2022學(xué)年高中物理曲線運動同步學(xué)案新人教版4

第5節(jié)圓周運動要點一對勻速圓周運動的理解1．勻速的含義(1)速度的大小不變，即速率不變．(2)轉(zhuǎn)動快慢不變，即角速度不變．由ω＝eq\f(θ,t)＝eq\f(2π,T)＝2πf，故周期或頻率都不變．2．運動性質(zhì)(1)速度的方向時刻改變，所以勻速圓周運動是一種變速運動．(2)速度的大小即速率不變，所以勻速圓周運動是勻速率運動．要點二公式v＝ωr中各量的關(guān)系線速度v和角速度ω都可以用來描述圓周運動的快慢，公式v＝ωr，反映了它們和半徑之間的關(guān)系．1．r一定時，v∝ω舉例：(1)齒輪邊緣處的質(zhì)點隨齒輪轉(zhuǎn)速的增大，角速度和線速度都增大．(2)騎自行車時行駛越快，車輪轉(zhuǎn)得越快，角速度就越大，車輪邊緣上各點的線速度就越大．2．ω一定時，v∝r舉例：(1)時鐘上的分針轉(zhuǎn)動時，其上各點的角速度相等，但分針上離圓心越遠的點，r越大，v也就越大．(2)地球上各點都在繞地軸做圓周運動，且角速度相同，但地球表面緯度越低的地方，到地軸的距離就越大，因此線速度就越大，赤道上各點的線速度最大．3．v一定時，ω∝eq\f(1,r)圖5－5－2舉例：如圖5－5－2所示的皮帶傳動裝置中，兩輪邊緣上各點的線速度大小相等，但大輪的r較大，所以ω較?。傊瑅、ω、r間的關(guān)系是瞬時對應(yīng)的，分析v、ω、r之間的關(guān)系，一定要先確立其中一個量不變，再討論另外兩個量的正比、反比關(guān)系．4．線速度v與角速度ω的異同v與ω都是描述做勻速圓周運動質(zhì)點運動快慢的物理量，但兩者都無法全面、準(zhǔn)確地反映質(zhì)點的運動狀態(tài)，它們都有一定的局限性．例如地球繞太陽運動的線速度是3×104m/s，但它的角速度卻很小，只有2×10要點三常見的傳動裝置及其特點1．共軸傳動圖5－5－3A點和B點在同軸的一個圓盤上，如圖5－5－3所示，圓盤轉(zhuǎn)動時，它們的線速度、角速度、周期存在以下定量關(guān)系：ωA＝ωB，eq\f(vA,vB)＝eq\f(r,R)，TA＝TB，并且轉(zhuǎn)動方向相同．2．皮帶傳動A點和B點分別是兩個輪子邊緣的點，兩個輪子用皮帶連起來，圖5－5－4并且皮帶不打滑．如圖5－5－4所示，輪子轉(zhuǎn)動時，它們的線速度、角速度、周期存在以下定量關(guān)系：vA＝vB，eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(r,R)，eq\f(TA,TB)＝eq\f(R,r)，并且轉(zhuǎn)動方向相同．3．齒輪傳動圖5－5－5A點和B點分別是兩個齒輪邊緣上的點，兩個齒輪輪齒嚙合．如圖5－5－5所示，齒輪轉(zhuǎn)動時，它們的線速度、角速度、周期存在以下定量關(guān)系：vA＝vB，eq\f(TA,TB)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(n1,n2)，eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(r2,r1)＝eq\f(n2,n1).式中n1、n2分別表示兩齒輪的齒數(shù)．兩點轉(zhuǎn)動方向相反．說明在處理傳動裝置中各物理量間的關(guān)系時，關(guān)鍵是確定其相同的量(線速度或角速度)，再由描述圓周運動的各物理量間的關(guān)系，確定其他各量間的關(guān)系.1.勻速圓周運動和勻速直線運動的性質(zhì)一樣嗎？研究物體的運動一般會涉及速度，速度是描述物體運動的一個重要的物理參量．速度是矢量，不僅可以描述運動快慢，同時也描述運動方向，矢量是大小和方向的統(tǒng)一體，其方向和大小同樣重要，這兩者是標(biāo)志矢量變與不變的兩個必要因素，這兩個因素只要有一個變化，就會導(dǎo)致矢量的變化．勻速圓周運動和勻速直線運動，這兩種運動形式的共同點是運動快慢保持不變，這就是所謂的勻速，即速度的大小保持不變．但僅僅以速度的大小來描述物體運動是不全面的，我們還得研究速度的方向．勻速直線運動速度的方向是一直保持不變的，是一種速度保持不變的運動，而勻速圓周運動的速度沿圓周的切線方向，在運動過程中時刻在變，是一種變速運動．所以它們是兩種截然不同的兩種運動．2．為什么要用線速度和角速度兩個物理量描述圓周運動的快慢？線速度與角速度都是描述勻速圓周運動的質(zhì)點運動快慢的物理量，線速度側(cè)重于物體通過弧長快慢的程度；而角速度側(cè)重于質(zhì)點轉(zhuǎn)過角度的快慢程度．它們都有一定的局限性，任何一個速度(v或ω)都無法全面、準(zhǔn)確地反映出做勻速圓周運動的質(zhì)點的運動狀態(tài)．例如地球圍繞太陽運動的線速度是3×104m/s，這個數(shù)值是較大的，但它的角速度卻很小，其值為2×103．描述圓周運動的各物理量之間的關(guān)系是怎樣的？它們是如何描述圓周運動的？(1)線速度和角速度間的關(guān)系如果物體沿半徑為r的圓周做勻速圓周運動，在時間Δt內(nèi)通過的弧長是Δl，半徑轉(zhuǎn)過的角度是Δθ，由數(shù)學(xué)知識知Δl＝rΔθ，于是有v＝eq\f(Δl,Δt)＝eq\f(rΔθ,Δt)＝rω，即v＝rω.