初中分式講義

分式的概念、運(yùn)算及分式方程一、知識框架：二、知識概念：1.分式：形如，是整式，中含有字母且不等于0的整式叫做分式.其中叫做分式的分子，叫做分式的分母.2.分式有意義的條件：分母不等于0.3.分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母同時乘以（或除以）同一個不為0的整式，分式的值不變.4.約分：把一個分式的分子和分母的公因式(不為1的數(shù)）約去，這種變形稱為約分.5.通分：異分母的分式可以化成同分母的分式，這一過程叫做通分.6.最簡分式:一個分式的分子和分母沒有公因式時，這個分式稱為最簡分式，約分時，一般將一個分式化為最簡分式.7.分式的四則運(yùn)算：⑴同分母分式加減法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.用字母表示為：⑵異分母分式加減法則：異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法法則進(jìn)行計(jì)算.用字母表示為：⑶分式的乘法法則：兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.用字母表示為：⑷分式的除法法則：兩個分式相除,把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘.用字母表示為：⑸分式的乘方法則：分子、分母分別乘方.用字母表示為：8.整數(shù)指數(shù)冪：⑴（是正整數(shù)）⑵（是正整數(shù)）⑶（是正整數(shù)）⑷（，是正整數(shù)，）⑸（是正整數(shù)）⑹（，n是正整數(shù)）9.分式方程的意義:分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程兩邊同時乘以最簡公分母,將分式方程化為整式方程);②按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值;③驗(yàn)根(求出未知數(shù)的值后必須驗(yàn)根,因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^程中,擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍,可能產(chǎn)生增根).模塊一分式的概念為何值時，分式有意義？【鞏固】⑴若分式有意義，則;⑵若分式無意義，則;解下列不等式：①；②【鞏固】⑴解不等式；⑵解不等式.模塊二分式的運(yùn)算?分式的化簡求值裂項(xiàng)設(shè)為正整數(shù)，求證：.【鞏固】化簡：.【鞏固】化簡：化簡：.【鞏固】已知，，為實(shí)數(shù)，且，，，求.【鞏固】化簡：.?分式的恒等變形部分分式下面的等式成立：，求、.【鞏固】若代數(shù)式恰好能分解為兩個二次整式的乘積(其中二次項(xiàng)系數(shù)均為1，且一次項(xiàng)系數(shù)相同)，則的最大值是.若，求、的值.【鞏固】已知與的和等于，求，.分式恒等證明求證：【鞏固】已知、、為三個不相等的實(shí)數(shù)，且，求證：.條件分式求值已知滿足，則的值為（）A.1B.C.D.【鞏固】設(shè)有理數(shù)都不為0，且，則的值為___________。分式與數(shù)論將寫成兩個因式的積，使它們的和為，求這兩個式子?！眷柟獭壳笞畲蟮恼麛?shù)，使得能被整除。模塊三分式的方程?解分式方程解方程：【鞏固】解方程：【鞏固】解方程：?分式方程的增根及根的討論已知關(guān)于的方程有一個正整數(shù)解，求的取值范圍．【鞏固】當(dāng)為何值時，關(guān)于的方程的解為負(fù)數(shù)？【鞏固】關(guān)于的方程的解也是不等式組的一個解，求的取值范圍?一元一次分式方程的應(yīng)用為響應(yīng)低碳號召，李老師上班的交通方式由開汽車改為騎自行車．李老師家距學(xué)校10千米，由于汽車的速度是自行車速度的4倍，所以李老師每天比原來提前30分鐘出發(fā)，才能按原來的時間到校，求李老師騎自行車的速度．【鞏固】為了提高產(chǎn)品的附加值，某公司計(jì)劃將研發(fā)生產(chǎn)的1200件新產(chǎn)品進(jìn)行精加工后再投放市場．現(xiàn)有甲、乙兩個工廠都具備加工能力，公司派出相關(guān)人員分別到這兩間工廠了解情況，獲得如下信息：信息一：甲工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品多用10天；信息二：乙工廠每天加工的數(shù)量是甲工廠每天加工數(shù)量的倍．根據(jù)以上信息，求甲、乙兩個工廠每天分別能加工多少件新產(chǎn)品？【鞏固】某鐵路有一隧道，由A隊(duì)單獨(dú)施工，預(yù)計(jì)200天貫通．為了公路早日通車，由A，B兩隊(duì)同時施工，結(jié)果120天就貫通了．試問：如果由B隊(duì)單獨(dú)施工，需要多少天才能貫通？?二元一次分式方程的應(yīng)用“端午”節(jié)前，第一次爸爸去超市購買了大小、質(zhì)量都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透明的盒中，此時隨機(jī)取出火腿粽子的概率為；媽媽發(fā)現(xiàn)小亮喜歡吃的火腿粽子偏少，第二次媽媽又去買了同樣的5只火腿粽子和1只豆沙粽子放入同一盒中，這時隨機(jī)取出火腿粽子的概率為．（1）請計(jì)算出第一次爸爸買的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？（2）若媽媽從盒中取出火腿粽子4只、豆沙粽子6只送爺爺和奶奶后，再讓小亮從盒中不放回地任取2只，問恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率是多少？