2021年中考數(shù)學(xué)第三輪壓軸題沖刺復(fù)習(xí)：二次函數(shù) 綜合練習(xí)題（含答案）

2021年中考數(shù)學(xué)第三輪壓軸題沖刺專(zhuān)題復(fù)習(xí)：二次函數(shù)綜合練習(xí)題

1、如圖，已知拋物線(xiàn)^=依2過(guò)點(diǎn)A(-3,2).

4

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)已知直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)A,0)且與拋物線(xiàn)交于另一點(diǎn)3,與y軸交于點(diǎn)C,

求證：MC2=MA.MB;

(3)若點(diǎn)P,。分別是拋物線(xiàn)與直線(xiàn)/上的動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)C為一邊且頂點(diǎn)為O,C,

P,。的四邊形是平行四邊形，求所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo).

2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn),=62+公-2交x軸于A,B兩點(diǎn)，交

y軸于點(diǎn)C,且。A=2OC=8。8.點(diǎn)尸是第三象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn).

(1)求此拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

(2)若PC//AB,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)連接AC,求AE4c面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

3、如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx-1■與x軸交于A(1,0)、B(6,0)兩點(diǎn)，D是y軸

上一點(diǎn)，連接DA,延長(zhǎng)DA交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E.

(1)求此拋物線(xiàn)的解析式；

(2)若E點(diǎn)在第一象限，過(guò)點(diǎn)E作EF±x軸于點(diǎn)F,AADO與4AEF的面積比為

也些=工，求出點(diǎn)E的坐標(biāo);

2AAEF§

(3)若D是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作與x軸平行的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于M、N兩點(diǎn)，

是否存在點(diǎn)D,使DA2=DM?DN?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

4、已知拋物線(xiàn)y=-Lx2-^x的圖象如圖所示：

22

(1)將該拋物線(xiàn)向上平移2個(gè)單位，分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,

則平移后的解析式為—.

(2)判斷aABC的形狀，并說(shuō)明理由.

(3)在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P,使得以A、C、P為頂點(diǎn)的三角形是等

腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

5、如圖,拋物線(xiàn)y=ax2+bx-5與坐標(biāo)軸交于A(-1,0),B(5,0),C(0,-5)

三點(diǎn)，頂點(diǎn)為D.

(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)連接BC與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)P為線(xiàn)段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P

不與B、C兩點(diǎn)重合)，過(guò)點(diǎn)P作PF〃DE交拋物線(xiàn)于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

①是否存在點(diǎn)P,使四邊形PEDF為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若

不存在，說(shuō)明理由.

②過(guò)點(diǎn)F作FHLBC于點(diǎn)H,求APFH周長(zhǎng)的最大值.

6、如圖，已知拋物線(xiàn)丁=加+樂(lè)+。("0)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)％=—1,且拋物線(xiàn)與工

軸交于A、8兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，其中A(1,O),C(0,3).

(1)若直線(xiàn)＞=儂+〃經(jīng)過(guò)8、C兩點(diǎn)，求直線(xiàn)8C和拋物線(xiàn)的解析式;

(2)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x=T上找一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距

離之和最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)設(shè)點(diǎn)P為拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x=-l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使ABPC為直角三角形

的點(diǎn)P的坐標(biāo).

7、如圖，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為4人-1），與y軸交于點(diǎn)3（0,-：）,點(diǎn)F（2,l）為其對(duì)稱(chēng)軸

上的一個(gè)定點(diǎn).

（1）求這條拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式；

（2）已知直線(xiàn)/是過(guò)點(diǎn)C（0,-3）且垂直于y軸的定直線(xiàn)，若拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)

PG%”）到直線(xiàn)/的距離為d,求證：PF=d;

（3）已知坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)54,3）,請(qǐng)?jiān)趻佄锞€(xiàn)上找一點(diǎn)Q,使\DFQ的周長(zhǎng)最小,

并求此時(shí)△〃尸。周長(zhǎng)的最小值及點(diǎn)Q的坐標(biāo).

8、如圖，直線(xiàn)y=-3x+3與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)y=-x?+bx+c

與直線(xiàn)y=c分別交y軸的正半軸于點(diǎn)C和第一象限的點(diǎn)P,連接PB,得4PCB之

△BOA（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若拋物線(xiàn)與x軸正半軸交點(diǎn)為點(diǎn)F,設(shè)M是點(diǎn)C,F間

拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），其橫坐標(biāo)為m.