上式表示：r一定時，v與ω成正比；ω一定時，v與r成正比；v一定時，ω與r成反比．(2)線速度與周期的關(guān)系由于做勻速圓周運動的物體，在一個周期內(nèi)通過的弧長為2πr，所以有v＝eq\f(2πr,T).上式表明，只有當(dāng)半徑相同時，周期小的線速度大，當(dāng)半徑不同時，周期小的線速度不一定大，所以，周期與線速度描述的快慢是不一樣的．若比較物體沿圓周運動的快慢看線速度，若比較物體繞圓心運動的快慢看周期、角速度．(3)角速度與周期的關(guān)系由于做勻速圓周運動的物體，在一個周期內(nèi)半徑轉(zhuǎn)過的角度為2π，則有ω＝eq\f(2π,T).上式表明，角速度與周期一定成反比，周期大的角速度一定小．(4)考慮頻率f，則有ω＝2πf，v＝2πfr.(5)而頻率f與n的關(guān)系為f＝n.以上各物理量關(guān)系有v＝ωr＝eq\f(2π,T)r＝2πfr＝2πnr.一、描述圓周運動的物理量的理解例1關(guān)于做勻速圓周運動的物體的線速度、角速度、周期的關(guān)系，下面說法中正確的是()A．線速度大的角速度一定大B．線速度大的周期一定小C．角速度大的半徑一定小D．角速度大的周期一定小解析解決這類題目的方法是：確定哪個量不變，尋找各物理量之間的聯(lián)系，靈活選取公式進行分析．由v＝ωr知，r一定時，v與ω成正比；v一定時，ω與r成反比，故A、C均錯．由v＝eq\f(2πr,T)知，r一定時，v越大，T越小，B錯．而ω＝eq\f(2π,T)可知，ω越大，T越小，故D對．答案D方法總結(jié)公式v＝ωr，在半徑不確定的情況下，不能由角速度大小判斷線速度大小，也不能由線速度大小判斷角速度的大小，但由ω＝eq\f(2π,T)可看出，角速度越大，周期越小.二、傳動裝置中各物理量間的關(guān)系問題例2如圖5－5－6所示的傳動裝置中，B、C兩輪固定在一起繞同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動，A、B兩輪用皮帶轉(zhuǎn)動，三輪半徑關(guān)系是rA＝rC＝2rB.若皮帶不打滑，求A、B、C輪邊緣的a、b、c三質(zhì)點的角速度之比和線速度之比．圖5－5－6解析A、B兩輪通過皮帶轉(zhuǎn)動，且皮帶不打滑，則A、B兩輪邊緣的線速度大小相等，即va＝vb或va∶vb＝1∶1①由v＝ωr得ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2②B、C兩輪固定在一起繞同一軸轉(zhuǎn)動．則B、C兩輪的角速度相同，即ωb＝ωc或ωb∶ωc＝1∶1③由v＝ωr得vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2④由②③得ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2由①④得va∶vb∶vc＝1∶1∶2答案1∶2∶21∶1∶2方法總結(jié)1．要熟悉傳動裝置的特點(1)皮帶傳動(線速度大小相等)．(2)同軸傳動(角速度相等)．(3)齒輪傳動(線速度大小相等)．(4)摩擦傳動(線速度大小相等)．2．要弄清哪些物理量相等，再聯(lián)立v＝ωr去分析.三、與圓周運動結(jié)合的綜合問題例3如圖5－5－7所示，圖5－5－7直徑為d的紙制圓筒以角速度ω繞垂直紙面的軸O勻速轉(zhuǎn)動(圖示為截面)．從槍口發(fā)射的子彈沿直徑穿過圓筒，若子彈在圓筒旋轉(zhuǎn)不到半周時，在圓周上先后留下a、b兩個彈孔，已知aO與bO夾角為θ，求子彈的速度．解析通過圓周運動轉(zhuǎn)過的角度求出運動的時間，該運動時間也是直線運動的時間，再根據(jù)直線運動的位移，即可求出直線運動的速度．子彈射出后沿直線運動，從a點射入，從b點射出，該過程中圓筒轉(zhuǎn)過的角度為π－θ.設(shè)子彈速度為v，則子彈穿過圓筒的時間t＝eq\f(d,v).此時間內(nèi)圓筒轉(zhuǎn)過的角度α＝π－θ，據(jù)α＝ωt得π－θ＝ωeq\f(d,v)，則子彈速度v＝eq\f(ωd,π－θ).答案eq\f(ωd,π－θ)方法總結(jié)解決此類問題關(guān)鍵要抓住物體做直線運動的時間與圓周運動的時間相等，若無角度的限制，轉(zhuǎn)過的角度應(yīng)加上2π·n(n＝1、2、3、…)，注意題目給出的條件.1.對于勻速圓周運動，下列說法中錯誤的是()A．線速度不變B．角速度不變C．周期不變D．轉(zhuǎn)速不變答案A2．下列物理量是矢量的有()A．線速度B．周期C．頻率D．轉(zhuǎn)速答案A3．機械手表中的時針與分針可視為勻速轉(zhuǎn)動，時針與分針從第一次重合到第二次重合中間經(jīng)歷的時間為()A．1h\f(11,12)h\f(12,12)h\f(12,11)h答案D4．關(guān)于勻速圓周運動的角速度和線速度，下列說法正確的是()A．半徑一定，角速度與線速度成反比B．半徑一定，角速度與線速度成正比C．線速度一定，角速度與半徑成正比D．角速度一定，線速度與半徑成反比答案B解析由v＝ω·r可知，r一定時，ω∝v，故A錯，而B正確．v一定時，ω∝eq\f(1,r)，故C錯；ω一定時，v∝r，故D錯．5．