直線、平面平行的判定與性質(zhì)知識點及題型歸納

直線、平面平行的判定與性質(zhì)知識點及題型歸納知識點精講一、直線和平面平行1.定義直線與平面沒有公共點，則稱此直線l與平面a平行，記作l〃a2?判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）（見表8-9）表8-9文字語言圖形語言符號語言線〃線n線〃面如果平面外的一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行（簡記為“線線平行n線面平行/?/U/1'1luailua>nl/a面〃面n線〃面如果兩個平面平行，那么在一個平面內(nèi)的所有直線都平行于另一個平面a〃paua>na/p3?性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）（見表8-10）表8-10文字語言圖形語言符號語言線〃面n線〃線如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行l(wèi)/a 'luPa"p=l>nl/1'二、兩個平面平行1.定義沒有公共點的兩個平面叫作平行平面，用符號表示為:對于平面a和卩，若aPl卩=e,則a〃卩2?判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）（見表8-11）表8-11文字語言圖形語言符號語言判定定理線/面n面/面如果一個平面內(nèi)有兩條相交的直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（簡記為“線面平行n面面平行//aua,bua,aP|b=Pa/p,b/pna/p線丄面n面/面如果兩個平面冋垂直于一條直線，那么這兩個平面平行l(wèi)丄a] 門l丄pj"/P

3?性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）（見表8-12）表8-12文字語言圖形語言符號語言面/面n線//面如果兩個平面平行，那么在個平面中的所有直線都平行于另外一個平面//X/a//卩、aua>na//卩性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行（簡記為“面面平行n線面平行”/F4L/a//卩］aClY=a>na//b.卩ClY二b‘面//面n線丄面如果兩個平面中有一個垂直于條直線，那么另個平面也垂直于這條直線1a//卩、l丄a>>nl丄卩題型歸納及思路提示題型1證明空間中直線、平面的平行關系思路提示：線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)換如圖8-90所示.（1） 證明直線與平面平行的常用方法：Q利用定義，證明直線a與平面a沒有公共點，一般結合反證法證明；Q利用線面平行的判定定理，即線線平行=線面平行?輔助線的作法為：平面外直線的端點進平面，同向進面，得平行四邊形的對邊，不同向進面，延長交于一點得平行于第三邊的線段；Q利用面面平行的性質(zhì)定理，把面面平行轉(zhuǎn)化成線面平行；（2） 證明面面平行的常用方法：Q利用面面平行的定義，此法一般與反證法結合；Q利用面面平行的判定定理；Q利用兩個平面垂直于同一條直線；Q證明兩個平面同時平行于第三個平面.（3） 證明線線平行的常用方法：Q利用直線和平面平行的判定定理；Q利用平行公理；一、線面平行的判定定理與線面平行的性質(zhì)定理的應用例8.24已知m,n是兩條不同的直線，a,P，丫是三個不同的平面，下列命題正確的是（）C.C.若m//a,m//卩,則a//卩D.若m丄a,n丄a,貝?m//n解析:舉反例排除，如圖8-91正方體模型所示,AB//底面A1C1,AD//底面A1C1,但AB和AD不平行，A選項錯誤，同理，平面AC丄平面BC，平面AB】丄平面BC.故B選項錯誤，AB//底面A1C1,AB//底面A1C,而兩個平面為相交關系，故C錯，選D.評注：此類問題可以特殊化為一個長方體的；棱，面等，進而進行轉(zhuǎn)化變式1已知m,n是兩條不同的直線，a,0是二個不同的平面，給出下列四個命題:QmQm丄a,m//n,貝?n丄a.Qa//0,mua,nu0則m//n.Qm//a,m//n,貝?n//a. Qa//0,m//n,m丄a,則n丄0.其中正確的序號是（）A.QQ B.QQ C.QQ D.QQ變式2給出以下四個命題：Q如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行;Q如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直；Q如果兩條直線都平行于一個平面，那么這兩條直線平行；Q如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面相互垂直變式3若平面a//0，直線a//a，點BG0，則在平面0內(nèi)過點B的直線中（ ）A.不一定存在與a平行的直線. B.只有兩條與a平行的直線.C.存在無數(shù)條與a平行的直線. D.只有一條與a平行的直線.例8.25如圖&92所示，已知E,F,G,H分別為空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上的點，若EH//FG，求證：EH//BD.解析因為EH//FG,EH匸平面BCD,FGu平面BCD,所以EH//平面BCD.又EHu平面ABD,平面ABD^平面BCD=BD,所以EH//BD.