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)和拋物線(xiàn)的解析式；

（2）當(dāng)m為何值時(shí)，^MAB面積S取得最小值和最大值？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）求滿(mǎn)足NMP0=NP0A的點(diǎn)M的坐標(biāo).

備用圖

9、如圖，已知拋物線(xiàn)y=ax2+>|x+4的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=3,且與x軸相交于A,B

兩點(diǎn)（B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)）與y軸交于C點(diǎn).

（1）求拋物線(xiàn)的解折式和A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上B、C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），則是否

存在一點(diǎn)P,使4PBC的面積最大.若存在，請(qǐng)求出4PBC的最大面積；若不存

在，試說(shuō)明理由；

（3）若M是拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線(xiàn)，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)N,

10、在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+ax+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0,2）和點(diǎn)D

3

（4,-2）.點(diǎn)E是直線(xiàn)y=-Lx+2與二次函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn).

3

（1）求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)E的坐標(biāo).

（2）如圖①，若點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且在直線(xiàn)CE的上方，連接MC,

OE,ME.求四邊形COEM面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

（3）如圖②，經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓交y軸于點(diǎn)F,求點(diǎn)F的坐標(biāo).

圖②

11、如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于人(-1,0),B(3,0)

兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C(0,-3).

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，PH，x軸于點(diǎn)H,與

BC交于點(diǎn)M,連接PC.

①求線(xiàn)段PM的最大值；

②當(dāng)△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且垂直于x軸的直線(xiàn)與直線(xiàn)8c及x軸

分別交于點(diǎn)D、M.PN工BC,垂足為N.設(shè)M(〃T,O).

①點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，若P、D、M三點(diǎn)中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線(xiàn)段的中

點(diǎn)(三點(diǎn)重合除外).請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的m的值；

②當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)下方的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在一點(diǎn)P,使△PNC與

△AOC相似.若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

13、綜合與探究

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=#+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-4,0),點(diǎn)M為拋物

線(xiàn)的頂點(diǎn)，點(diǎn)8在y軸上，且。4=。8,直線(xiàn)A3與拋物線(xiàn)在第一象限交于點(diǎn)

C(2,6),如圖①.

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)直線(xiàn)4?的函數(shù)解析式為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為,cosZABO=；

連接OC,若過(guò)點(diǎn)。的直線(xiàn)交線(xiàn)段AC于點(diǎn)P,將△AOC的面積分成1：2的

兩部分，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為—；

(3)在y軸上找一點(diǎn)Q,使得△4W。的周長(zhǎng)最小.具體作法如圖②，作點(diǎn)A

關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連接MA交y軸于點(diǎn)Q,連接AM.AQ,此時(shí)△AM0

的周長(zhǎng)最小.請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(4)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使以點(diǎn)A、0、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平

行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

14、如圖，二次函數(shù)y=/+bx+3的圖像與y軸交于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行

線(xiàn)交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)5,拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)0(1,0),且頂點(diǎn)為。，連接AC、BC、BD、

CD.

(1)填空：b=；

(2)點(diǎn)尸是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)大于1,直線(xiàn)PC交直線(xiàn)8。于點(diǎn)若

ZCQD=ZACB,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)E在直線(xiàn)AC上，點(diǎn)E關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為產(chǎn)，點(diǎn)F關(guān)于直線(xiàn)8c對(duì)

稱(chēng)的點(diǎn)為G,連接AG.當(dāng)點(diǎn)尸在x軸上時(shí)，直接寫(xiě)出AG的長(zhǎng).

參考答案

2021年中考數(shù)學(xué)第三輪壓軸題沖刺專(zhuān)題復(fù)習(xí)：二次函數(shù)綜合練習(xí)題

1、如圖，已知拋物線(xiàn)卜=火2過(guò)點(diǎn)A(-3,2).