由“嫦娥奔月”到“萬戶飛天”，由“東方紅”樂曲響徹寰宇到航天員楊利偉遨游太空，中華民族載人航天的夢想已變成現(xiàn)實．“神舟”五號飛船升空后，先運行在近地點高度200千米、遠地點高度350千米的橢圓軌道上，實施變軌后，進入343千米的圓軌道．假設(shè)“神舟”五號實施變軌后做勻速圓周運動，共運行了n周，起始時刻為t1，結(jié)束時刻為t2，運行速度為v，半徑為r.則計算其運行周期可用()A．T＝eq\f(t2－t1,n)B．T＝eq\f(t1－t2,n)C．T＝eq\f(2πr,v)D．T＝eq\f(2πv,r)答案AC解析由題意可知飛船做勻速圓周運動n周所需時間Δt＝t2－t1，故其周期T＝eq\f(Δt,n)＝eq\f(t2－t1,n)，故選項A正確．由周期公式有T＝eq\f(2πr,v)，故選項C正確．6．如圖5－5－8所示，圖5－5－8豎直薄壁圓筒內(nèi)壁光滑，其半徑為R，上部側(cè)面A處開有小口，在小口A的正下方h處亦開有與A大小相同的小口B，小球從小口A沿切線方向水平射入筒內(nèi)，使小球緊貼筒內(nèi)壁運動．要使小球從B口處飛出，小球進入A口的最小速率v0為()A．πReq\r(\f(g,2h))B．πReq\r(\f(2g,h))C．πReq\r(\f(2h,g))D．2πReq\r(\f(g,h))答案B解析小球在豎直方向上做自由落體運動，則h＝eq\f(1,2)gt2，又由于圓筒內(nèi)壁光滑，故小球沿水平方向做勻速圓周運動．若小球恰能從B點飛出，則水平方向做圓周運動的最短路程s＝2πR，所以小球剛進入入口時的速度為v＝eq\f(s,t)＝2πReq\r(\f(g,2h))＝πReq\r(\f(2g,h))，故B選項正確．7．如圖5－5－9所示為一皮帶傳送裝置，圖5－5－9a、b分別是兩輪邊緣上的兩點，c處在O1輪上，且有ra＝2rb＝2rc，下列關(guān)系正確的有()A．va＝vbB．ωa＝ωbC．va＝vcD．ωa＝ωc答案AD解析由皮帶傳動特點可知va＝vb，所以A正確；再由v＝rω可知eq\f(ωa,ωb)＝eq\f(rb,ra)＝eq\f(1,2)，B錯誤．由共軸傳動特點可知，ωa＝ωc，D正確．再由v＝rω可知，eq\f(va,vc)＝eq\f(ra,rc)＝eq\f(2,1)，所以C錯誤．8．如圖5－5－10所示的傳動裝置中，A、B、C三個輪子的半徑rA＝rC＝、B兩輪共軸，在皮帶不打滑時，三個輪子轉(zhuǎn)動的角速度之比ωA∶ωB∶ωC＝________；三個輪子邊緣上各點的線速度之比vA∶vB∶vC＝________；三個輪子邊緣上各點的周期之比TA∶TB∶TC＝________.圖5－5－10答案2∶2∶12∶1∶11∶1∶2解析因同一輪子上各點的角速度都相等，皮帶傳動(皮帶不打滑)中與皮帶接觸的輪緣上各點的線速度大小都相等(因各點在相等的時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓弧長度相等)，故ωA＝ωB，B、C輪緣上點的線速度相等，即vB＝vC.由于v＝ωr.所以ωB∶ωC＝eq\f(vB,rB)∶eq\f(vC,rC)＝rC∶rB＝2∶1，故ωA∶ωB∶ωC＝2∶2∶1；vA∶vB∶vC＝ωArA∶ωBrB∶ωCrC＝2∶1∶1；由于T＝eq\f(2π,ω)，故TA∶TB∶TC＝1∶1∶2.題型①基本物理量的理解與應(yīng)用地球半徑R＝6400km，站在赤道上的人和站在北緯60°上的人隨地球轉(zhuǎn)動的角速度多大？它們的線速度多大？答案兩人的角速度相同，為×10－5rad/s線速度分別為467.2m/s和233.6m/s解析站在地球上的人隨地球做勻速圓周運動，其周期相同．如右圖所示，作出地球自轉(zhuǎn)示意圖，設(shè)赤道上的人站在A點，北緯60°上的人站在B點，地球自轉(zhuǎn)角速度不變，A、B兩點的角速度相同，有ωA＝ωB＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2×,24×3600)rad/s≈×10－5rad/s依題意可知：A、B兩處站立的人隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運動的半徑分別為RA＝R，RB＝Rcos60°，則由v＝ωr可知A、B兩點的線速度分別為vA＝ωARA＝×10－5×6400×103m/s＝vB＝ωBRB＝×10－5×6400×103·cos60°m/s＝233.6m/s.拓展探究靜止在地球上的物體都要隨地球一起轉(zhuǎn)動，下列說法正確的是()A．它們的運動周期都是相同的B．它們的線速度都是相同的C．它們的線速度大小都是相同的D．它們的角速度是不同的答案A解析如右圖所示，地球繞自轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動時，地球上各點的運動周期及角速度都是相同的．地球表面上的物體，隨地球做圓周運動的平面是物體所在緯度線平面，其圓心分布在整條自轉(zhuǎn)軸上，不同緯度處物體圓周運動的半徑是不同的，只有同一緯度處的物體轉(zhuǎn)動半徑相等，線速度的大小才相等．但即使物體的線速度大小相同，方向也各不相同．歸納總結(jié)分析質(zhì)點做圓周運動的物理量，要先確定質(zhì)點做圓周運動的軌跡所在的平面，以及圓周運動圓心的位置，從而確定圓周的半徑，然后由v、ω的定義式及v、ω、R的關(guān)系式來計算或討論.