分?jǐn)?shù)的拆分問題講義

..分?jǐn)?shù)的根本性質(zhì)例1、分?jǐn)?shù)EQ\F(3,8)的分子加上9，要使分?jǐn)?shù)值不變，分母要擴(kuò)大多少倍？分析：EQ\F(3,8)=EQ\F(3+9,8+〔〕)，分子增加3倍，說明分子擴(kuò)大了4倍，分母也要增加3倍或擴(kuò)大4倍。拓展：分?jǐn)?shù)的分子加上8，要使分?jǐn)?shù)值不變，分母要擴(kuò)大多少倍？例2、分?jǐn)?shù)EQ\F(4,7)的分子和分母都加上一個數(shù)，得到的新分?jǐn)?shù)化簡以后是EQ\F(3,4)，求分子和分母都加上的這個數(shù)是幾？分析：方法一試一試：將EQ\F(3,4)的分子、分母同時擴(kuò)大一樣的倍數(shù)EQ\F(3,4)=EQ\F(6,8)=\F(9,12)=\F(12,16)=\F(15,20)用這些分?jǐn)?shù)的分子、分母與EQ\F(4,7)的分子、分母相減，結(jié)果一樣的就是。方法二先觀察下面的幾組等式：EQ\F(2,3)=\F(4,6)EQ\F(3,5)=\F(9,15)EQ\F(4,3)=\F(16,12)穿插相乘可以發(fā)現(xiàn)3×4=2×65×9=3×154×12=3×16，因此我們得出這樣一個結(jié)論，當(dāng)EQ\F(a,b)=\F(d,c)時，a×c=b×d。解：設(shè)分子和分母都加上的這個數(shù)為x，根據(jù)題意可得：EQ\F(4+x,7+x)=\F(3,4)(4+x)×4=(7+x)×316+4x=21+3xX=21-16X=5方法三：【利用分母與分子差不變】拓展：分?jǐn)?shù)的分子和分母都加上一個數(shù)，得到的新分?jǐn)?shù)化簡以后是，求分子和分母都加上的這個數(shù)是幾？原來相差30加同樣的數(shù)還是相差30但新數(shù)相差為5，必須5×6=30例3：一個分?jǐn)?shù)，分子比分母大20，如果分子減去6，得到新分?jǐn)?shù)約分后等于，求原分?jǐn)?shù)。方法：【利用分母與分子差不變】例4、一個分?jǐn)?shù)，如果分子加上1，就變成EQ\F(3,4)，如果分子減去1，就變成EQ\F(1,2)，那么原來的分?jǐn)?shù)是多少？方法一、將分子，分母數(shù)字較大的采用"等值放大〞看分子減2倍可以不可以變成1/2方法二、通分拓展：一個分?jǐn)?shù)，如果分子加上1，分母減去1，就變成EQ\F(4,5)，如果分子減去1，分母加上1，就變成EQ\F(1,2)，那么原來的分?jǐn)?shù)是多少？將分子，分母數(shù)字較大的采用"等值放大〞將分子，分母數(shù)字較小的數(shù)，變成分子比第一個數(shù)小2，分母比第一個數(shù)大2方程法：一個分?jǐn)?shù)，如果分母減去2，就變成EQ\F(2,3)，如果分母加上5，就變成EQ\F(3,8)，那么原來的分?jǐn)?shù)是多少？方法一、等值放大兩數(shù)分母相差7方法二、通子一個分?jǐn)?shù)，如果分母減去4，就變成1，如果分子減去2，就變成EQ\F(3,5)，那么原來的分?jǐn)?shù)是多少？將分子，分母數(shù)字較大的采用"等值放大〞將分子，分母數(shù)字較小的數(shù)，變成分子比第一個數(shù)大2，分母比第一個數(shù)小4例5、一個分?jǐn)?shù)，分子分母的和是122，如果分子分母都減去19，得到是新分?jǐn)?shù)化簡后是EQ\F(1,5)，求原來的分?jǐn)?shù)是多少？利用和變拓展：分?jǐn)?shù)的分子減去某數(shù)，而分母同時加上這個數(shù)后，所得的新分?jǐn)?shù)化簡后為，求某數(shù)是多少？利用和不變例6一個分?jǐn)?shù)，如果分子加上16，分母減去166，那么約分后是，如果分子加上124，分母加上340，那么約分后是。求原分?jǐn)?shù)是多少？用方程組分?jǐn)?shù)的拆分問題一、分?jǐn)?shù)拆分的初步知識拆分主要有以下幾個步驟：叫做擴(kuò)分。注意：為什么要乘以5？因?yàn)?正好是分母6的兩個質(zhì)因數(shù)的和。③把分子拆成分母的兩個質(zhì)因數(shù)的和，再拆成兩個分?jǐn)?shù)的和。即：④把拆開后的兩個分?jǐn)?shù)約分，化成最簡分?jǐn)?shù)。例1