4

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)已知直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)A,M(|,0)且與拋物線(xiàn)交于另一點(diǎn)3,與y軸交于點(diǎn)C,

求證：MC2=MA.MB；

(3)若點(diǎn)P,。分別是拋物線(xiàn)與直線(xiàn)/上的動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)C為一邊且頂點(diǎn)為O,C,

P,。的四邊形是平行四邊形，求所有符合條件的尸點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：（1）把點(diǎn)A（-3,2）代入卜=依2,

4

得到2=9a,

4

1

a,

4

???拋物線(xiàn)的解析式為

4

-=-3k+b

（2）設(shè)直線(xiàn)/的解析式為y="+〃，則有4

O=-k+b

2

k=--

解得2

b7=—3

4

直線(xiàn)/的解析式為y=-gx+；,

令x=0,得到y(tǒng)

3

.*.C(0,-),

4

y=x=\x=-3

4

由＜解得1或9

y=

5（i,一）,

4

如圖1中，過(guò)點(diǎn)A作軸于4，過(guò)8作網(wǎng)_Lx軸于耳,則陰〃0C//A4,,

圖1

3

BMMB,_2-_1MC_MO_2_1

MC-MO~~3--3而=福=g_（_3）=§

2

.BMMC

l,MC~MAf

BPMC2=MA?MB.

圖2

???OC為一邊且頂點(diǎn)為O,C,P。的四邊形是平行四邊形,

.\PD//OC9PD=OC,

。（兀--1H—）,

24

,113、I3

?匕/2一（z一三十二*;，

4244

整理得：產(chǎn)+2r-6=0或r+21=0,

解得/=一1-我或T=V7或一2或0（舍棄）,

.?.尸（-1-77,2+'）或（-1+V7,2-與或（一2,1）.

2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn),=辦2+-一2交工軸于A,8兩點(diǎn)，交

y軸于點(diǎn)C,且。4=2OC=8OB.點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn).

(1)求此拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

(2)若PCHAB,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)連接AC,求AftAC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

解：⑴由y=可得點(diǎn)。(0,-2),即OC=2.

(1、

VOA=2OC=SOB,二4-4,0),B—,0.

7

把A,8兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=o?+法一2,解得a=I,b=：,

???拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=/+；7x—2.

(2)PCIIAB,C(0,—2),.?.點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為一2,

7

??-2=x~H—x-2.

2

7

解得西二一鼻，兀2=。(舍).

(3)設(shè)直線(xiàn)AC的表達(dá)式為了=履-2(女工0),

把A(-4,0)代入可得％=-;，

直線(xiàn)AC的表達(dá)式為y=--^x-2.

過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線(xiàn)，垂足為O,交線(xiàn)段AC于點(diǎn)E；

過(guò)點(diǎn)C作CMLPE,M為垂足.

設(shè)點(diǎn)尸［加,〃/+g加一2)(—4＜加＜0),則點(diǎn)￡

PE-PD-ED=-fm2+—m-2—f—m+2--m2-4/n.

(2J(2J

PACZPE刖H—

**?^i\XiZiV=S4V1\I￡>+SLAICEvC=2—PE,AD2PE,MC—2—PE,AO

=-x^-m2-4m)x4=-2m2一8m=-2(m+2)2+8

當(dāng)m=—2時(shí),S/SPAC最大=8?

77

7722+—m-2=(-2)2+—x(-2)-2=-5

22

故點(diǎn)尸(—2,—5).

3、如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx-1■與x軸交于A(1,0)、B(6,0)兩點(diǎn)，D是y軸

上一點(diǎn)，連接DA,延長(zhǎng)DA交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E.

(1)求此拋物線(xiàn)的解析式；

(2)若E點(diǎn)在第一象限，過(guò)點(diǎn)E作EF±x軸于點(diǎn)F,AAD0與AAEF的面積比為

也獨(dú)=工，求出點(diǎn)E的坐標(biāo);

5△AEF9

(3)若D是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作與x軸平行的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于M、N兩點(diǎn)，

是否存在點(diǎn)D,使DA2=DM?DN?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

【解答】解：(1)將A(1,0),B(6,0)代入函數(shù)解析式，得

9

a+b--=0

9

36a+6b號(hào)二0

3

4

解得

拋物線(xiàn)的解析式為y=-Wx2+@x-1；

44

(2),.,EF_Lx軸于點(diǎn)F,

ZAFE=90°.