題型②傳動裝置的問題如圖1是自行車傳動機構(gòu)的示意圖，其中Ⅰ是半徑為r1的大齒輪，Ⅱ是半徑為r2的小齒輪，Ⅲ是半徑為r3的后輪，假設(shè)腳踏板的轉(zhuǎn)速為nr/s，則自行車前進的速度為()圖1\f(πnr1r3,r2)\f(πnr2r3,r1)\f(2πnr1r3,r2)\f(2πnr2r3,r1)答案C解析前進速度即為Ⅲ輪的線速度，由同一個輪上的角速度相等，同一條線上的線速度相等可以得ω1r1＝ω2r2，ω3＝ω2，再有ω1＝2πn，v＝ωr，所以v＝eq\f(2πnr1r3,r2).拓展探究如圖2所示，圖2兩輪通過邊緣接觸，形成摩擦傳動裝置，設(shè)接觸處無打滑現(xiàn)象．已知大輪B的半徑是小輪A的半徑的2倍，設(shè)主動輪A轉(zhuǎn)動時其邊緣的角速度為ω，線速度為v.求：(1)A、B兩輪的轉(zhuǎn)動周期之比．(2)B輪轉(zhuǎn)動的角速度．答案(1)1∶2(2)eq\f(1,2)ω解析A、B兩輪的邊緣點線速度大小相等．(1)由于兩輪邊緣線速度大小相等，由公式v＝eq\f(2πr,T)可得，兩輪周期之比eq\f(TA,TB)＝eq\f(rA,rB)＝eq\f(1,2).(2)由公式v＝ωr可得，兩輪的角速度之比eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(rB,rA)＝2，ωB＝eq\f(1,2)ωA＝eq\f(1,2)ω.歸納總結(jié)分析傳動問題，要抓住不等量和相等量的關(guān)系，要特別注意以下兩點：(1)同軸的各點角速度、轉(zhuǎn)速、周期相等，線速度與半徑成正比．(2)在不考慮皮帶打滑的情況下，皮帶上各點與傳動輪上各點線速度大小相等，而角速度與半徑成反比.題型③圓周運動與其他運動的結(jié)合問題如圖3所示，圖3小球A在光滑的半徑為R的圓形槽內(nèi)做勻速圓周運動，當(dāng)它運動到圖中的a點時，在圓形槽中心O點正上方h處，有一小球B沿Oa方向以某一初速度水平拋出，結(jié)果恰好在a點與A球相碰，求：(1)B球拋出時的水平初速度．(2)A球運動的線速度最小值．答案(1)Req\r(\f(g,2h))(2)2πReq\r(\f(g,2h))解析(1)小球B做平拋運動，其在水平方向上做勻速直線運動，則R＝v0t①在豎直方向上做自由落體運動，則h＝eq\f(1,2)gt2②由①②得v0＝eq\f(R,t)＝Req\r(\f(g,2h)).(2)A球的線速度vA＝eq\f(2πR,T)＝eq\f(2πR,t/n)＝2πRneq\r(\f(g,2h))當(dāng)n＝1時，其線速度最小，即vmin＝2πReq\r(\f(g,2h)).歸納總結(jié)與圓周運動相結(jié)合的綜合問題，解決的關(guān)鍵要抓住物體運動與圓周運動的時間相等，還要注意圓周運動的周期性.1.關(guān)于勻速圓周運動的說法中正確的是()A．勻速圓周運動是勻速運動B．勻速圓周運動是變速運動C．勻速圓周運動的線速度不變D．勻速圓周運動的角速度不變答案BD2．甲沿著半徑為R的圓周跑道勻速跑步，乙沿著半徑為2R的圓周跑道勻速跑步．在相同的時間內(nèi)，甲、乙各自跑了一圈，他們的角速度和線速度分別為ω1、ω2和v1、v2，則()A．ω1>ω2，v1>v2B．ω1<ω2，v1<v2C．ω1＝ω2，v1<v2D．ω1＝ω2，v1>v2答案C解析由ω＝eq\f(2π,T)知，甲、乙兩人角速度相同，又由v＝eq\f(2πr,T)知，v1<v2，故C正確．3．如圖4所示，圖4靜止在地球上的物體都要隨地球一起轉(zhuǎn)動，a是位于赤道上的一點，b是位于北緯30°的一點，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)、b兩點的運動周期都相同B．它們的角速度是不同的C．a(chǎn)、b兩點的線速度大小相同D．a(chǎn)、b兩點線速度大小之比為2∶eq\r(3)答案AD解析如題圖所示，地球繞自轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動時，地球上各點的周期及角速度都是相同的．地球表面物體做圓周運動的平面是物體所在緯度線平面，其圓心分布在整條自轉(zhuǎn)軸上，不同緯度處物體圓周運動的半徑是不同的，b點半徑rb＝eq\f(\r(3),2)ra，由v＝ωr，可得va∶vb＝2∶eq\r(3).4．如圖5所示為某一皮帶傳動裝置．主動輪的半徑為r1，從動輪的半徑為r2.已知主動輪做順時針轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速為n，轉(zhuǎn)動過程中皮帶不打滑．下列說法正確的是()圖5A．從動輪做順時針轉(zhuǎn)動B．從動輪做逆時針轉(zhuǎn)動C．從動輪的轉(zhuǎn)速為eq\f(r1,r2)nD．從動輪的轉(zhuǎn)速為eq\f(r2,r1)n答案BC解析因為皮帶不打滑，兩輪緣上各點的線速度等大，各點做圓周運動的速度方向為切線方向，則皮帶上的M、N點均沿MN方向運動，從動輪沿逆時針方向轉(zhuǎn)動，A錯B對．根據(jù)線速度與角速度的關(guān)系式：v＝rω，ω＝2πn所以n∶n2＝r2∶r1，n2＝eq\f(r1,r2)n，C對D錯．