相交線三線八角

相交線、三線八角知識(shí)回顧一、 什么是相交線？如果直線a與直線b只有一個(gè)公共點(diǎn)，則稱(chēng)直線a與直線b相交，0為交點(diǎn)，其中一條是另一條的相交線?相交線的性質(zhì)：兩直線相交只有一個(gè)交點(diǎn).二、 什么是對(duì)頂角？一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，這兩個(gè)角叫做對(duì)頂角三、 什么是鄰補(bǔ)角？?jī)蓷l直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角叫做互為鄰補(bǔ)角1?相交線如圖所示，直線a與直線b只有一個(gè)公共點(diǎn)，稱(chēng)直線a與直線b相交，0為交點(diǎn)，其中一條是另一條的相交線.相交線的性質(zhì)：兩直線相交只有一個(gè)交點(diǎn).2?鄰補(bǔ)角如圖中，1和3,1和4,2和3,2和4互為鄰補(bǔ)角互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但兩個(gè)角互補(bǔ)不一定是互為鄰補(bǔ)角。3?對(duì)頂角?我們也可以說(shuō)，兩(1?我們也可以說(shuō)，兩條直線相交成四個(gè)角，其中有公共頂點(diǎn)而沒(méi)有公共邊的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角 ?如圖中，1和2，3和4是對(duì)頂角?(2)對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等。4?垂線的概念及性質(zhì)：(1)垂線的概念：垂直是相交的一種特殊情況，兩條直線互相垂直，其中一條叫另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足?如圖所示，可以記作“ABCD于0”(2)垂線的性質(zhì)：過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短5?同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的概念：同位角：兩條直線被第三條直線所截，位置相同的一對(duì)角 (兩個(gè)角分別在兩條直線的相同一側(cè)，并且在第三條直線的同旁)叫做同位角如圖所示，/1與/5,/2與/6,/3與/7,/4與/8都是同位角?內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截，兩個(gè)角都在兩條直線之間，并且位置交錯(cuò)， (即分別在第三條直線的兩旁)，這樣的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角，如圖中，/3與/5,/4與/6都是內(nèi)錯(cuò)角同旁?xún)?nèi)角：兩條直線被第三條直線所截，兩個(gè)角都在兩條直線之間， 并且在第三條直線的同旁，這樣的一對(duì)角叫做同旁?xún)?nèi)角，如圖中,/3與/6,/4與/5都是同旁?xún)?nèi)角57、8看圖識(shí)角:(1)'F”型中的同位角?如圖.呂DN(2)Z”字型中的內(nèi)錯(cuò)角，如圖ABN(1)'F”型中的同位角?如圖.呂DN(2)Z”字型中的內(nèi)錯(cuò)角，如圖ABN'T字型中的同旁?xún)?nèi)角如圖.DNCDNC同步練習(xí)匚板塊一相交線【例1】判斷正誤：⑴三條直線兩兩相交有三個(gè)交點(diǎn)⑵兩條直線相交不可能有兩個(gè)交點(diǎn).()⑶在同一平面內(nèi)的三條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0,1,2,3.個(gè)交點(diǎn).(個(gè)交點(diǎn).(⑷同一平面內(nèi)的n條直線兩兩相交，其中無(wú)三線共點(diǎn)，則可得⑸同一平面內(nèi)的n條直線經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)可得2nn1個(gè)角（平角除外）.（經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有【解析】⑴.因?yàn)閮蓛上嘟弧卑龡l直線交于一點(diǎn)的情況.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有（2）1假設(shè)兩條直線有兩個(gè)交點(diǎn)，這說(shuō)明經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線有兩條，這與一條直線〃相矛盾，所以?xún)蓷l直線相交只能有一個(gè)交點(diǎn)，不可能有兩個(gè).