（用字母和數(shù)字表示豆沙粽子和火腿粽子，用列清法計(jì)算）【鞏固】內(nèi)江市對城區(qū)沿江兩岸的部分路段進(jìn)行亮化工程建設(shè)，整個工程擬由甲、乙兩個安裝公司共同完成．從兩個公司的業(yè)務(wù)資料看到：若兩個公司合做，則恰好用12天完成；若甲、乙合做9天后，由甲再單獨(dú)做5天也恰好完成．如果每天需要支付甲、乙兩公司的工程費(fèi)用分別為1.2萬元和0.7萬元．試問：（1）甲、乙兩公司單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需多少天？（2）要使整個工程費(fèi)用不超過22.5萬元，則乙公司最少應(yīng)施工多少天？【鞏固】用大、小兩種貨車運(yùn)送360臺機(jī)械設(shè)備，有三種運(yùn)輸方案．方案1：設(shè)備的12用大貨車運(yùn)送，其余用小貨車運(yùn)送，需要貨車27輛；方案2：設(shè)備的13用大貨車運(yùn)送，其余用小貨車運(yùn)送，需要貨車28輛；方案3：設(shè)備的23用大貨車運(yùn)送，其余用小貨車運(yùn)送，需要貨車26輛；（1）每輛大、小貨車各可運(yùn)送多少臺機(jī)械設(shè)備？（2）如果每輛大貨車的運(yùn)費(fèi)比每輛小貨車的運(yùn)費(fèi)高m%（m＞0），請你從中選擇一種方案，使得運(yùn)費(fèi)最低，并說明理由．?分式方程組解分式方程組的關(guān)鍵就是利用換元法或者倒數(shù)法，將復(fù)雜的分式方程組轉(zhuǎn)化為整式方程組，然后利用解整式方程組的方法進(jìn)行求解，得到換元后的未知數(shù)的值，代入后得到的解．解方程組：【鞏固】解方程組【鞏固】解方程組：解方程，其中，，．【鞏固】解方程組檢測：【練習(xí)1】解方程【練習(xí)2】化簡：【練習(xí)3】若對于以外的一切數(shù)，均成立，求.【練習(xí)4】若關(guān)于的恒等式中，為最簡分式，且有，，求.【練習(xí)5】若，，，求證：【練習(xí)6】解方程組：課后作業(yè)SHAPE1.解方程2.解方程3.將化為部分分式.4.若，且，求的值．5.若，求證：.6.解方程組：章節(jié)復(fù)習(xí)1填空：（1）當(dāng)x時，分式有意義。（2）當(dāng)x時，分式有意義。（3）當(dāng)b____時，分式有意義。（4）當(dāng)x、y滿足關(guān)系時，分式有意義。2下列變形正確的是（）（A）（B）（C）（D）下列各分式中，最簡分式是（） A、B、C、D、3下列約分正確的是（） A、B、C、D、將分式EQ\F(EQ\F(1,2)x-y,EQ\F(x,5)+EQ\F(y,3))的分子和分母中的各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)，應(yīng)為（）.（A）EQ\F(x-2y,3x+5y)（B）EQ\F(15x-15y,3x+5y)（C）EQ\F(15x-30y,6x+10y)（D）EQ\F(x-2y,5x+3y)4計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)；5計(jì)算：（1）eq\f(2x,5x-3)÷eq\f(3,25x2-9)·eq\f(x,5x+3)（2）(eq\f(-2a2b,3c))2(3)(eq\f(a2b,-cd3))3÷eq\f(2a,d3)·(eq\f(c,2a))26計(jì)算：（1）eq\f(5x+3y,x2-y2)－eq\f(2x,x2-y2)(2)eq\f(1,2p+3q)+eq\f(1,2p-3q)(3)(4)7計(jì)算：8解方程9一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時，它沿江以最大航速順流航行100千米所用的時間，與以最大航速逆流航行60千米所用時間相等，江水的流速為多少？真題演練1．下列各式與相等的是（）A.B.C.D.2．解分式方程+=，下列四步中，錯誤的一步是（）A．方程兩邊分式的最簡公分母是x2-1;B．方程兩邊都乘以（x2-1），得整式方程2（x-1）+3（x+1）=6;C．解這個整式方程得：x=1D．原方程的解為x=1;3．若的值為-1,則x的值等于（）．A.-B.C.D.-4．分式方程=2的解為()A．x=4 B．x=3C．x=0 D．無解5、甲隊(duì)在天內(nèi)挖水渠米，乙隊(duì)在天內(nèi)挖水渠米，兩隊(duì)一起挖水渠米，需要的天數(shù)為（）A、B、C、D、以上均不對6、某大隊(duì)要筑一條水壩，需要在規(guī)定日期內(nèi)完成．如果由甲隊(duì)去做，恰好如期完成；若由乙隊(duì)去做，需要超過規(guī)定日期三天，現(xiàn)由甲、乙兩隊(duì)合作2天后，余下的工程由乙隊(duì)獨(dú)自去做，恰好在規(guī)定日期內(nèi)完成，求規(guī)定日期為，下面所列的方程中，正確的是（）A、B、C、D、7．關(guān)于x的方程有增根,則k的值為______．8．若分式的值為零，則x的取值范圍是__________．9．當(dāng)_____時，分式的值為正數(shù)．10．若的值是__________．11．已知xy12，x+y4，則__________．12．若x滿足x2－4x+1=0，則的值是__________．13．觀察下列各式：…，由此總結(jié)出規(guī)律，若n表示大于1的正整數(shù)，請用含有n的式子表示出此規(guī)律：__________．14．若關(guān)于x的分式方程無解，則m的值為__________.15．若__________.16．若與的值相等，則x=________________17．計(jì)算：÷=_____