5．正常走動的鐘表，其時針和分針都在做勻速圓周運動，下列說法中正確的有()A．時針和分針角速度相同B．分針的角速度是時針角速度的12倍C．時針和分針的周期相同D．分針的周期是時針周期的12倍答案B6．甲、乙兩個做圓周運動的質(zhì)點，它們的角速度之比為3∶1，線速度之比為2∶3，那么下列說法正確的是()A．它們的半徑之比為2∶9B．它們的半徑之比為1∶2C．它們的周期之比為2∶3D．它們的周期之比為1∶3答案AD解析由v＝ωr，所以r＝eq\f(v,ω)，r甲∶r乙＝eq\f(v甲,ω甲)∶eq\f(v乙,ω乙)＝eq\f(2,9)，A對，B錯；由T＝eq\f(2π,ω)，所以T甲∶T乙＝eq\f(1,ω甲)∶eq\f(1,ω乙)＝eq\f(1,3)，D對，C錯．7．半徑為R的大圓盤以角速度ω旋轉(zhuǎn)，如圖6所示．圖6有人站在盤邊P點上隨盤轉(zhuǎn)動，他想用槍擊中在圓盤中心的目標(biāo)O.若子彈的速度為v0，則()A．槍應(yīng)瞄準(zhǔn)目標(biāo)O射去B．槍應(yīng)向PO的右方偏過θ角射去，而cosθ＝eq\f(ωR,v0)C．槍應(yīng)向PO的左方偏過θ角射去，而tanθ＝eq\f(ωR,v0)D．槍應(yīng)向PO的左方偏過θ角射去，而sinθ＝eq\f(ωR,v0)答案D解析若槍瞄準(zhǔn)目標(biāo)O射去，則子彈參與的兩個分運動如圖甲所示．顯然，子彈的合運動方向(即實際運動方向)偏向PO右側(cè)．因此槍應(yīng)向PO左方射去，如圖乙所示．當(dāng)合速度方向沿PO方向時，sinθ＝eq\f(ωR,v0).8．一般的轉(zhuǎn)動機械上都標(biāo)有“轉(zhuǎn)速×××r/min”，該數(shù)值是轉(zhuǎn)動機械正常工作時的轉(zhuǎn)速，不同的轉(zhuǎn)動機械上標(biāo)有的轉(zhuǎn)速一般是不同的，下列有關(guān)轉(zhuǎn)速的說法正確的是()A．轉(zhuǎn)速越大，說明該轉(zhuǎn)動機械正常工作時轉(zhuǎn)動的線速度一定越大B．轉(zhuǎn)速越大，說明該轉(zhuǎn)動機械正常工作時轉(zhuǎn)動的角速度一定越大C．轉(zhuǎn)速越大，說明該轉(zhuǎn)動機械正常工作時轉(zhuǎn)動的周期一定越大D．轉(zhuǎn)速越大，說明該轉(zhuǎn)動機械正常工作時轉(zhuǎn)動的頻率一定越大答案BD9．如圖7所示，圖7A、B兩個齒輪的齒數(shù)分別是z1、z2，各自固定在過O1、O2的軸上．其中過O1的軸與電動機相連接，此軸每分鐘轉(zhuǎn)速為n1，求：(1)B齒輪的轉(zhuǎn)速n2.(2)A、B兩齒輪的半徑之比．(3)在時間t內(nèi)，A、B兩齒輪轉(zhuǎn)過的角度之比，以及B齒輪外緣上一點通過的路程．答案(1)eq\f(z1,z2)n1(2)z1∶z2(3)z2∶z1eq\f(2πz1n1r2t,z2)解析在齒輪傳動裝置中，各齒輪的“齒”是相同的，齒輪的齒數(shù)對應(yīng)齒輪的周長，在齒輪傳動進行轉(zhuǎn)速變換時，單位時間內(nèi)每個齒輪轉(zhuǎn)過的齒數(shù)相等，相當(dāng)于每個接合的齒輪邊緣處線速度大小相等，因此齒輪傳動滿足的關(guān)系是齒輪轉(zhuǎn)速與齒數(shù)成反比，即eq\f(z1,z2)＝eq\f(n2,n1)＝eq\f(ω2,ω1).(1)齒輪的轉(zhuǎn)速與齒數(shù)成反比，所以B齒輪的轉(zhuǎn)速n2＝eq\f(z1,z2)n1(2)齒輪A邊緣的線速度v1＝ω1r1＝2πn1r1齒輪B邊緣的線速度v2＝ω2r2＝2πn2r2因兩齒輪邊緣上點的線速度大小相等，即v1＝v2所以2πn1r1＝2πn2r2即兩齒輪半徑之比r1∶r2＝n2∶n1＝z1∶z2.(3)在時間t內(nèi)，A、B轉(zhuǎn)過的角度分別為φ1＝ω1t＝2πn1t，φ2＝ω2t＝2πn2t，轉(zhuǎn)過的角度之比φ1∶φ2＝n1∶n2＝z2∶z1.B齒輪外緣一點在時間t內(nèi)通過的路程為s2＝v2t＝ω2r2t＝2πn2r2t＝eq\f(2πz1n1r2t,z2).10．如圖8所示，圖8半徑為R的圓輪在豎直面內(nèi)繞O軸勻速轉(zhuǎn)動，輪上a、b兩點與O的連線相互垂直，a、b兩點均粘有一個小物體，當(dāng)a點轉(zhuǎn)至最低位置時，a、b兩點處的小物體同時脫落，經(jīng)過相同時間落到水平地面上．(1)試判斷圓輪的轉(zhuǎn)動方向(說明判斷理由)．(2)求圓輪轉(zhuǎn)動的角速度大?。鸢?1)逆時針轉(zhuǎn)動，理由見解析(2)eq\r(\f(g,2R))解析(1)由題意知a物體做平拋運動，若與b點物體下落的時間相同，則b物體必須做豎直下拋運動，故知圓輪轉(zhuǎn)動方向為逆時針轉(zhuǎn)動．(2)a平拋：R＝eq\f(1,2)gt2①得t＝eq\r(\f(2R,g))b豎直下拋：2R＝v0t＋eq\f(1,2)gt2②由①②得v0＝eq\r(\f(gR,2))又因ω＝eq\f(v0,R)③所以ω＝eq\r(\f(g,2R))11．