相關(guān)系數(shù)的計(jì)算

相關(guān)系數(shù)的計(jì)算相關(guān)系數(shù)一般可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量的方法或理論經(jīng)驗(yàn)的分析得到。即一是用同時(shí)觀測(cè)兩個(gè)量的方法確定相關(guān)系數(shù)估計(jì)值；二是當(dāng)兩個(gè)量或以上均因與同一個(gè)量有關(guān)而相關(guān)時(shí)，依據(jù)相關(guān)系數(shù)定義公式，計(jì)算相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值。1.根據(jù)對(duì)1.根據(jù)對(duì)X和y兩個(gè)量同時(shí)測(cè)量的n組測(cè)量數(shù)據(jù),相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值按公式(4)計(jì)算：￡(估計(jì)值按公式(4)計(jì)算：￡(x-X)(y-Y)iir(x,y)=4^(n-l)s(x)s(y)4)式中，s(x),s(y)―-為X和Y的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差。公式(4)還可以表示為：()工()uk,()工()uk,xAt,y=十十㈠=-u\x)?uh丿,j起k=1vX—Xikik=1 八X—y

iki

k=1' 丿k=1X—Xjkj丿X—Xjkj丿5)示例1:用同一鋼卷尺測(cè)量某矩形的面積，對(duì)矩形的長(zhǎng)(1)和寬d)各測(cè)量10次,其測(cè)量列如表1所示。表1矩形長(zhǎng)和寬的測(cè)量數(shù)據(jù)1(mm)40.140.240.040.140.140.040.140.140.240.11=40.10d(mm丿20.020.220.020.120.120.020.020.120.120.1d=20.07矩形面積的數(shù)學(xué)模型：s=dX1，因?yàn)閷?duì)長(zhǎng)和寬采用了同一測(cè)量?jī)x器，則它們的估計(jì)值會(huì)出現(xiàn)相關(guān)，根據(jù)表1有l(wèi)和d算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：, ,、藝（_l）=0.021（mm）10x（10_1） ii=i冷）= 丄2C_d）=0.021（mm）10x（10_1丿］i蘭（一/'d一d）=0.03Cmm2）iii=1芳（-1L0.04Cmm2）ii二1d—d）=0.041Cm2）ii=1所以相關(guān)系數(shù)藝（一l）（_d）r i 0.03 074?■￡Ll）昱C-d） ?040X0.041i iri=1 i=1面積S=/?d=804.81mm2則考慮相關(guān)系數(shù)r得：uc（s）』曲2I-站2+2止塾2=015%s[LlJLdJ ldJ當(dāng)不考慮相關(guān)系數(shù)r時(shí)，uS=J-曲2+L站2=012%s[L門(mén)Ld」J■從以上兩式的結(jié)果可以看出考慮相關(guān)系數(shù)與不考慮相關(guān)系數(shù)

存在明顯的區(qū)別，不考慮相關(guān)系數(shù)時(shí)，明顯使評(píng)定的不確定度偏小。2.當(dāng)兩個(gè)量均因與同一個(gè)量有關(guān)而相關(guān)時(shí)，計(jì)算相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值。假如在得到兩個(gè)輸入量的估計(jì)值X和X時(shí)，是使用了同一個(gè)測(cè)ij量標(biāo)準(zhǔn)、測(cè)量?jī)x器或參考數(shù)據(jù)或采用了相同的具有相當(dāng)大不確定度的測(cè)量方法，則X和X兩個(gè)量均因與同一個(gè)量有關(guān)而相關(guān)。ij

示例2：2014年度一級(jí)注冊(cè)計(jì)量師考試《測(cè)量數(shù)據(jù)處理及計(jì)量專(zhuān)業(yè)實(shí)務(wù)》科目中的單項(xiàng)選擇題第26題為“用lk0的標(biāo)準(zhǔn)電阻R校準(zhǔn)s標(biāo)稱(chēng)值均為lk0的兩個(gè)電阻器，校準(zhǔn)值R R,R二aR.已知標(biāo)準(zhǔn)11S22STOC\o"1-5"\h\z電阻R的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為u(RL0.10 ，若ssa?1,a?1,uCx)=uCx)=1x10一4，假設(shè)a、a、R互不相關(guān)，則R與12121211R的相關(guān)系數(shù)為( )。2A.1.0 B.0.75 C.0.5 D.0.25 ”

