專題03基本不等式（重難點突破）原卷版

專題03基本不等式知識點一：基本不等式及的理解.（1）成立的條件是不同的：前者只要求都是實數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；（2）取等號“=”的條件在形式上是相同的，都是“當且僅當時取等號”.知識點二：用基本不等式求最大（?。┲翟谟没静坏仁角蠛瘮?shù)的最值時，應具備三個條件：一正二定三取等.①一正：函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；②二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；③三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值.知識點三：基本不等式的變形與拓展1．(1)、若,則；(2)、若,則（當且僅當時取“=”）．2．(1)、若,則；(2)、若,則（當且僅當時取“=”）；(3)、若,則（當且僅當時取“=”）．3．(1)、若,則（當且僅當時取“=”）；(2)、若,則（當且僅當時取“=”）；(3)、若,則,即或（當且僅當時取“=”）．4．(1)、若,則（當且僅當時取“=”）；(2)、若,則,即或（當且僅當時取“=”）．5．一個重要的不等式鏈：．6．函數(shù)圖象及性質(zhì)(1)函數(shù)圖象如右圖所示：(2)函數(shù)性質(zhì)：①值域：；②單調(diào)遞增區(qū)間：；單調(diào)遞減區(qū)間：

重難點突破(一)基本不等式的簡單應用例1.（1）、（2022秋·甘肅臨夏·高一?？计谥校┤?，則函數(shù)（

）A．有最大值 B．有最小值C．有最大值 D．有最小值（2）、（2023春·湖北恩施·高二?？计谀┤?，則的最小值為．【變式訓練1-1】、（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考階段練習）若，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【變式訓練1-1】、（2023春·青海海東·高一統(tǒng)考階段練習）已知兩個正數(shù)滿足，則的最小值為．重難點突破(二)利用基本不等式求最小值例2.（1）、（2023春·海南省直轄縣級單位·高一?？计谥校┮阎?，則的最小值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3（2）、（2023春·甘肅天水·高二?？计谥校┮阎?，則的最小值是.

【變式訓練2-1】、（2023春·貴州遵義·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【變式訓練2-2】、（2021秋·高一課時練習）（多選題）已知，，且，則（）A． B．C． D．重難點突破(三)利用基本不等式求最大值例3.（1）、（2023·全國·高三專題練習）已知，則的最大值為.（2）、（2022秋·云南曲靖·高一?？茧A段練習）已知，則的最大值是（

）A．1 B．2 C． D．【變式訓練3-1】、（2023春·陜西·高二校聯(lián)考期中）已知，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【變式訓練3-2】、（2022秋·新疆·高一兵團第一師高級中學校考階段練習）若，則的最大值是．

重難點突破(四)不等式變形技巧：“1”的代換例4.（1）、（2023春·貴州黔東南·高一?？茧A段練習）設，且，則的最小值為（

）A．10 B．9 C．8 D．7（2）、（2023秋·山東菏澤·高一山東省鄆城第一中學?？计谀┤?，，且，則的最小值為．【變式訓練4-1】、（2023春·遼寧·高二校聯(lián)考期末）已知，，且，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．【變式訓練4-2】、（2022秋·山東臨沂·高一?？茧A段練習）（多選題）設正實數(shù)，滿足，則（

）A．有最大值 B．有最大值C．有最大值 D．有最小值例5.（1）、（2022秋·安徽蕪湖·高二?？茧A段練習）已知實數(shù)，且，則的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．4（2）、（2023春·福建福州·高二福州三中?？计谀┮阎?，其中，，，則的最小值為．【變式訓練5-1】、（2023春·天津南開·高二天津市第二南開中學?？茧A段練習）已知且，則的最小值是．【變式訓練5-2】、（2023·全國·高三專題練習）已知實數(shù)，若，則的最小值為（

）A．12 B． C． D．8重難點突破(五)不等式的證明技巧與綜合處理技巧例6.（2023春·河北石家莊·高一石家莊市第十五中學校考階段練習）若正數(shù)a，b，c滿足.(1)求的最大值；(2)求證：.【變式訓練6-1】、（2023·全國·高一假期作業(yè)）（1）已知，，，求證：；（2）已知a，b，c為不全相等的正實數(shù)，求證：.

重難點突破(六)均值不等式在實際問題中的應用例7.（2020秋·高一課時練習）建造一個體積為，高為的長方體簡易木屋，如果屋頂和四周墻壁的造價分別為40元/和30元/，而整修木屋地面的費用為20元/，那么此木屋的最低造價為元．【變式訓練7-1】、（2023春·北京順義·高二牛欄山一中?？计谀┠车匾ㄔ煲慌庑螢殚L方體的簡易工作房，如圖所示．房子的高度為3m，占地面積為，墻體ABFE和DCGH的造價均為80元/m2，墻體ADHE和BCGF的造價均為120元/m2，地面和房頂?shù)脑靸r共2000元．則一個這樣的簡易工作房的總造價最低為元．

例8.（2022·全國·高一專題練習）如圖，某人計劃用籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度沒有限制）的矩形菜園．設菜園的長為xm，寬為ym．(1)若菜園面積為72m2，則x，y為何值時，可使所用籬笆總長最小？(2)若使用的籬笆總長度為30m，求的最小值．

【變式訓練8-1】、（2022秋·河北石家莊·高三?？茧A段練習）為持續(xù)推進“改善農(nóng)村人居環(huán)境，建設宜居美麗鄉(xiāng)村”，某村委計劃在該村廣場旁一矩形空地進行綠化.如圖所示，兩塊完全相同的長方形種植綠草坪，草坪周圍（斜線部分）均擺滿寬度相同的花，已知兩塊綠草坪的面積均為400平方米.（1）若矩形草坪的長比寬至少多9米，求草坪寬的最大值；（2）若草坪四周及中間的花壇寬度均為2米，求整個綠化面積的最小值.

重難點突破(七)沖刺滿分（壓軸題）例9.（1）、（2022·全國·高三專題練習）若實數(shù)滿足，則的最大值為.（2）、（2022秋·廣東梅州·高一五華縣水寨中學?？茧A段練習）（多選題）若，，，則的可能取值有（

）A． B． C． D．【變式訓練9-1】、（2022·全國·高三專題練習）已知，且，則的最小值為.【變式訓練9-2】、（2023·全國·高三專題練習）已知且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．

1．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）已知x，，x＋2y＝1，則的最小值（

）A．8 B．9 C．10 D．112．（2023秋·山西朔州·高一統(tǒng)考期末）已知，則的最大值為（

）A． B． C． D．33．（2023·全國·高三專題練習）近年來受各種因素影響，國際大宗商品價格波動較大，我國某鋼鐵企業(yè)需要不間斷從澳大利亞采購鐵礦石，為保證企業(yè)利益最大化，提出以下兩種采購方案.方案一：不考慮鐵礦石價格升降，每次采購鐵礦石的數(shù)量一定；方案二：不考慮鐵礦石價格升降，每次采購鐵礦石所花的錢數(shù)一定，則下列說法正確的是（

）A．方案一更經(jīng)濟 B．方案二更經(jīng)濟C．兩種方案一樣 D．條件不足，無法確定4．（2023春·江西南昌·高二校聯(lián)考期末）已知，且，則（

）A．的最小值是B．的最小值是4C．的最小值是8D．的最小值是5．（2021秋·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）若，則的最小值為.6．（2023春·山東德州·高二校考階段練習）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為.7．（2022秋·貴州黔南·高三統(tǒng)考階段練習）設，，均為正數(shù)，且，證明：(1)；(2).8．（2009·湖北·高考真題）圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場