新教材高中數(shù)學(xué)第七章復(fù)數(shù)7.3.1復(fù)數(shù)的三角表示式課件

7.3.1

復(fù)數(shù)的三角表示式課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.通過(guò)復(fù)數(shù)的幾何意義,了解復(fù)數(shù)的三角表示.2.了解復(fù)數(shù)的輻角及輻角的主值的含義.3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與三角表示之間的關(guān)系.4.加強(qiáng)直觀想象素養(yǎng),提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯(cuò)

辨

析隨

堂

練

習(xí)

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)復(fù)數(shù)的三角表示式【問(wèn)題思考】1.如圖,角θ的終邊上一點(diǎn)P(x,y),設(shè)P到原點(diǎn)O的距離|OP|=r,那么怎樣用角θ和r表示x,y?提示:能,由題圖得,a=rcos

θ,b=rsin

θ.所以a+bi=rcos

θ+irsin

θ=r(cos

θ+isin

θ).3.填空:(1)復(fù)數(shù)的輻角:以x軸的非負(fù)半軸為始邊,向量

所在射線(射線OZ)為終邊的角,叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角.我們規(guī)定在0≤θ<2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值,通常記作argz,即0≤argz<2π.

(2)復(fù)數(shù)的三角形式:一般地,任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成

r(cosθ+isinθ)的形式.其中,r是復(fù)數(shù)z的模;θ是復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角.r(cosθ+isinθ)叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的三角表示式,簡(jiǎn)稱三角形式.為了與三角形式區(qū)分開(kāi)來(lái),a+bi叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式,簡(jiǎn)稱代數(shù)形式.

(3)兩個(gè)用三角形式表示的復(fù)數(shù)相等的充要條件:兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等.答案:(1)A

(2)B【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)復(fù)數(shù)0的輻角的主值是0.(

×

)(2)任何一個(gè)復(fù)數(shù)的輻角有無(wú)限多個(gè)值,且這些值相差2π的整數(shù)倍.(

×

)(3)非零復(fù)數(shù)z的輻角主值是確定的,且唯一的.(

√

)(4)在復(fù)數(shù)的三角形式中,輻角θ的值可以用弧度表示,也可以用角度表示,可以是主值,也可以是主值加2kπ或k·360°(k為整數(shù)).(

√

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

復(fù)數(shù)的三角形式【例1】

下列復(fù)數(shù)是不是三角形式?若不是,把它們轉(zhuǎn)化為三角形式.分析:根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式的結(jié)構(gòu)特征:模非負(fù),角相同,余弦前,加號(hào)連,確定判斷的依據(jù)和變形的方向.復(fù)數(shù)三角形式的判斷依據(jù)和變形步驟:(1)判斷依據(jù):三角形式的結(jié)構(gòu)特征,模非負(fù),角相同,余弦前,加號(hào)連.(2)變形步驟:首先確定復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限(此處可假定θ為銳角),其次判斷是否要變換三角函數(shù)名稱,最后確定輻角.此步驟可簡(jiǎn)稱為“定點(diǎn)→定名→定角”.【變式訓(xùn)練1】

下列復(fù)數(shù)是不是三角形式?若不是,把它們轉(zhuǎn)化為三角形式.(3)由“模非負(fù)”知,不是三角形式.復(fù)平面上的點(diǎn)Z3(-2cos

θ,-2sin

θ)在第三象限(假定θ為銳角),余弦“-cos

θ”已在前,不需要變換三角函數(shù)名稱,因此可用誘導(dǎo)公式“π+θ”將θ變換到第三象限.所以z3=-2(cos

θ+isin

θ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)].探究二

復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式【例2】

畫出下列復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量,指出它們的模和輻角的主值,并把這些復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為三角形式:(2)復(fù)數(shù)-10對(duì)應(yīng)的向量如圖所示,

則模r=10,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上,所以arg(-10)=π.所以-10=10(cos

π+isin

π).復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化成三角形式的步驟:

(1)先求復(fù)數(shù)的模;(2)決定輻角所在的象限;(3)根據(jù)象限求出輻角(常取它的主值);(4)寫出復(fù)數(shù)的三角形式.解:(1)r=1,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在x軸的正半軸上,所以arg

(1)=0.所以1=cos

0+isin

0.探究三

把復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式【例3】

分別指出下列復(fù)數(shù)的模和一個(gè)輻角,并把這些復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式:1.類似三角形式的復(fù)數(shù)求模和輻角時(shí),注意三角形式的結(jié)構(gòu)特征:模非負(fù),角相同,余弦前,加號(hào)連.2.將復(fù)數(shù)的三角形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式,直接求出角的三角函數(shù)值,化簡(jiǎn)即可.易

錯(cuò)

辨

析忽視角θ的范圍而致誤【典例】

求復(fù)數(shù)z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)的模與輻角的主值.以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:錯(cuò)解中忽視了條件π<θ<2π,導(dǎo)致沒(méi)有轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的三角形式就直接下結(jié)論.1.在表示復(fù)數(shù)的三角形式時(shí),要嚴(yán)格套用復(fù)數(shù)三角形式的四個(gè)結(jié)構(gòu)特征:模非負(fù),角相同,余弦前,加號(hào)連.2.注意復(fù)數(shù)輻角的主值范圍[0,2π).【變式訓(xùn)練】

復(fù)數(shù)z=1-cosθ+isinθ(π<θ<2π)的輻角的主值為(

)答案:C隨

堂

練

習(xí)答案:B2.復(fù)數(shù)z=-sin100°+icos100°的輻角的主值是(

)°°°°解析:∵z=-sin

100°+icos

100°=-cos

10°-isin

10°=cos

190°+isin

190°,∴arg

z=190°,選C.答案:C3.兩個(gè)復(fù)數(shù)z1,z2的模與輻角分別相等,是z1=z2成立的(