如圖9所示，圖9一質(zhì)點做半徑為R的勻速圓周運動，經(jīng)過時間t，質(zhì)點從A點第一次運動到同一直徑上的B點，求：(1)質(zhì)點做勻速圓周運動的線速度．(2)質(zhì)點在時間t內(nèi)的平均速度．答案(1)eq\f(πR,t)(2)eq\f(2R,t)解析(1)由線速度的定義，得v＝eq\f(Δl,Δt)＝eq\f(πR,t).(2)質(zhì)點在時間t內(nèi)的平均速度由eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)得eq\x\to(v)＝eq\f(2R,t)第6節(jié)向心加速度要點一對向心加速度的理解1．加速度定義公式：a＝eq\f(Δv,Δt)，a的方向與Δv的方向一致．2．速度的變化量Δv＝v2－v1是矢量式，其運算規(guī)律符合平行四邊形定則．3．方向：總是沿著圓周運動的半徑指向圓心，即方向始終與運動方向垂直．(1)勻速圓周運動雖然線速度的大小不變，但速度方向時刻改變，Δv就是由于速度方向的變化產(chǎn)生的．0時，Δv指向圓心，所以加速度指向圓心．→0時，Δv指向圓心，所以加速度指向圓心．4．物理意義：描述線速度方向改變的快慢．5．圓周運動的性質(zhì)：不論加速度an的大小是否變化，an的方向是時刻改變的，所以圓周運動一定是變加速運動．要點二向心加速度的幾種表達式1．不同形式的各種表達式(1)對應(yīng)線速度：an＝eq\f(v2,r).(2)對應(yīng)角速度：an＝rω2.(3)對應(yīng)周期：an＝eq\f(4π2,T2)r.(4)對應(yīng)轉(zhuǎn)速：an＝4π2n2r.(5)推導(dǎo)公式：an＝ωv.2．理解(1)當(dāng)半徑一定時，向心加速度的大小與角速度的平方成正比，也與線速度的平方成正比．隨頻率的增加或周期的減小而增大．(2)當(dāng)角速度一定時，向心加速度與運動半徑成正比．(3)當(dāng)線速度一定時，向心加速度與運動半徑成反比．a(chǎn)n與r的關(guān)系圖象，如圖5－6－2所示．圖5－6－2由an—r圖象可以看出：an與r成正比還是反比，要看ω恒定還是v恒定．3．向心加速度公式也適用于非勻速圓周運動(1)向心加速度不一定是物體做圓周運動的實際加速度．①對于勻速圓周運動，其所受的合外力就是向心力，其只產(chǎn)生向心加速度，因而勻速圓周運動的向心加速度是其實際加速度．②圖5－6－3而對于非勻速圓周運動，例如豎直平面內(nèi)的圓周運動，如圖5－6－3所示，小球的合力不指向圓心，因而其實際加速度也不指向圓心，此時的向心加速度只是它的一個分加速度，還有切向加速度．向心加速度表達速度方向改變的快慢，切向加速度表達速度大小改變的快慢．(2)an＝eq\f(v2,r)＝rω2＝ωv，適用于勻速圓周運動和變速圓周運動，要注意的是變速圓周運動的線速度和角速度都是變化的，利用向心加速度公式只能求某時刻的向心加速度．要求某一時刻的向心加速度，必須用該時刻的線速度或角速度代入進行計算.如何理解向心加速度的含義？分析：速度矢量的方向應(yīng)當(dāng)用它與空間某一確定方向(如坐標(biāo)軸)之間的夾角來描述．做勻速圓周運動的物體的速度方向(圓周的切線方向)時刻在變化，在Δt時間內(nèi)速度方向變化的角度Δφ等于半徑在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度，如做勻速圓周運動的物體在一個周期T內(nèi)半徑轉(zhuǎn)過2π弧度，速度方向變化的角度也是2π弧度．因此，確切描述速度方向變化快慢的，應(yīng)該是角速度．即ω＝eq\f(Δφ,Δt)＝eq\f(2π,T)上式表示了單位時間內(nèi)速度方向變化的角度，即速度方向變化的快慢．角速度相等，速度方向變化的快慢相同．由向心加速度公式an＝ω2r＝eq\f(v2,r)＝vω可知，向心加速度的大小除與角速度有關(guān)外，還與半徑或線速度的大小有關(guān)，從a＝vω看，向心加速度等于線速度與角速度的乘積．圖5－6－4例如：在繞固定軸轉(zhuǎn)動的圓盤上，半徑不同的A、B、C三點，它們有相同的角速度ω，但線速度不同，vA＝rAω，vB＝rBω，vC＝rCω，如圖5－6－4所示．因此它們的速度方向變化快慢是相同的，但向心加速度的大小卻不相等，aA<aB<aC.又如：A、B兩個物體分別沿半徑為rA和rB做圓周運動，rA＝eq\f(1,2)rB，它們的角速度不同，設(shè)ωA＝eq\r(2)ωB，因此它們的線速度的關(guān)系為vA＝eq\f(\r(2),2)vB，顯然，這兩個物體有相同的向心加速度，即aA＝aB.但速度方向變化的快慢卻不同．綜上所述：向心加速度是由于速度方向變化而引起的速度矢量的變化率．速度方向變化是向心加速度存在的前提條件，但向心加速度的大小并不簡單地表示速度方向變化的快慢，確切地說：當(dāng)半徑一定時，向心加速度的大小反映了速度方向變化的快慢，當(dāng)線速度一定時，向心加速度的大小正比于速度方向變化的快慢.一、對向心加速度的理解例1關(guān)于向心加速度，下列說法正確的是()A．向心加速度是描述線速度變化的物理量B．向心加速度只改變線速度的方向，不改變線速度的大小C．向心加速度大小恒定，方向時刻改變D．向心加速度的大小也可用a＝eq\f(vt－v0,t)來計算解析加速度是描述速度變化快慢的物理量，向心加速度是描述線速度方向變化快慢的物理量，因此A錯，B對．