填空：事實(shí)上，我們把分母分解質(zhì)因數(shù)后，可以得到這個分母的不同的約數(shù)，只要把分子、分母都乘以這個分母的任意兩個約數(shù)的和，就可以把一個分?jǐn)?shù)拆成兩個分?jǐn)?shù)的和。解：18分解質(zhì)因數(shù)后共有六個約數(shù)：1、2、3、6、9、18，取不同的兩個約數(shù)的和，可以得到不同的解。如：可以看出，由于每次所選用的兩個約數(shù)不同，所得的解也不一樣。但是中選用的四個約數(shù)成比例時，它們的解就一樣。如：選用1和2，3和6，9和18；或選用2和3；6和9時，解就一樣。二、把一個分?jǐn)?shù)拆成幾個分?jǐn)?shù)的和以上拆分的方法同樣也適用于把一個分?jǐn)?shù)拆成三個或三個以上分?jǐn)?shù)的和。解：18的約數(shù)有1、2、3、6、9、18?？梢匀我馊∑渲腥齻€約數(shù)，得到不同的解?！鸢覆恢灰环N。三、把一個分?jǐn)?shù)拆成兩個分?jǐn)?shù)的差能不能把一個分?jǐn)?shù)拆成兩個分?jǐn)?shù)差的形式呢？觀察下面的分?jǐn)?shù)運(yùn)算，看左右兩邊有什么關(guān)系。觀察下面幾個分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，左右兩邊有什么關(guān)系。以上每個分?jǐn)?shù)的分子d都是分母中兩個因數(shù)的差。當(dāng)n、n+d，都是自然當(dāng)d=1時，公式〔2〕那么轉(zhuǎn)化為公式〔1〕。利用公式〔2〕可以把一些分?jǐn)?shù)拆成兩個分?jǐn)?shù)差的形式。例5把下面各分?jǐn)?shù)寫成兩個分?jǐn)?shù)差的形式。觀察下面等式，左右兩邊有什么關(guān)系。通過上面算式，可以得出這樣的結(jié)論：由此可知，一個分?jǐn)?shù)可以根據(jù)需要拆成兩個或假設(shè)干個分?jǐn)?shù)的和或兩個分?jǐn)?shù)的差的形式。四、拆分方法在分?jǐn)?shù)加法運(yùn)算中的應(yīng)用例6

計(jì)算：解：由公式〔2〕解：由公式〔3〕例9計(jì)算：解：由等差數(shù)列求和公式由此，此題中的各個分?jǐn)?shù)可以拆分為：因此，此題解法如下：例11

計(jì)算解：根據(jù)公式〔4〕解：先把同分母的分?jǐn)?shù)相加，看看有什么規(guī)律。上面三個算式說明，分母是2、3、4的如上面這樣的算式，它們的和分別是2、3、4。由此可以推出，分母為K的如上面的算式，所有的分?jǐn)?shù)的和等于K。所以，原式=2+3+4=9例13

計(jì)算解：可以利用例12所得出的結(jié)論以及等差數(shù)列求和公式進(jìn)展計(jì)算。原式=1