VZAOD=ZAFE=90°,NOAD=/FAE,

/.△AOD^AAFE.

??SAAD0_AO_1

?--------------------，

^AAEF葩9

VAO=1,

，AF=3,OF=3+1=4,

當(dāng)x=4時(shí)，y=-上X42+9X4-2=2,

4422

；.E點(diǎn)坐標(biāo)是(4,2),

(3)存在點(diǎn)D,使DA2=DM?DN,理由如下:

設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,n),

AD2=l+n2,

當(dāng)y=n時(shí)，-工x2+&x-2=n

44

化簡(jiǎn)，得

-3X2+21X-18-4n=0,

設(shè)方程的兩根為Xi，X2,

DM=Xi，DN=X2,

DA2=DM*DN,gpl+M=18+4n,

化簡(jiǎn)，得

3n2-4n-15=0,

解得ni="，ri2=3,

3

.?.D點(diǎn)坐標(biāo)為（0,一至）或（0,3）.

3

4、已知拋物線(xiàn)y=-1x2-Wx的圖象如圖所示：

22

（1）將該拋物線(xiàn)向上平移2個(gè)單位，分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,

則平移后的解析式為Y=-1X2-Wx+2.

22_

（2）判斷^ABC的形狀，并說(shuō)明理由.

（3）在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P,使得以A、C、P為頂點(diǎn)的三角形是等

腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

故答案為：y=--x2--^-x+2；

22

當(dāng)時(shí)，2解得即

(2)y=0-lx-Wx+2=0,xi=-4,x2=l,B(-4,0),A(1,

22

0).

當(dāng)x=0時(shí)，y=2,即C(0,2).

AB=1-(-4)=5,AB2=25,

AC2=(1-0)2+(0-2)2=5,BC2=(-4-0)2+(0-2)2=20,

VAC2+BC2=AB2,

??.△ABC是直角三角形；

(3)y=--x2--x+2的對(duì)稱(chēng)軸是x=--,設(shè)P(-W,n),

2222

AP2=(1+為)2+n2=Jl+M,CP2=2+(2-n)2,AC2=l2+22=5

244

當(dāng)AP=AC時(shí)，AP2=AC2,空+/=5,方程無(wú)解;

4

當(dāng)AP=CP時(shí),AP2=CP2,空+M=2+(2-n)2,解得n=0,即Pi(-2,0),

442

當(dāng)AC=CP時(shí)AC2=CP2,旦+(2-n)2=5,解得m=2+^S,n2=2-^2,p2(-2,

_4222

2+2/H),P3(一旦，2-且1).

222

綜上所述：使得以A、C、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)（（

0),(-之，2+^11),(-空,2-叵)

2222

5、如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx-5與坐標(biāo)軸交于A(-1,0),B(5,0),C(0,-5)

三點(diǎn)，頂點(diǎn)為D.

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）連接BC與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)P為線(xiàn)段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P

不與B、C兩點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)P作PF〃DE交拋物線(xiàn)于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

①是否存在點(diǎn)P，使四邊形PEDF為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若

不存在，說(shuō)明理由.

②過(guò)點(diǎn)F作FHJ_BC于點(diǎn)H,求4PFH周長(zhǎng)的最大值.

【解答】解：(1)把A(-1,0),B(5,0)代入拋物線(xiàn)y=ax?+bx-5

0-a-b-5

。二25a+5b-5

解得

/.y=x~-4x-5

，頂點(diǎn)坐標(biāo)為D(2,-9)

(2)①存在

設(shè)直線(xiàn)BC的函數(shù)解析式為y=kx+b(kWO)

把B(5,0),C(0,-5)代入得

ABC解析式為y=x-5

當(dāng)x=m時(shí)，y=m-5

.?.P(m,m-5)

當(dāng)x=2時(shí)，y=2-5=-3

AE(2.-3)

；PF〃DE〃y軸

.?.點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m

當(dāng)x=m時(shí),y=m2-4m-5

.'.F(m,m'-4m-5)

PF=(m-5)-(m2-4m-5)=-m2+5m

VE(2,-3),D(2,-9)

/.DE=-3-(-9)=6

如圖，連接DF

VPF/7DE

...當(dāng)PF=DE時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形

即-m2+5m=6

解得mi=3,m,=2(舍去)

當(dāng)m=3時(shí)，y=3-5=2

此時(shí)P(3,-2)

...存在點(diǎn)P(3,-2)使四邊形PEDF為平行四邊形.