⑶V?因?yàn)槿缦聢D三直線的位置關(guān)系如下：（4）V⑸V（甲）（丙）【答案】（I）；（2）它⑶V⑷V⑸V【例2】平面內(nèi)兩兩相交的6條直線，其交點(diǎn)個(gè)數(shù)最少為幾個(gè)？最多為幾個(gè)?【解析】很容易得到最少的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是i個(gè)；對(duì)于最多的情況，不妨從簡(jiǎn)單情況入手，畫(huà)圖探索規(guī)律,從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，平面內(nèi)n兩相交的6條直線最多有15個(gè)交點(diǎn)從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，平面內(nèi)n兩相交的6條直線最多有15個(gè)交點(diǎn).10個(gè)交點(diǎn)個(gè)交點(diǎn)，那么平面內(nèi)兩2【答案】最少有1個(gè)，最多有15個(gè)交點(diǎn)板塊二對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角【例3】下列四個(gè)命題：如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角相等.如果兩個(gè)角相等，則這兩個(gè)角是對(duì)頂角.如果兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角不相等.如果兩個(gè)角不相等，則這兩個(gè)角不是對(duì)頂角.其中正確的命題有（ ）C.3個(gè)【答案】B【例4】下列說(shuō)法中正確的有（ ）一個(gè)角的鄰補(bǔ)角只有一個(gè)；一個(gè)角的補(bǔ)角必大于這個(gè)角；若兩角互補(bǔ)，則這兩個(gè)角一定是一個(gè)銳角、一個(gè)鈍角；互余的兩個(gè)角一定都是銳角。A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)【解析】B；一個(gè)角有兩個(gè)鄰補(bǔ)角，所以①是錯(cuò)的；一個(gè)角的補(bǔ)角可能大于、小于或是等于這個(gè)角，所以②是錯(cuò)的；兩個(gè)直角互補(bǔ)，所以③是錯(cuò)的；④是正確的【答案】B【例5】如圖所示，直線AB,【例5】如圖所示，直線AB,CD相交于點(diǎn)o,若1270，貝〃BOD【解析】T1 2180, 1 270255,BOD1 125答案：125,55【答案】125,55【例6】下列圖中A.1對(duì)2是對(duì)頂角的有（【解析】對(duì)頂角的識(shí)別：①有公共頂點(diǎn)；②兩邊均互為反向延長(zhǎng)線.鄰補(bǔ)角的識(shí)別：①有公共頂點(diǎn)；②有一公共邊；③另一邊互為反向延長(zhǎng)線【答案】B

【解析】C?對(duì)頂角的識(shí)別：①有公共頂點(diǎn)；②兩邊均互為反向延長(zhǎng)線.鄰補(bǔ)角的識(shí)別：①有公共頂點(diǎn)；②有一公共邊；③另一邊互為反向延長(zhǎng)線【答案】C【例8】三條直線兩兩相交于同一點(diǎn)時(shí)，對(duì)頂角有m對(duì)，交于不同三點(diǎn)時(shí)，對(duì)頂角有n對(duì)，則m與n的關(guān)系()A?mnB.m>n C.mxn D.mn10【解析】三條直線兩兩相交于同一點(diǎn)時(shí)，對(duì)頂角有 6對(duì)，交于不同三點(diǎn)時(shí)，對(duì)頂角有 6對(duì)，所以mn【答案】D【例9】如圖所示，兩條直線相交，有 對(duì)對(duì)頂角，三條直線相交于同一點(diǎn)，有 對(duì)頂角；四條直線相交于同一點(diǎn)，有 對(duì)對(duì)頂角，…，n條直線相交于同一點(diǎn)有 對(duì)對(duì)頂角.【解析】?jī)?，六，十二，n(n1)掌握探索方法，在探索過(guò)程中適時(shí)進(jìn)行類(lèi)比、歸納、概括.這是一道探索規(guī)律題，要注意觀察尋找變化的特征.TOC\o"1-5"\h\z直線L、12相交，有兩對(duì)對(duì)頂角；直線13分別與L、12又各組成兩對(duì)對(duì)頂角，所以I.、12、13相i2 3 i2 i2 3交于同一點(diǎn)，有2226對(duì)對(duì)頂角；直線14分別與I.、12、13各組成兩對(duì)對(duì)頂角，所以I.、4 .23 i12、J、14相交于同一點(diǎn)有2 2223i2對(duì)對(duì)頂角…；I.、12、13、…、I相交于同一點(diǎn)，2 4 .2 3 n【答案】?jī)?