只有勻速圓周運動的向心加速度大小恒定，C錯．公式a＝eq\f(vt－v0,t)適用于勻變速運動，圓周運動是變加速運動，D錯．答案B方法總結(jié)深刻理解向心加速度的物理意義是描述速度方向改變快慢的，方向始終指向圓心，所以它是變量.二、對向心加速度的表達式的理解例2如圖5－6－5所示圖5－6－5為質(zhì)點P、Q做勻速圓周運動時向心加速度隨半徑變化的圖線．表示質(zhì)點P的圖線是雙曲線，表示質(zhì)點Q的圖線是過原點的一條直線．由圖線可知()A．質(zhì)點P的線速度大小不變B．質(zhì)點P的角速度大小不變C．質(zhì)點Q的角速度隨半徑變化D．質(zhì)點Q的線速度大小不變解析由an＝eq\f(v2,r)知：v一定時，an∝eq\f(1,r)，即an與r成反比，由an＝rω2知：ω一定時，an∝r.從圖象可知，質(zhì)點P的圖線是雙曲線，即a與r成反比，可得質(zhì)點P的線速度大小是不變的．同理可知：質(zhì)點Q的角速度是不變的．答案A方法總結(jié)由an＝eq\f(v2,r)＝ω2r分析，an究竟與半徑成正比還是成反比，要看清是v一定還是ω一定.三、傳動裝置的向心加速度的計算例3如圖5－6－6所示，O、O1為兩個皮帶輪，O輪的半徑為r，O1輪的半徑為R，且R>r，M點為O輪邊緣上的一點，N點為O1輪上的任意一點，當(dāng)皮帶輪轉(zhuǎn)動時，(設(shè)轉(zhuǎn)動過程中不打滑)則()圖5－6－6A．M點的向心加速度一定大于N點的向心加速度B．M點的向心加速度一定等于N點的向心加速度C．M點的向心加速度可能小于N點的向心加速度D．M點的向心加速度可能等于N點的向心加速度解析因為兩輪的轉(zhuǎn)動是通過皮帶傳動的，又因皮帶在傳動過程中不打滑，故兩輪邊緣各點的線速度大小一定相等，在O1輪邊緣上任取一點Q，因為R>r，所以由an＝eq\f(v2,r)可知，aQ<aM，再比較Q、N兩點的向心加速度大小，因為Q、N是在同一輪上的兩點，所以角速度ω相等，又因為RQ>RN，則由an＝ω2r可知，aQ>aN，綜上可見，aM>aN.選項A正確．答案A方法總結(jié)分析傳動問題關(guān)鍵有兩點：其一是同一輪上的各點角速度相同；其二是皮帶不打滑時，與皮帶接觸的各點線速度相同．再正確的選擇an＝ω2r或an＝eq\f(v2,r)，進行求解.1．關(guān)于質(zhì)點做勻速圓周運動，下列說法正確的是()A．由an＝eq\f(v2,r)知an與r成反比B．由an＝ω2r知an與r成正比C．由ω＝eq\f(v,r)知ω與r成反比D．由ω＝2πn知ω與轉(zhuǎn)速n成正比答案D解析由關(guān)系式y(tǒng)＝kx知，y與x成正比的前提條件是k為定值．只有當(dāng)v一定時，才有an與r成反比；只有當(dāng)ω一定時，才有an與r成正比．2．在勻速圓周運動中，下列物理量中不變的是()A．角速度B．線速度C．向心加速度D．轉(zhuǎn)速答案AD解析線速度和向心加速度都是矢量，方向時刻改變，是變量，故只有A、D正確．3．關(guān)于北京和廣州隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度，下列說法中正確的是()A．它們的方向都是沿半徑指向地心B．它們的方向都在平行于赤道的平面內(nèi)指向地軸C．北京的向心加速度比廣州的向心加速度大D．北京的向心加速度比廣州的向心加速度小答案BD解析如右圖所示，地球表面各點的向心加速度方向都在平行于赤道的平面內(nèi)指向地軸，選項B正確，A錯誤；設(shè)地球半徑為R0，在地面上緯度為φ的P點，做圓周運動的軌道半徑r＝R0cosφ，其向心加速度為an＝ω2r＝ω2R0cosφ.由于北京的地理緯度比廣州的大，cosφ小，兩地隨地球自轉(zhuǎn)的角速度相同，因此北京隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度比廣州的小，選項D正確，選項C錯誤．4．一物體以4m/s的線速度做勻速圓周運動，轉(zhuǎn)動周期為2s，則物體在運動過程中的任一時刻，速度變化率的大小為()A．2m/s2B．4m/s2C答案D5．甲乙兩球均在水平面上做勻速圓周運動，甲球的軌道半徑是乙球軌道半徑的2倍，甲球的轉(zhuǎn)速是30r/min，乙球的轉(zhuǎn)速是15r/min，則兩小球的向心加速度之比為()A．1∶1B．2∶1C答案C解析ω＝2πn，an＝ω2r，故eq\f(a甲,a乙)＝(eq\f(n甲,n乙))2eq\f(r甲,r乙)＝8∶1，C項正確．6．如圖5－6－7所示，圖5－6－7壓路機前后輪半徑之比是1∶3，A、B分別是前后輪邊緣上的點，C為后輪上的一點，它到后輪軸心的距離是后輪半徑的一半．則當(dāng)壓路機運動后三點A、B、C的角速度之比為________，向心加速度之比為________．答案3∶1∶16∶2∶1解析壓路機在地面上行駛，不打滑時，兩輪邊緣的線速度大小相等，這里的地面好像是連接兩輪的皮帶．因壓路機前后輪在相等時間內(nèi)都滾過相同的距離，則前、后輪邊緣上的A、B線速度大小相等，而同一輪上的B、C點具有相同的角速度．