評注線面平行的性質(zhì)定理是證明線線平行的首選方法,也是高考中使用的最多的證明方法.有時結合平行傳遞性來證明.變式1如圖8-93所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD//BC,E是DD】的中點，F(xiàn)是平面B^E與直線變式2（2012北京海淀區(qū)一模理16（1））如圖8-94所示，在四棱錐P-ABCD中,AB//CD，設平面PAB\平圖8-93二、線面平行的證明方法：線面平行的證明方法主要有兩種：（1）由線線平行=線面平行，其證明途徑通過平面外的直線與平面內(nèi)的直線平行，推得直線與平面平行，也可以作輔助線，構造相似三角形或平行四邊形，得到線線平行，從而推出線面平行；（2）由面面平行=線面平行，由已知或構造直線所在的平面與已知平面平行，證明直線與平面平行.方法1：由線線平行和線面平行的相互轉(zhuǎn)化，求證線面平行.例8-26如圖8-95所示，圓錐頂點為P,底面圓心為0,AB和CD是底面圓O上的兩條平行弦，證明：平面PAB與平面PCD的交線平行于底面.分析：本題是線面平行性質(zhì)判定定理及性質(zhì)定理的綜合,即線線平行n線面平行n線線平行.解析：設平面PAB和平面PCD的交線為l.因為AB//CD,AB9平面PCD,CDu平面PCD,所以AB//平面PCD.又因為ABu平面PAB，平面PAB平面PCD=l.所以AB//l，由直線AB在底面上，l在底面外，所以有1與底面平行.圖8-95變式1如圖8-96所示，在三棱錐P-ABC中，E,F,分別是PA,PC的中點，記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關系，并加以證明.方案二：平行進面法（同向進面法）思路提示：如圖8-97所示，證明AB//a.分析過程：AB//auAB//CDU四邊形ABCD為平行四邊形uAC//BD.例&27如圖8-98所示，四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，E,F分別是AB和PD的中點,求證AF//平面PCE.1解析：如圖8-99所示，取PC中點為G,連接EG,FG,由F為PD的中點，則FG//CD.2

由已知有AEI/^CD,：.AE//FG，故四邊形AEGF為平行四邊形，因此AF//EG,2評注：通過同向進面法能有效的在平面PCE中找到與AF平行的直線，點A沿AE方向進平面于點E,點F同向沿AE進平面于點G,連接EG,構造平行四邊形AEGF，只要證明EG//AF即可.變式1如圖8-100所示，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，M為OA的中點，N為BC的中點，求證:直線MN//平面OCD.變式2如圖8-101所示，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF//AB,AB=2EF,H為BC的中點,求證：FH//平面EDB.(:圖8-101例8.28如圖8-102所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E為CD的中點，在棱AA】上是否存在點P,使得APDP//平面BAE,若存在，求 的值；若不存在，說明理由.1 AA11分析:先假設存在，推理出點P的位置，再證明，根據(jù)平行進面法，點D沿著DC方向到達點E,且DE=2DC,2若存在，則點P也可沿同樣方向運動且等距離進入平面B]AE,從而易猜出P為AA1中點.AP1解析：在棱AA,上存在點P使得DP//平面B/E,且 =亍證明如下：1 1AA211如圖8-103所示，取AA1中點P,AB1中點Q,連接PQ,PD,QE,則在△AAB^中,PQ為中位線，即PQ//-AB.11又長方體ABCD-A1B1C1D1中,E為CD中點，故DE//AB//AB.1111=21=211故PQ//DE，所以四邊形PQED為平行四邊形，所以DP//EQ，又DP乞平面BAE，EQu平面BAE,所以DP//平面B1AE.圖8-102 圖8-103變式1如圖8-104所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB//CD,AB=2CD.在棱PB上是否存在點M使得CM//平面P4D?若存在，求PB的值，若不存在，請說明理由.