②由題意

在RtZXBOC中,OB=OC=5

，BC=5后

CABOC=10+5A/2

；PF〃DE〃y軸

.,.ZFPE=ZDEC=ZOCB

VFH±BC

/.ZFHP=ZB0C=90°

.,.△PFH^ABCO

.CAPFH_PF

,△BCOBC

-

艮口CAPI：H=^(-m^+5m)=(V2+1)(m^+5in)

W2

V0<m<5

當(dāng)m=-一時(shí)，APFH周長(zhǎng)的最大值為空空空

2X(-1)24

6、如圖，已知拋物線(xiàn)？=依2+以+°(。h0)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)》=一1,且拋物線(xiàn)與x

軸交于A、8兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，其中A(l,0),C(0,3).

(1)若直線(xiàn)丁=如+〃經(jīng)過(guò)8、C兩點(diǎn)，求直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的解析式;

(2)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x=T上找一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)。的距

離之和最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)設(shè)點(diǎn)P為拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x=-l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使ABPC為直角三角形

的點(diǎn)P的坐標(biāo).

b一、

-----------——1

2aa=-1

26.解：(1)依題意得：，Q+Z?+c=0,解之得：,b=-2,

c=3c=3

/.拋物線(xiàn)的解析式為y=-x2-2x+3.

??,對(duì)稱(chēng)軸為x=T,且拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A(l,0),

二把5(—3,0)、C(0,3)分別代入直線(xiàn)y=mx+n,

得尸"+"=°，解之得：『一

n=31〃=3

...直線(xiàn)>=〃吠+〃的解析式為y=x+3.

(2)直線(xiàn)BC與對(duì)稱(chēng)軸x=T的交點(diǎn)為M,則此時(shí)M4+MC的值最小，把x=-l

代入直線(xiàn)y=x+3得y=2,

....即當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小時(shí)M的坐標(biāo)為

(-1,2).

(注：本題只求M坐標(biāo)沒(méi)說(shuō)要證明為何此時(shí)M4+MC的值最小，所以答案沒(méi)證

明M4+MC的值最小的原因).

(3)設(shè)又例—3,0),C(0,3),

二8。2=18,PB2=(—1+3>+產(chǎn)=4+產(chǎn)，PC2=(-l)2+(f-3)2=r2-6^+10,

①若點(diǎn)8為直角頂點(diǎn)，則BC'PB'PC?即：18+4+/=/_6/+10解之得：

t=-2,

②若點(diǎn)。為直角頂點(diǎn)，則8。2+?。2=依2即：18+產(chǎn)一67+10=4+產(chǎn)解之得：f=4,

③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則P82+PC2=5C2即：4+產(chǎn)+產(chǎn)―6，+10=18解之得:

3+V173-V17

4=----2---，,22=----2----

綜上所述P的坐標(biāo)為(-1,-2)或(-1,4)或(-1,三普)或(-1,三普).

7、如圖，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為與y軸交于點(diǎn)5(0,-g),點(diǎn)尸(2,1)為其對(duì)稱(chēng)軸

上的一個(gè)定點(diǎn).

(1)求這條拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式；

(2)已知直線(xiàn)/是過(guò)點(diǎn)CQ-3)且垂直于y軸的定直線(xiàn)，若拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)

P("2)到直線(xiàn)/的距離為d,求證：PF=d；

(3)已知坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)。(4,3),請(qǐng)?jiān)趻佄锞€(xiàn)上找一點(diǎn)Q,使\DFQ的周長(zhǎng)最小，

并求此時(shí)AD尸。周長(zhǎng)的最小值及點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【解答】(1)解：由題意拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)A(2,-l),可以假設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為

y—o(x—2)'—1,

?.?拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)8(0,—5■)，

2

—=4〃-1,

2

「.。=一1,

8

拋物線(xiàn)的解析式為y=J(x-2)2-1.