，六，十二，n(n1)【例10】如圖所示，直線a、bc兩兩相交，123, 265,求4的度數(shù)【解析】 123, 265?-【解析】 123, 265?--1【答案】32.5265?13—652 32-54 332.5【例11】已知：如圖，直線AB、CD交于點(diǎn)0,且AODBOC120°求AOC的度數(shù)?AC—ODB圖1【解由對(duì)頂角相等可知，AOD BOC，又AODBOC120,故AOD60【答案】AOC120從而由AOC、 AOD互為鄰補(bǔ)角可知， AOC120【例12】如圖，【例12】如圖，AB、CD、EF交于點(diǎn)o,AOE25°DOF45。求AOD的對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的度數(shù).【解析】由對(duì)頂角相等可知， COE DOF的度數(shù).【解析】由對(duì)頂角相等可知， COE DOF45,故AOC由AOC、AOD互為鄰補(bǔ)角可知， AOD18070110OFzBCAOECOE 圖2COE25 4570.由對(duì)頂角相等可知， AOD的對(duì)頂角BOC110答案】AOD的對(duì)頂角為110AOD的對(duì)頂角70板塊三垂直和垂線段【例13】下列說(shuō)法中正確的是（ ）點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線所作的垂線；兩個(gè)角相等，這兩個(gè)角是對(duì)頂角；兩個(gè)對(duì)頂角互補(bǔ)，則構(gòu)成這兩個(gè)角的兩條直線互相垂直連接直線外一點(diǎn)到直線上所有點(diǎn)的線段中垂線段最短A?①② B?②③ C?③④ D?②④【答案】C【例14】如圖，已知ACB90°.CDAB，垂足為D，則點(diǎn)A到直線CB的距離為線段 的長(zhǎng);線段DB的長(zhǎng)為點(diǎn) 到直線的距離.D圖1【解析】AC,B,CD初學(xué)的同學(xué)做此題很容易做錯(cuò)， 有一種線段太多不易判斷的感覺(jué)， 實(shí)際上在看圖時(shí)，只要把一相關(guān)的線暫時(shí)隱藏，問(wèn)題就可以解決?例如：觀察點(diǎn) A到直線CB的距離時(shí)，眼中只有點(diǎn)A與CB，然后自己畫(huà)出其垂線段，再看所畫(huà)線段與誰(shuí)重合.【答案】AC,B,CD【例15】如圖，A點(diǎn)處是一座小屋，BC是一條公路，一人在。處，①此人到小屋去，怎么走最近？理由是什么？②此人要到公路，怎么走最近？理由是什么?【解析】①走線段0A,因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短；②如圖，過(guò)點(diǎn)0作ODBC,垂足為D，走線段0D,因?yàn)榇咕€段最短【答案】如圖度數(shù).DOF65°,求BOE和AOC的【解析】 BOD90°65°度數(shù).DOF65°,求BOE和AOC的【解析】 BOD90°65°25°（垂直定義）?AOCBOD25°（對(duì)頂角相等）????OECD,???BOE90°25°65°（垂直定義）.本題綜合運(yùn)用了兩角互余、對(duì)頂角相等等性質(zhì)?由已知條件和觀察圖形，可知 BOD與DOF互余，BOE與BOD互余，BOD和AOC的對(duì)頂角，利用這些關(guān)系可解此題.【答案】AOC25°BOE65°板塊四三線八角【例17】如圖，填空:①1與2是兩條直線與 被第三條直線 所截構(gòu)成的 角.圖1②1與3是兩條直線與被第三條直線所截構(gòu)成的角.③2與4是兩條直線與被第三條直線所截構(gòu)成的角④3與4是兩條直線與被第三條直線所截構(gòu)成的角⑤5與6是兩條直線與被第三條直線所截構(gòu)成的角【答案】①1與2是兩條直線12與丨被第三條直線h所截構(gòu)成的同位角.②1與3是兩條直線11與13被第三條直線12所截構(gòu)成的同位角.③2與4是兩條直線12與13被第三條直線11所截構(gòu)成的內(nèi)錯(cuò)角.④3與4是兩條直線1與3被第三條直線11 1312所截構(gòu)成的內(nèi)錯(cuò)角.【解析】讓學(xué)生講出來(lái)即可⑤5與6是兩條直線h與12被第三條直線13所截構(gòu)成的同旁?xún)?nèi)角【例18】下列圖中/1和/2是同位角的是（ ）A.（l）、⑵、⑶A.（l）、⑵、⑶B.⑵、⑶、⑷D.（l）、⑵、⑸C.D.（l）、⑵、⑸【解析】D判斷什么是同位角，圖（1）、（2）、（5）中的/1和/2是同位角【答案】D【例19】如圖，判斷下列各對(duì)角的位置關(guān)系：（1）/1與/4;⑵/2與/6;⑶/5與/&⑷/4與BCD；（5）/3與/5.