[解]1)每個(gè)電阻R校準(zhǔn)時(shí)與標(biāo)準(zhǔn)電阻R比較得到比值a，校準(zhǔn)值isi為：R=aRiis根據(jù)不確定度傳播定律，每個(gè)R的標(biāo)準(zhǔn)不確定度：iu(R)=A；iRSu(a.)]2+[a.u(RS)]2式中的u(a)對(duì)每一個(gè)校準(zhǔn)值近似相等，且a心1,由比較儀的

ii不確定度為u(a)=u(a)=u(a)=1x10-4,則:iu(Ri)=iR2U2(a)+U2(R)任意兩個(gè)電阻校準(zhǔn)值的相關(guān)系數(shù)：RiRi=aiRsRjjjRsR、R之間協(xié)方差的估計(jì)值：ijdROR?u(R,R)=Lju2(RS)=a.au2(RS)=a2u2(RS)ijOROR SijS SSS由于a~a=a心1,協(xié)方差u(R,R)=U2(R)ijijSR、R之間相關(guān)系數(shù)：iju(R,Ru(R,R)r=r(R,R)= .jjij u(R)u(R)ijR2u2u2(R)(a)+u2(R)Siru(x)]2<1+u(R)R1- S?S」>由題意知，u(R》R二10一4；u(d)=uCx)=1x10一4代入上式，得TOC\o"1-5"\h\zS'S 1 2r=r(R，R)=0.5ijij本題正確選項(xiàng)為： C.0.5分析可知，u(R)R=10-4;u(a)=u(a)=100x10-6; r=0.5S'S 1 2 ij如果u(x)=u(x)=10x10-6; r心0.9901 2 ij如果u(x)=u(x)=1x10-6; r心1.0001 2 ij因此當(dāng)u(x)t0,rT1和u(R)tu(R)iS一般來(lái)說(shuō)，在與校準(zhǔn)值比較時(shí)，如本示例，已校項(xiàng)的估計(jì)值間是相關(guān)的，其相關(guān)的程度取決于校準(zhǔn)過(guò)程(比對(duì)過(guò)程)引入的不確定度與參考標(biāo)準(zhǔn)的不確定度之比。僅當(dāng)與參考標(biāo)準(zhǔn)的不確定度相比，校準(zhǔn)過(guò)程(比對(duì)過(guò)程)的不確定度可以忽略不計(jì)時(shí)，相關(guān)系數(shù)等于+1，并且每個(gè)校準(zhǔn)項(xiàng)的不確定度與其參考標(biāo)準(zhǔn)的不確定度相同。示例3：在示例2的條件中，若將R和R串聯(lián)成R=R+R=2k012ref12的電阻，試確定串聯(lián)后的R=2k0電阻的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(R)refcref為多少？[解法一]1)每個(gè)電阻R校準(zhǔn)時(shí)與標(biāo)準(zhǔn)電阻R比較得到比值x,校準(zhǔn)isi值為：R=xRiis2)根據(jù)不確定度傳播定律，每個(gè)R的標(biāo)準(zhǔn)不確定度：iu(R)=;'[RSu(x.)]2+[x.u(RS)]2式中的u(x)對(duì)每一個(gè)校準(zhǔn)值近似相等，且x心1,由比較儀的

ii不確定度為u(x)=uCx)=uCx)=1x10-4，則:iu(u(Ri)=iR2u2(x)+u2(R)S i S=\；(X103X1X10-4)+0.120=.込X0.10即：u(R)=u(R)=邁X0.101 2 琴根據(jù)示例2的計(jì)算結(jié)果，R、R兩個(gè)電阻校準(zhǔn)值的相關(guān)系數(shù):12r(R，R)=0.512串聯(lián)電阻R的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度：ref根據(jù)R的測(cè)量模型：R=R+Rrefref12R的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：refU(R)='u2(R)+u2(R)+2u(R)u(R)-r(R,R)TOC\o"1-5"\h\zcref 1 2 1 2 1 2=話(邁X0.1)2+(邁X0.1)2+2X(邁X0.1)X(邁X0.1)X0.50「6x0.1205.250［解法二］由于輸出量R=R+Rref 1 2輸入量R的不確定度由兩個(gè)分量構(gòu)成，其一來(lái)自標(biāo)準(zhǔn)電阻iu(R)=0.10，作為U(R)的分量，其靈敏系數(shù)C均為+1；其二來(lái)自校s cref i準(zhǔn)(比對(duì))過(guò)程，已知為Ru(a)=1X103X1X10-40=0.10,靈敏系數(shù)si也C均為+1。i可以認(rèn)為R—共有4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量，其中2個(gè)為標(biāo)準(zhǔn)器refR引入的分量均為0.10,它們之間為強(qiáng)相關(guān)，可設(shè)定r=+1，這2個(gè)s0.10取代數(shù)和合成為：0.10+0.10=0.20；另2個(gè)為校準(zhǔn)過(guò)程(比對(duì)過(guò)程)引入的分量Ru(a)=1X103X1X10-40=0.10，主要是隨機(jī)效si應(yīng)引起，可以設(shè)定彼此獨(dú)立，r=0，而按方和根合成為：迂X0.10；來(lái)源于R與來(lái)源于校準(zhǔn)過(guò)程彼此不相關(guān)，因而su(R)二\：'0.