8

(2)證明：,.?P(九〃),

l。、2]1，11

n=-(zm-2)-1=-m~——m——,

8822

1.11、

——m——),

822

:.d=-nr-—m---(-3)=-/n2~—m+—,

822822

???F(2,l),

PF=J(m-2)2+(-7H2TH---I)2=J-A??4--nr1+—m2~—m+—,

V822V648824

m141372525”141372525

648824648824

:.d2=PF2,

:.PF=d.

(3)如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QH,直線(xiàn)/于H,過(guò)點(diǎn)。作直線(xiàn)/于N.

???△DFQ的周長(zhǎng)=。/+22+尸。，。尸是定值=也2+22=26,

.?.DQ+Q尸的值最小時(shí)，ADR2的周長(zhǎng)最小，

???QF=QH,

/.DQ+DF=DQ+QH,

根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知，當(dāng)。，Q,H共線(xiàn)時(shí)，OQ+Q”的值最小，此時(shí)點(diǎn)〃與N

重合，點(diǎn)Q在線(xiàn)段ON上，

/.OQ+Q”的最小值為6,

.?.她尸。的周長(zhǎng)的最小值為20+6,此時(shí)。(4,-；).

D

O

B

8、如圖，直線(xiàn)y=-3x+3與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)y=-x?+bx+c

與直線(xiàn)y=c分別交y軸的正半軸于點(diǎn)C和第一象限的點(diǎn)P,連接PB,得4PCB之

△BOA（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若拋物線(xiàn)與x軸正半軸交點(diǎn)為點(diǎn)F,設(shè)M是點(diǎn)C,F間

拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），其橫坐標(biāo)為m.

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)和拋物線(xiàn)的解析式；

（2）當(dāng)m為何值時(shí)，AMAB面積S取得最小值和最大值？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）求滿(mǎn)足NMPO=NPOA的點(diǎn)M的坐標(biāo).

【解答】解：（1）當(dāng)y=c時(shí),有c=-x2+bx+c,

解得：xi=0,X2=b,

.,.點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,c）,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（b,c）.

?.?直線(xiàn)y=-3x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),

二點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,3）,

，0B=3,OA=1,BC=c-3,CP=b.

VAPCB^ABOA,

ABC=OA,CP=OB,

b=3,c=4,

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,4),拋物線(xiàn)的解析式為y=-X2+3X+4.

(2)當(dāng)y=0時(shí),有-X2+3X+4=0,

解得：Xl=-1,X2=4,

二點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4,0).

過(guò)點(diǎn)M作ME〃y軸，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)E,如圖1所示.

?點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m(0<mW4),

...點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,-m2+3m+4),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,-3m+3),

/.ME=-m2+3m+4-(-3m+3)=-m2+6m+l,

/.S=—OA*ME=-—rr)2+3m+—=-—(m-3)2+5.

2222

*/--<0,0WmW4,

2

...當(dāng)m=0時(shí)，S取最小值，最小值為工；當(dāng)m=3時(shí)，S取最大值，最大值為5.

2

(3)①當(dāng)點(diǎn)M在線(xiàn)段OP上方時(shí)，?.?CP〃x軸，

，當(dāng)點(diǎn)C、M重合時(shí)，ZMPO=ZPOA,

.?.點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,4)；

②當(dāng)點(diǎn)M在線(xiàn)段OP下方時(shí)，在x正半軸取點(diǎn)D,連接DP,使得DO=DP,此時(shí)

ZDPO=ZPOA.

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(n,0),則DO=n,DP=^n_3)2+(Q_42,

n2=(n-3)2+16,

解得：n=至，

6

二點(diǎn)D的坐標(biāo)為(至，0).

6

設(shè)直線(xiàn)PD的解析式為y=kx+a(kWO),

將P(3,4)、D(空，0)代入y=kx+a,

6

,24

3k+a=4k=-^y

25，解得:

-T-k+a=O100,

6a^T~

，直線(xiàn)PD的解析式為y=-絲x+地.

77

'_24JOO

聯(lián)立直線(xiàn)PD及拋物線(xiàn)的解析式成方程組，得：/〒'7,

y=-x"+3x+4

24

Xj=3x2~

解得:

力=4124,

.?.點(diǎn)M的坐標(biāo)為（毀，124）.

749

綜上所述：滿(mǎn)足NMPO=NPOA的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0,4）或（絲，^24）.

