相交線與平行線（知識(shí)點(diǎn)串講）（原卷版）

專題16相交線與平行線考點(diǎn)總結(jié)【思維導(dǎo)圖】【知識(shí)要點(diǎn)】知識(shí)點(diǎn)一相交線直線的位置關(guān)系：在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線之間的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行。垂線的概念：當(dāng)兩條相交直線所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，交點(diǎn)叫做垂足。表示方法：如圖，a⊥b，垂足為Ｏ．記作：a⊥b于點(diǎn)Ｏ．【注意事項(xiàng)】1.線段與線段，線段與射線，線段與直線，射線與射線，射線與直線垂直，是特指它們所在的直線互相垂直。2.兩條直線互相垂直，則它們之間所形成的四個(gè)角為直角；若兩條直線的夾角為直角，則這兩條直線互相垂直。垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。垂線的畫(huà)法：一落、二移、三畫(huà)。注意：經(jīng)過(guò)一點(diǎn)畫(huà)射線或線段的垂線，是指它們所在直線的垂線，垂足的位置不固定，可能會(huì)出現(xiàn)在射線的反向延長(zhǎng)線或線段的延長(zhǎng)線上。垂線段最短定理：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。注意：垂線是一條直線，而垂線段是一條線段。經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段有且只有一條。點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離【典型例題】1．（2016·福建中考模擬）兩條直線相交所成的四個(gè)角中，下列說(shuō)法正確的是（）A．一定有一個(gè)銳角B．一定有一個(gè)鈍角C．一定有一個(gè)直角D．一定有一個(gè)不是鈍角2．（2018·天津中考模擬）有下列幾種說(shuō)法：①兩條直線相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)是直角；②兩條直線相交所成的四個(gè)角相等；③兩條直線相交所成的四個(gè)角中有一組相鄰補(bǔ)角相等；④兩條直線相交對(duì)頂角互補(bǔ)．其中，能兩條直線互相垂直的是（）A．①③B．①②③C．②③④D．①②③④3．（2018·湖南中考模擬）在同一平面內(nèi)，下列說(shuō)法：①過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線；②兩條不相同的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；③經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；④經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)4．（2019·貴州中考真題）如圖，△ABC中，CD是AB邊上的高，CM是AB邊上的中線，點(diǎn)C到邊AB所在直線的距離是()A．線段CA的長(zhǎng)度 B．線段CM的長(zhǎng)度C．線段CD的長(zhǎng)度 D．線段CB的長(zhǎng)度5．（2018·安徽中考模擬）下列說(shuō)法正確的是()A．兩點(diǎn)之間的距離是兩點(diǎn)間的線段B．同一平面內(nèi),過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行C．與同一條直線垂直的兩條直線也垂直D．同一平面內(nèi),過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直考查題型一垂線性質(zhì)的應(yīng)用方法1．（2017·湖南中考模擬）如圖，AB∥CD，EG⊥AB，垂足為G．若∠1＝50°，則∠E＝（）.A．60° B．50° C．40° D．30°2．（2018·廣西中考模擬）如圖，O為直線AB上一點(diǎn)，OE平分∠BOC，OD⊥OE于點(diǎn)O，若∠BOC=80°，則∠AOD的度數(shù)是（）A．70° B．50° C．40° D．35°3．（2015·河北中考模擬）如圖，已知點(diǎn)O在直線AB上，CO⊥DO于點(diǎn)O，若∠1=145°，則∠3的度數(shù)為（）A．35° B．45°C．55° D．65°4．（2019·湖南中考模擬）如圖所示，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD，已知∠BOE＝65°，則∠AOC的大小為（）A．25° B．35° C．65° D．115°5．（2017·重慶中考模擬）如圖，，點(diǎn)在上，分別交于點(diǎn)，且，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．考查題型二判斷兩條直線是否垂直1．（2018·廣東正德中學(xué)中考模擬）如圖，已知DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，試說(shuō)明：CD⊥AB．考察題型三利用垂線段最短，解決實(shí)際問(wèn)題1．（2018·貴州中考模擬）如圖，計(jì)劃把河水l引到水池A中，先作AB⊥l，垂足為B，然后沿AB開(kāi)渠，能使所開(kāi)的渠道最短，這樣設(shè)計(jì)的依據(jù)是（）A．兩點(diǎn)之間線段最短B．垂線段最短C．過(guò)一點(diǎn)只能作一條直線D．平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直考查題型四相交線交點(diǎn)的判斷1．（2013·湖北中考真題）兩條直線最多有1個(gè)交點(diǎn)，三條直線最多有3個(gè)交點(diǎn)，四條直線最多有6個(gè)交點(diǎn)，…那么六條直線最多有(

