn)題實(shí)驗(yàn)研究來(lái)代替所研究某個(gè)物理問(wèn)題的定解。雖然物理現(xiàn)象本質(zhì)不同,但是抽象地表示在數(shù)學(xué)上是同一個(gè)定解問(wèn)題,如研究某個(gè)不規(guī)則形狀的物體里的穩(wěn)定溫度分布問(wèn)題,在數(shù)學(xué)上是拉普拉斯方程的邊值問(wèn)題,由于求解比較困難,可作相應(yīng)的靜電場(chǎng)或穩(wěn)恒電流場(chǎng)實(shí)驗(yàn)研究,測(cè)定場(chǎng)中各處的電勢(shì),從而也解決了所研究的穩(wěn)定溫度場(chǎng)中的溫度分布問(wèn)題。三、現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理方程的發(fā)展趨勢(shì)隨著物理科學(xué)所研究的現(xiàn)象在廣度和深度兩方面的擴(kuò)展,偏微分方程的應(yīng)用范圍更廣泛。從數(shù)學(xué)自身的角度看,偏微分方程的求解促使數(shù)學(xué)在函數(shù)論、變分法、級(jí)數(shù)展開(kāi)、常微分方程、代數(shù)、微分幾何等各方面進(jìn)行發(fā)展。從這個(gè)角度說(shuō),偏微分方程變成了數(shù)學(xué)的中心。到了20世紀(jì)隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展,在科學(xué)實(shí)踐中提出了數(shù)學(xué)物理方程的新問(wèn)題,電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)為數(shù)學(xué)物理方程的研究成果提供了強(qiáng)有力的實(shí)現(xiàn)手段。又因?yàn)閿?shù)學(xué)的其他分支(如泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)、群論、微分幾何等等)也有了迅速發(fā)展,為深入研究偏微分方程提供了有力的工具。因而,20世紀(jì)關(guān)于數(shù)學(xué)物理方程的研究有了前所未有的發(fā)展,這些發(fā)展呈如下特點(diǎn)和趨勢(shì):1.在許多自然科學(xué)及工程技術(shù)中提出的問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述大多是非線性偏微分方程,即使一些線性偏微分方程作近似處理的問(wèn)題,由于研究的深入,也必須重新考慮非線性效應(yīng)。對(duì)非線性偏微分方程研究,難度大得多,然而對(duì)線性偏微分方程的已有結(jié)果,將提供很多有益的啟示。2.實(shí)踐中的問(wèn)題是由很多因素聯(lián)合作用和相互影響的。所以其數(shù)學(xué)模型多是非線性偏微分方程組。如反應(yīng)擴(kuò)散方程組、流體力學(xué)方程組、電磁流體力學(xué)方程組、輻射流體方程組等,在數(shù)學(xué)上稱雙曲-拋物方程組。3.偏微分方程不再只是描述物理學(xué)、力學(xué)等工程過(guò)程的數(shù)學(xué)形式。而目前在化學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、農(nóng)業(yè)、環(huán)保領(lǐng)域,甚至在經(jīng)濟(jì)等社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域都不斷提出一些非常重要的偏微分方程。4.一個(gè)實(shí)際模型的數(shù)學(xué)描述,除了描述過(guò)程的方程外,還應(yīng)有定解條件(如初始條件及邊值條件)。傳統(tǒng)的描述,這些條件是線性的,逐點(diǎn)表示的。而現(xiàn)在提出的很多定解條件是非線性的,特別是非局部的。對(duì)非局部邊值問(wèn)題的研究是一個(gè)新的非常