【答案】/1與/4是同位角，/2與/6是內(nèi)錯(cuò)角，/5與/8是對(duì)頂角，/4與/BCD是同旁?xún)?nèi)角，/3與/5是內(nèi)錯(cuò)角.【例20】找出圖中所有的同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁?xún)?nèi)角，并指出它們分別是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的.AC D圖12與4是直線E【例22】找出下圖中用數(shù)字表示的各角中，川」一內(nèi)錯(cuò)角？哪此是同旁?xún)?nèi)角?AC D圖12與4是直線E【例22】找出下圖中用數(shù)字表示的各角中，川」一內(nèi)錯(cuò)角？哪此是同旁?xún)?nèi)角?圖2【答案】圖中,2與3是直線AB、CD2「皿EFm【例 如下圖，圖中與/1勺個(gè)數(shù)是（23】B.；C.4D.5【答案】1與5是直線AD、BC被直線AB所截形成的同位角；2與4是直線AD、BC被直線AC所截形成的內(nèi)錯(cuò)角；3與5是直線AC、BC被直線AB所截形成的同旁?xún)?nèi)角;3與4是直線AB、BC被直線AC所截形成的同旁?xún)?nèi)角;【例21】找出下圖中用數(shù)字表示的各角中，哪些是同位角，內(nèi)錯(cuò)角？哪些是同旁?xún)?nèi)角？【答1與3是直線BE、CD被直線AC所截形成的同位角;案】【答案】【例下圖有24】對(duì)內(nèi)錯(cuò)角.NN【解析】24?做此類(lèi)型題：第一、要找三種關(guān)系角（同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角）關(guān)鍵在于尋找線段；第二、不同的線段找出來(lái)的三種關(guān)系角是不會(huì)重復(fù)；第三、在線段很多的時(shí)候，要找出相同特點(diǎn)的線段的條數(shù)m,只需算出一條線段的關(guān)系角的對(duì)數(shù) n，故該特點(diǎn)的線段的關(guān)系角為mn.在本題中，線段DE、DF、EF，每條線段都有2對(duì)內(nèi)錯(cuò)角；線段AD、BE、CF，每條線段都只有2對(duì)內(nèi)錯(cuò)角；線段AB、AC、BC,每條線段都只有1對(duì)內(nèi)錯(cuò)角；線段AF、BD、CE,每條線段都有3對(duì)內(nèi)錯(cuò)角；故總的內(nèi)錯(cuò)角為： 2323133324.【答案】24【例25】若平面上有4條直線兩兩相交且無(wú)三線共點(diǎn)，則共有同旁?xún)?nèi)角 對(duì)?【解析】每條直線都與另3條直線相交，有3個(gè)交點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)交點(diǎn)決定一條線段，共有 3條線段，而每條線段兩側(cè)各有一對(duì)同旁?xún)?nèi)角，共有3412條線段，總共有24對(duì)同旁?xún)?nèi)角?【答案】24■課后練習(xí)【習(xí)題1】找出下圖中用數(shù)字表示的各角中，哪些是同位角，內(nèi)錯(cuò)角？哪些是同旁?xún)?nèi)角？MN【答案】圖中，1與3是直線EG、FH被直線MN所截形成的同位角【習(xí)題2】如圖，找出圖中用數(shù)字標(biāo)出的角中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁?xún)?nèi)角.【答案】同位角有：3【答案】同位角有：3與7、4與6、2與8;內(nèi)錯(cuò)角有：1與4、3與5、2與6、4與8;同旁?xún)?nèi)角有：2與4、2與5、4與5、3與6?【習(xí)題3】用數(shù)字標(biāo)出圖中與1是同位角的所有角.【解

析】1的兩條邊所在的直線 a，b,若把a(bǔ)看成是第三條直線，則有:【解

析】1)是a截直線b及卜得1的同位角為a截直線b及12,得1的同位角為a截直線b及13,得1的同位角為若把b看成第三條直線，則有4)得1的同位角為b截直線4)得1的同位角為5；5)的同位角為b截直線a及12,得16；6)截直線a及13得1的同位角為?3 7【答案】1的同位角有【習(xí)題4】如圖，某自來(lái)水廠計(jì)劃把河流AB中的水引到蓄水池使C中，問(wèn)從河岸AB的何處開(kāi)渠，才能所開(kāi)的渠道最短？畫(huà)圖表示，并說(shuō)明設(shè)計(jì)的理由。A

A【解析】答案如圖。點(diǎn)C與直線AB上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短【答案】如圖CC【習(xí)題5】n條直線最多可將平面分成幾部分？【解析】仍可以從簡(jiǎn)單情況入手，畫(huà)圖探索規(guī)律， （圖可用上圖）:1條直線最多可將平