)A．21個(gè)交點(diǎn)B．18個(gè)交點(diǎn)C．15個(gè)交點(diǎn)D．10個(gè)交點(diǎn)2．觀察如圖圖形，并閱讀相關(guān)文字：那么10條直線相交，最多交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A．10 B．20 C．36 D．453．（2017·溫江區(qū)期末）三條互不重合的直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是（）A．0，1，3B．0，2，3C．0，1，2，3D．0，1，2知識(shí)點(diǎn)二相交線中的角鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角的知識(shí)點(diǎn)兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系的角，它們的概念及性質(zhì)如下表：圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系對(duì)頂角∠1與∠2有公共頂點(diǎn)∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長(zhǎng)線對(duì)頂角相等即∠1=∠2鄰補(bǔ)角∠3與∠4有公共頂點(diǎn)∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長(zhǎng)線.∠3+∠4=180°注意點(diǎn)：（1）對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角；（2）如果∠α與∠β是對(duì)頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對(duì)頂角；（3）如果∠α與∠β互為鄰補(bǔ)角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補(bǔ)角；（4）兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè).同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁內(nèi)角的知識(shí)點(diǎn)同位角：在兩條直線的上方，又在直線EF的同側(cè)，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角叫同位角。（同旁同側(cè)）如：∠1和∠5。內(nèi)錯(cuò)角：在在兩條直線之間，又在直線EF的兩側(cè)，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角叫內(nèi)錯(cuò)角。（內(nèi)部異側(cè)）如：∠3和∠5。同旁內(nèi)角：在在兩條直線之間，又在直線EF的同側(cè)，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角叫同旁內(nèi)角。（同旁內(nèi)側(cè)）如：∠3和∠6。三線八角:指的是兩條直線被第三條直線所截而形成的八個(gè)角，其中同位角4對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有2對(duì)，同旁內(nèi)角有2對(duì)，同旁內(nèi)角有2對(duì)?？疾轭}型五同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁內(nèi)角的判斷1．（2019·浙江中考模擬）兩條直線被第三條直線所截，∠1是∠2的同旁內(nèi)角，∠2是∠3的內(nèi)錯(cuò)角．（1）畫(huà)出示意圖，標(biāo)出∠1，∠2，∠3．（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠3的度數(shù)．2．（2019·福建中考模擬）如圖，與∠1是同旁內(nèi)角的是()A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠53．（2019·甘肅中考模擬）如圖，下列四個(gè)選項(xiàng)中，與是內(nèi)錯(cuò)角的是()A． B． C． D．考查題型六利用對(duì)頂角的性質(zhì)求角的度數(shù)1．（2019·余干縣瑞洪中學(xué)中考模擬）如圖，已知直線AB與CD相交于點(diǎn)O，EO⊥CO，OF平分∠AOE，且OF在∠COE的內(nèi)部．(1)若∠COF＝15°，求∠BOD的度數(shù)．(2)若∠BOD＝x°，則∠COF＝__________°(用含x的代數(shù)式表示)．2．（2017·河南中考模擬）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOC＝70°，∠2＝40°，則∠1的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．70°考查題型七利用對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求角的度數(shù)1．（2012·北京中考真題）如圖，直線AB，CD交于點(diǎn)O，射線OM平分∠AOD，若∠BOD=760，則∠BOM等于（）A．