p圖8-104變式2如圖8-105所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD】中點，在棱C1D1上是否存在一點F,使得B1F//平面A1BE?證明你的結論.圖8-105方法三：相交進面法(不同向進面法)思路提示：如圖8-106(a)(b)所示，證明AB〃a。圖8-106分析過程(1):ECEDAB〃aUAB〃CDU在三角形ABE中CA~DB分析過程(2)：EAEBAB〃aUAB〃CDU在三角形CDE中AC~BD例8.29如圖8-107(a)所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中點。求證：A1C〃平面AB1D.圖8-10^分析：要證明線面平行，可通過線線平行n線面平行，關鍵是在平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行。觀察圖形，易知采用相交進面法(不同向進面法)：點C進入平面AB1D到點D延長到B,連接A1B,與平面AB1D相交于點E,從而證明AIC^DE即可。解析：如圖8-107(b)所示，連接A1BnAB1=E，連接DE。因為ABC-A1B1C1是三棱柱，所以四邊形A1B1BA是平行四邊形，故E為A1B的中點。又因為D是BC的中點，所以DE是ABA1C的中位線，所以DE^AIC。因為DEu平面AB1D，A1C①平面AB1D,所以A1C〃平面A1BD.變式1如圖8-108所示，三棱錐P-ABC中，E、F、O分別為PA、PB、AC的中點，G為OC的中點。求CC變式2 (2012遼寧理18(1))如圖8-109所示，在三棱柱ABC-A'B'C'中，點M、N分別為A'B和B'C'的中點。證明：MN〃平面A'ACC'變式3如圖8-110所示，在四面體A-BCD中，M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上,且AQ=3QC。求證：PQ〃平面BCD圖8-110例8?圖8-110例8?30如圖8-111所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，O為AC的中點。在BC上是否存在一點E,使得OE〃解析：在BC上存在點E,使得OE〃平面A1ABB1，且E為BC】的中點，證明如下：如圖8-112所示，連接BC，設BCnBC=E，連接OE。由三棱柱ABC-A1B1C1，得四邊形BCCBr為平行四邊形，故E為BC中點，又O為AC中點，所以OE為厶ABC的中位線，所以OE〃AB],有OE?平面AABB^，AB】u平面A1ABB1，所以OE〃平面A]ABB]。得證.變式1如圖8-113所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，Q為AD的中點，點M在線段PC上,PM=tPC，試確定t的值，使PA〃平面MQB。圖8-iia*j圖8-iia*j方法四：由面面平行證線面平行思路提示：證明AB〃a。分析法過程：「AX||aAB〃au平面“〃a（ABu〃），（其中平面“通常為平面ABX）u\IBX11a例8.31（2012北京西城一模理17（2）改編）如圖8-114所示，四邊形ABCD與BDEF均為平行四邊形。求證：FC〃平面EAD。分析本題利用線線平行證明線面平行很難入手，因此考慮利用面面平行的性質(zhì)定理，及面面平行證明線面平行。解析因為四邊形ABCD與BDEF均為平行四邊形，所以BC〃AD,BF〃DE,又BCG平面EAD,AD平面EAD,故BC〃平面EAD。同理BF〃平面EAD,又BCcBF=B,BC、BFU平面FBC,所以平面FBC平面EAD。又FCU平面FBC,所以FC〃平面EAD.評注本題證明線面平行是通過面面平行證明線面平行，直接由線線平行證明線面平行較之難度大。變式1如圖8-115所示，幾何體E-ABCD是四棱錐，AABD為正三角形，CB=CD。若ZBCD=120。,M為線段AE的中點，求證：DM〃平面BEC。三、面面平行的證明思路提示：常用證明面面平行的方法是在一個平面內(nèi)找到兩條相交直線與另一個平面分別平行或找一條直線同時垂直于這兩個平面。例8-32如圖8-116所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E、F分別為BC、BB】、AA】的中點。求證：平面B1FC〃平面EAD。ffl8-116解析因為在三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E、F分別為BC、BB1、AA1的中點，所以AF//B1E，故四邊形AFB1E是平行四邊形，即AE/B1F。又AEG平面B1FC，B1FU平面B1FC,故AE〃平面B1FC①。在ABCB1中，DE是中位線，故DE/CB1,又DEQ平面B1FC，CB1U平面B1FC，故DE〃平面B1FC②。由①②及AEcDE=E，AE、DEU平面EAD,得平面B1FC〃平面EAD。評注證明面面平行關鍵是找到兩組相交直線分別平行。變式1 （2012北京海淀二模理16（1））如圖8-117所示，點C在以AB為直徑的0O上，點E為線段PB的中點，點M在AB上，且OM/AC。求證：平面MOE〃平面PAC.圖8-117有效訓練題在空間中，下列命題中正確的是（）平行直線的平行投影重合平行于同一直線的兩個平面平行垂直于同一平面的兩個平面平行垂直于同一平面的兩條直線平行設m、n是平面a內(nèi)的兩條不同直線；〈、〔是平面B內(nèi)的兩條相交直線，則a〃“的一個充分而不必要條件是（）A.m〃“且h/a B.m〃h且n〃'2C.m〃“且n〃“ D.m〃“且n〃'2對于平面a和共面的直線m、n下列命題中是真命題的是（）A.若m、n與a所成的角相等，則miln B.若mila,n〃a，則milnC.若m丄a,m丄n,則nila D.若mua,nia，則m〃n已知m、n為兩條不同的直線，a、“為兩個不同的平面，則下列命題中正確的命題是（）A.若mua，nua，m〃“，n〃“，貝Va〃“ B.若mua，nu“，a〃“，則m〃nC.若m丄a,m丄n,貝9n〃a D.若m〃n,n丄a,貝Vm丄a平面a〃平面B的一個充分條件是（）A.存在一條直線a,alia,allB B.存在一條直線a,aua,a〃B存在兩條平行直線a、b,aua,buB，a〃B，bi