根據(jù)vA＝vB，ωB＝ωC和v＝ωr可得ωA∶ωB＝eq\f(vA,rA)∶eq\f(vB,rB)＝eq\f(1,rA)∶eq\f(1,rB)＝3∶1所以ωA∶ωB∶ωC＝3∶1∶1根據(jù)an＝ω2r，可得aA＝ωeq\o\al(2,A)rA，aB＝ωeq\o\al(2,B)rB，aC＝ωeq\o\al(2,C)rC所以aA∶aB∶aC＝(3ωC)2rA∶(ωeq\o\al(2,C)·3rA)∶(ωeq\o\al(2,C)·eq\f(3,2)rA)＝9∶3∶eq\f(3,2)＝6∶2∶1.題型①對向心加速度的認識關(guān)于勻速圓周運動，下列說法正確的是()A．由an＝eq\f(v2,r)知，勻速圓周運動的向心加速度恒定B．向心加速度只改變線速度的方向，不改變線速度的大小C．勻速圓周運動不屬于勻速運動D．向心加速度越大，物體速率變化越快答案BC解析向心加速度是矢量，且方向始終指向圓心，因此為變量，所以A錯；由向心加速度的意義可知B對，D錯；勻速運動是勻速直線運動的簡稱，勻速圓周運動其實是勻速率圓周運動，屬于曲線運動，很顯然C正確．拓展探究下列關(guān)于勻速圓周運動中向心加速度的說法正確的是()A．向心加速度越大，物體速率變化越快B．向心加速度越大，物體速度變化越大C．向心加速度越大，物體速度方向變化越快D．在勻速圓周運動中向心加速度是恒量答案C歸納總結(jié)深刻理解向心加速度的物理意義及矢量性，是做對的前提.題型②向心加速度的表達式的應(yīng)用如圖1所示，圖1一球體繞軸O1O2以角速度ω旋轉(zhuǎn)，A、B為球體上兩點，下列幾種說法中正確的是()A．A、B兩點具有相同的角速度B．A、B兩點具有相同的線速度C．A、B兩點的向心加速度方向都指向球心D．A、B兩點的向心加速度數(shù)值相同答案A解析A、B為球體上兩點，因此，A、B兩點的角速度與球體繞軸O1O2旋轉(zhuǎn)的角速度相同，A對；如右圖所示，A以P為圓心做圓周運動，B以Q為圓心做圓周運動，因此，A、B兩點的向心加速度方向分別指向P、Q，C錯；設(shè)球的半徑為R，則A運動的軌道半徑rA＝Rsin60°，B運動的軌道半徑rB＝Rsin30°，eq\f(vA,vB)＝eq\f(ωrA,ωrB)＝eq\f(sin60°,sin30°)＝eq\r(3)，B錯；eq\f(aA,aB)＝eq\f(ω2rA,ω2rB)＝eq\r(3)，D錯．拓展探究關(guān)于勻速圓周運動的向心加速度，下列說法中正確的是()A．由于an＝eq\f(v2,r)，所以線速度大的物體向心加速度大B．由于an＝eq\f(v2,r)，所以旋轉(zhuǎn)半徑大的物體向心加速度小C．由于an＝ω2r，所以角速度大的物體向心加速度大D．以上結(jié)論都不正確答案D歸納總結(jié)分析此類問題，要理解線速度、角速度、向心加速度的概念和定義式及v、ω、an、r之間的關(guān)系，并能正確選擇關(guān)系式.題型③傳動裝置的向心加速度的計算如圖2所示，圖2O1為皮帶傳動的主動輪的軸心，輪半徑為r1，O2為從動輪的軸心，輪半徑為r2，r3為固定在從動輪上的小輪半徑．已知r2＝2r1，r3＝、B、C分別是三個輪邊緣上的點，則質(zhì)點A、B、C的向心加速度之比是(假設(shè)皮帶不打滑)()A．1∶2∶3B．2∶4∶3C．8∶4∶3D．3∶6∶2答案C解析因為皮帶不打滑，A點與B點的線速度大小相同，都等于皮帶運動的速率．根據(jù)向心加速度公式an＝eq\f(v2,r)，可得aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1.由于B、C是固定在同一個輪上的兩點，所以它們的角速度相同．根據(jù)向心加速度公式an＝rω2，可得aB∶aC＝r2∶r3＝2∶.由此得aA∶aB∶aC＝8∶4∶3，故選C.歸納總結(jié)討論圓周運動的向心加速度與線速度、角速度、半徑的關(guān)系，可以分為兩類問題：(1)皮帶傳動問題，兩輪邊緣線速度相等，常選擇公式an＝eq\f(v2,r).(2)同軸轉(zhuǎn)動問題，各點角速度相等，常選擇公式an＝ω2r.1.勻速圓周運動的向心加速度()A．總是指向圓心且大小不變B．總是跟速度的方向垂直，方向時刻在改變C．與線速度成正比D．與角速度成正比答案AB2．關(guān)于做勻速圓周運動物體的向心加速度方向，下列說法正確的是()A．與線速度方向始終相同B．與線速度方向始終相反C．始終指向圓心D．始終保持不變答案C3．一小球被細線拴著做勻速圓周運動，其半徑為R，向心加速度為an，則()A．小球相對于圓心的位移不變B．小球的線速度為eq\r(Ran)C．小球在時間t內(nèi)通過的路程x＝eq\r(\f(an,Rt))D．小球做圓周運動的周期T＝2πeq\r(\f(R,an))答案BD解析小球做勻速圓周運動，各時刻相對圓心的位移大小不變，但方向時刻在變．由an＝eq\f(v2,r)得v2＝Ran，所以v＝eq\r(Ran)在時間t內(nèi)通過的路程x＝vt＝teq\r(Ran)做圓周運動的周期T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2πR,v)＝eq\f(2πR,\r(Ran))＝2πeq\r(\f(R,an))4．做勻速圓周運動的兩物體甲和乙，它們的向心加速度分別為a1和a2，且a1>a2，下列判斷正確的是()A．甲的線速度大于乙的線速度B．甲的角速度比乙的角速