B．C．D．2．（2012·四川中考模擬）如圖，，，點(diǎn)B、O、D在同一直線上，則的度數(shù)是A． B． C． D．3．（2018·河南中考真題）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥AB于點(diǎn)O，∠EOD=50°，則∠BOC的度數(shù)為_(kāi)____．知識(shí)點(diǎn)三平行線平行線的概念：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，平行用符號(hào)“∥”表示，如：直線與直線互相平行，記作∥，讀作a平行于b。平行線的畫(huà)法：一落、二靠、三移、四畫(huà)。判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)它們的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)確定：①有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩直線相交；②無(wú)公共點(diǎn)，則兩直線平行；③兩個(gè)或兩個(gè)以上公共點(diǎn)，則兩直線重合平行公理（唯一性）：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。平行公理的推論（傳遞性）：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行幾何描述：∵∥，∥∴∥平行線的判定判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡(jiǎn)稱：同位角相等，兩直線平行判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行簡(jiǎn)稱：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行簡(jiǎn)稱：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）∵∠1＝∠2∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）平行線的性質(zhì)性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).。幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵AB∥CD∴∠1＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AB∥CD∴∠3＝∠2（兩直線平行，同位角相等）∵AB∥CD∴∠4＋∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）考查題型八利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)1．（2018·遼寧中考模擬）如圖，a∥b，點(diǎn)B在直線b上，且AB⊥BC，若∠1=36°，則∠2的大小為（）A．34° B．54° C．56° D．66°2．（2019·廣東可園中學(xué)中考模擬）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E,若∠A=54°，∠B=48°，則∠CDE的大小為（）A．44° B．40° C．39° D．38°3．（2018·湖北中考真題）已知直線a∥b，將一塊含45°角的直角三角板（∠C=90°）按如圖所示的位置擺放，若∠1=55°，則∠2的度數(shù)為（）A．80° B．70° C．85° D．75°4．（2019·重慶八中中考模擬）如圖，將矩形ABCD沿GH折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)Q處，點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處，若∠AGE=32°，則∠GHC等于（）A．112° B．110° C．108° D．106°5．（2019·山東中考模擬）如圖，直線被所截，且，則下列結(jié)論中正確的是()A． B． C． D．考查題型九判斷兩條直線平行1（2017·北京中考模擬）已知：如圖，直線EF分別與直線AB，CD相交于點(diǎn)P，Q，PM垂直于EF，∠1+∠2=90°．求證：AB∥CD．2．（2017·鹽城市大豐區(qū)萬(wàn)盈初級(jí)中學(xué)中考模擬）如圖，已知AB=AC=AD，且C=2∠D，求證ADBC．考查題型十平行線的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用1．（2018·江蘇中考模擬）如圖，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC=120°，∠ACF=20°，求∠FEC的度數(shù)．2．（2019·廣東華南師大附中中考模擬）已知：如圖，AE⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°．（1）求證：AB∥CD；（2）求∠C的度數(shù)．3．（2018·重慶中考模擬）已知：如圖，∠CDG=∠B，AD⊥BC于點(diǎn)D，EF⊥BC于點(diǎn)F，試判斷∠1與∠2的關(guān)系，并說(shuō)明理由．4．（2017·重慶中考模擬）如圖AF//DE，點(diǎn)B、C在線段AD上，連接FC、EB，且∠E=∠F，延長(zhǎng)EB交AF于點(diǎn)G.（1）求證：BE//CF（2）若CF=BE，求證：AB=CD考查題型十一利用作輔助線的方法解決平行線的相關(guān)問(wèn)題1．