課件工科高等數(shù)學(xué)1第三章

第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值3.4.1函數(shù)的單調(diào)性與極值yo

xy

f

(

x)xyy

f

(

x)a

oAB那末函數(shù)

y

f

(

x)

在[a,

b]上單調(diào)減少.f

(

x)

0

f

(

x)

0定理1

設(shè)函數(shù)

y

f

(

x)在[a,

b]上連續(xù)，在(a,

b)內(nèi)可導(dǎo).如果在(a,

b)內(nèi)f

(

x)

0，那末函數(shù)

y

f

(

x)在[a,b]上單調(diào)增加；如果在(a,b)內(nèi)f

(x)

0，b

abBA證

x1

,x2

[a,b],且x1

x2

,應(yīng)用拉氏定理,得

x1

)f

(

x2

)

f

(

x1

)

f

(

)(

x2

(

x1

x2

)若在(a,b)內(nèi)，f

(x)

0,則f

(

)

0,

f

(x2

)

f

(x1

).

y

f

(x)在[a,b]上單調(diào)增加.若在(a,b)內(nèi)，f

(x)

0,則f

(

)

0,

f

(x2

)

f

(x1

).

y

f

(x)在[a,b]上單調(diào)減少.注1:區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零或者導(dǎo)數(shù)不存在,不影響函數(shù)的單調(diào)性.y

3

xxy0xyoy

x3y

3

x在x

0處不可導(dǎo)y

x

3

在x

0處導(dǎo)數(shù)為0注2:定理中的區(qū)間換成其它有限或無(wú)限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.解例1討論函數(shù)

y

e

x

x

1的單調(diào)性

.

y

ex

1.在(

,0)內(nèi),在(0,

)內(nèi),y

0,y

0,

函數(shù)在(-

,0]上單調(diào)減少；

函數(shù)在[0,+

)上單調(diào)增加.D

:

(

,

).注：如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)．定義:若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱(chēng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.例2解確定函數(shù)

f

(

x)

3

x2

的單調(diào)區(qū)間.

D

:

(

,

).233, (

x

0)xf

(

x)

當(dāng)x

0時(shí),導(dǎo)數(shù)不存在.233, (

x

0)xf

(

x)

在[0,

)上單調(diào)增加；當(dāng)0

x

時(shí)，f

(x)

0,當(dāng)x

0時(shí),導(dǎo)數(shù)不存在.當(dāng)

x

0時(shí)，f

(

x)

0,

在(

,0]上單調(diào)減少；單調(diào)區(qū)間為(

,0]，[0,

).x2y

3導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．方法:(1)求導(dǎo)數(shù)f

(x);求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn);檢查f

(x)在駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào);單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)：例3確定函數(shù)

f

(

x)

2

x

3

9

x

2

12

x

3的單調(diào)區(qū)間.解

D

:(

,

).f

(

x)

6

x2

18

x

12

6(

x

1)(

x

2)解方程f

(x)

0

得，x1

1,x2

2.當(dāng)

x

1時(shí)，f

(x)

0,當(dāng)1

x

2時(shí)，f

(

x)

0,當(dāng)2

x

時(shí)，f

(

x)

0,

在(

,1]上單調(diào)增加；

在[1,2]上單調(diào)減少；

在[2,

)上單調(diào)增加；單調(diào)區(qū)間為(

,1]，

[1,2]，

[2,

).的單調(diào)區(qū)間.2例4.確定函數(shù)y

x

3

e-x解：函數(shù)的定義域?yàn)?

,

)23(

x

)x

3y

e

x3當(dāng)x

(

,0):y

0

函數(shù)在（

，0]內(nèi)單調(diào)減少；導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)：x

2

,導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)：x

0，3

32當(dāng)x

(0, )

:

y

0

函數(shù)在[0

2]內(nèi)單調(diào)增加；當(dāng)x

(2，

):y

0

函數(shù)在[2，

）單調(diào)減少；3

3單調(diào)區(qū)間為（

，0]，[0

2]

[2，

），

，3

3例5證3!成立.x

3當(dāng)x

0時(shí),試證sin

x

x

x

3設(shè)f

(

x)

sin

x

x

,3!x

2

則

f

(

x)

cos

x

1

,2f

(x)

x

sin

x

0

在f

(x)[0,

)上單調(diào)增加；

f

(0)

0,

當(dāng)x

0時(shí)，f

(x)

0,.3!x

3

在f

(x)[0,

)上單調(diào)增加,f

(x)

0,

即sin

x

x

f

(0)

0,注：函數(shù)單調(diào)性的判斷提供證明不等式的又一種方法(0

x

1).1

x例6：證明不等式

e2

x

1

x

,原不等式變形為(1

x)e2

x

(1

x)

0

(*)設(shè)

f

(

x)

(1

x)e2

x

(1

x)f

(

x)

(1

2

x)e2

x

1f

(x)在[0,1]內(nèi)單調(diào)減少

f

(

x)

f

(0)

0,

x

(0,1)

當(dāng)x

[0,1]時(shí)，f

(x)單調(diào)減少

當(dāng)x

(0,1)時(shí)，f

(

x)

f

(0)

0即（*）式成立。證明f

(

x)

4xe2

x

0

4有且只有一個(gè)實(shí)根。例7：證明方程

x

arctan

x

04設(shè)f

(

x)

x

arctan

x4f

(

1)

1f

(0)

,

f

(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)證明0

f

(x)單調(diào)增加11

x

2又f

(x)

1

由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理知：函數(shù)f

(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)

f

(x)

0有且只有一個(gè)實(shí)根。(利用羅爾定理反證也可)小結(jié)方程實(shí)根的個(gè)數(shù)零點(diǎn)定理Rolle定理利用函數(shù)的單調(diào)性判別Lagrange中值定理證明不等式利用函數(shù)的單調(diào)性判別注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的整體性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定．思考題若f

(0)

0，是否能斷定f

(x)在原點(diǎn)的充分小的鄰域內(nèi)單調(diào)遞增？思考題解答不能斷定.

12

0,

x

0

x

2

x

sin

,

x

0x例f

(x)

x

x

0f

(0)

lim

(1

2

x

sin

1

)

1

0但1,

x

0xxf

(

x)

1

4

x

sin

1

2cos1(2k

1)

當(dāng)x

240(2k

1)

時(shí)，f

(x)

1

12k

當(dāng)x

2時(shí)，f

(x)

1

0注意k可以任意大，故在

x0

0

點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)，f

(

x)

都不單調(diào)遞增．習(xí)題3.41（1）（4）、2（2）（3）（4）、3（2）（4）、4（2）、8、10思考題證明方程

2

x

x

2

1有且僅有三個(gè)實(shí)根第十六屆北京市大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽提示:顯然f

(

x)

2x

x2

1f

(0)

0,

f

(1)

0,f

(2)

1

0,

lim

f

(

x)

x

故在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少有三個(gè).另外注意到f

(x)

2x

ln2

2

2

0有唯一解或利用

f

(

x)

2x

ln3

2

0,例8、方程x

3

2

x

2

6

x

3

0的實(shí)根個(gè)數(shù)解：令f

(x)

x

3

2

x

2

6

x

3，則f

(

x)

3

x

2

4

x

6即函數(shù)f

(x

)在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上單調(diào)遞增又

lim

f

(

x)

,

lim

f

(

x)

x

x

僅有一個(gè)實(shí)根0例9、討論方程ln

x

ax(a

0)有幾個(gè)實(shí)根a令f

(x)

0，則x

1

,a

當(dāng)0

x

1，

f

(

x)

0,

f

,解：令f

(x)

ln

x

ax，則xf