（2019·貴州中考模擬）如圖所示，直線a∥b，∠1=35°，∠2=90°，則∠3的度數(shù)為（）A．125° B．135° C．145° D．155°2．（2019·山東省臨沂實(shí)驗(yàn)中學(xué)中考模擬）如圖，直線AB∥CD，∠C＝44°，∠E為直角，則∠1等于（）A．132° B．134° C．136° D．138°3．（2019·四川中考模擬）如圖，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分線與∠CDE的平分線交于點(diǎn)F，則∠DFB=（）A．149° B．149.5° C．150° D．150.5°4．（2019·廣東中考模擬）如圖，在平行線l1、l2之間放置一塊直角三角板，三角板的銳角頂點(diǎn)A，B分別在直線l1、l2上，若∠l=65°，則∠2的度數(shù)是（）A．25° B．35° C．45° D．65°5．（2018·山東中考模擬）如圖，AB∥CD，圖中α，β，γ三角之間的關(guān)系是（）A．α+β+γ=180° B．α﹣β+γ=180° C．α+β﹣γ=180° D．α+β+γ=360°考查題型十二平行線在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用1．（2018·河北中考真題）如圖，快艇從P處向正北航行到A處時(shí)，向左轉(zhuǎn)50°航行到B處，再向右轉(zhuǎn)80°繼續(xù)航行，此時(shí)的航行方向?yàn)椋ǎ〢．北偏東30° B．北偏東80° C．北偏西30° D．北偏西50°2．（2019·河北中考模擬）如圖，要修建一條公路，從A村沿北偏東75°方向到B村，從B村沿北偏西25°方向到C村．若要保持公路CE與AB的方向一致，則∠ECB的度數(shù)為（）A．80° B．90° C．100° D．105°3．（2018·內(nèi)蒙古中考模擬）如圖，小明從A處出發(fā)沿北偏東60°方向行走至B處，又沿北偏西20°方向行走至C處，此時(shí)需把方向調(diào)整到與出發(fā)時(shí)一致，則方向的調(diào)整應(yīng)是（）A．右轉(zhuǎn)80° B．左轉(zhuǎn)80° C．右轉(zhuǎn)100° D．左轉(zhuǎn)100°知識(shí)點(diǎn)四圖形平移平移的概念：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿著某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做平移變換(簡(jiǎn)稱平移)，平移不改變物體的形狀和大小。平移的性質(zhì)：1、把一個(gè)圖形整體沿某一方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同.2、新圖形的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)3、連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等。作平移圖形的一般步驟：1、確定平移的方向和距離。2、確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)。3、過(guò)這些關(guān)鍵點(diǎn)作與平移方向平行的射線，在射線上截取與平移的距離相等的線段，得到關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。4、依次連接關(guān)鍵點(diǎn)，作出平移后的新圖形?！镜湫屠}】1．（2017·湖北中考模擬）線段CD是由線段AB平移得到的。點(diǎn)A（－2，1）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C（3，1），點(diǎn)B（－1，0）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A．（4，0）B．（－5，0）C．（－1，3）D．（－1，－3）2．（2012·河北中考模擬）．如圖所示，半圓AB平移到半圓CD的位置時(shí)所掃過(guò)的面積為（）A．3B．3＋C．6D．6+3．（2019·浙江中考模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC位于第一象限，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，3），把△ABC向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，得到△A1B1C1，則點(diǎn)B1的坐標(biāo)是（）A．（﹣2，3） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣5，2）考查題型十三利用圖形平移的性質(zhì)解決周長(zhǎng)問(wèn)題1．（2018·河北中考模擬）如圖，將△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周長(zhǎng)是16cm，那么四邊形ABFD的周長(zhǎng)是（）A．16cm B．18cm C．20cm D．21cm2．（2014·廣東中考模擬）如圖，將周長(zhǎng)為8的△ABC沿BC方向平移1個(gè)單位得到△DEF，則四邊形ABFD的周長(zhǎng)為（）A．6 B．8 C．10 D．123．（2018·四川中考模擬）如圖，△ABC中，AB=AC，BC=12cm，點(diǎn)D在AC上，DC=4cm，將線段DC沿CB方向平移7cm得到線段EF，點(diǎn)E、F分別落在邊AB、BC上，則△EBF