749

9、如圖，已知拋物線(xiàn)y=ax2+>|x+4的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=3,且與x軸相交于A,B

兩點(diǎn)（B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)）與y軸交于C點(diǎn).

（1）求拋物線(xiàn)的解折式和A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上B、C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），則是否

存在一點(diǎn)P,使APBC的面積最大.若存在，請(qǐng)求出APBC的最大面積；若不存

在，試說(shuō)明理由；

（3）若M是拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線(xiàn)，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)N,

當(dāng)MN=3時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo).

【解答】解：(1)?.?拋物線(xiàn)丫=2*2+2*+4的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=3,

2

3_

--i—=3?解得：a=-—,

2a4

二拋物線(xiàn)的解析式為y=-lx2+^-x+4.

42

當(dāng)y=0時(shí),--x2+—x+4=0,

42

解得:xi=-2,X2=8,

，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,0).

(2)當(dāng)x=0時(shí)，y=--x2+—x+4=4,

42

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4).

設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+b(kWO).

將B(8,0)、C(0,4)代入y=kx+b,

/fi1

津+bR,解得：k=?,

1b=4|b=4

直線(xiàn)BC的解析式為y=-lx+4.

假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,-1X2+1X+4),過(guò)點(diǎn)P作PD〃y軸，交直線(xiàn)BC

42

于點(diǎn)D,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,-—x+4),如圖所示.

2

PD=--x2+—x+4-(-—x+4)=--X2+2X,

4224

.-.SAPBC-PD*0B=^X8?(-^-x2+2x)=-x2+8x=-(x-4)2+16.

224

：-l<0,

.?.當(dāng)x=4時(shí)，^PBC的面積最大，最大面積是16.

V0<x<8,

，存在點(diǎn)P,使APBC的面積最大，最大面積是16.

（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m,-Lm2+Sm+4）,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m,-Lm+4）,

422

/.MN=|--m2+—m+4-（-—m+4）|=|--m2+2m|.

4224

又?.?MN=3,

|--m2+2m|=3.

4

當(dāng)0〈m<8時(shí)，有-Lm2+2m-3=0,

4

解得：mi=2,rri2=6,

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,6）或（6,4）；

當(dāng)mVO或m>8時(shí)，有-Lm2+2m+3=0,

4

解得：rri3=4-2-/7>m4=4+2j7，

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4-2沂，沂-1）或（4+2攻，-V7-1）.

綜上所述：M點(diǎn)的坐標(biāo)為（4-2夜，V7-1）,（2,6）、（6,4）或（4+2行，-

斤1）.

10、在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)丫=2*2+1^+<:的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0,2）和點(diǎn)D

（4,-2）.點(diǎn)E是直線(xiàn)y=-^x+2與二次函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn).

3

（1）求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)E的坐標(biāo).

（2）如圖①，若點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且在直線(xiàn)CE的上方，連接MC,

OE,ME.求四邊形COEM面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

（3）如圖②，經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓交y軸于點(diǎn)F,求點(diǎn)F的坐標(biāo).

【解答】解：(1)把C(0,2),D(4,-2)代入二次函數(shù)解析式得:16a+VC=-2,

c=2

解得：a-萬(wàn)，即二次函數(shù)解析式為丫=-&2+"x+2,

1c=233

，1

y=~yx+2

聯(lián)立一次函數(shù)解析式得：。匚，

IT亭+2

消去y得：-—x+2=--x2+—x+2,

333

解得:x=0或x=3,

則E(3,1)；

(2)如圖①，過(guò)M作MH〃y軸，交CE于點(diǎn)H,

設(shè)M(m,--m2+—m+2),貝UH(m,-—m+2),

333

/.MH=(-—m2+—m+2)-(-—m+2)=--m2+2m,

3333

S四邊形COEM=SAOCE+SACME=LX2X3+LMH?3=-m2+3m+3,

22

當(dāng)m=-b=3時(shí)，S最大=21,此時(shí)M坐標(biāo)為(工，3)；

a242

(3)連接BF,如圖②所示，

當(dāng)-2x2+Cx+20=0時(shí)，xi=,X2=,

3344

OB/辿

44

VZACO=ZABF,ZAOC=ZFOB,

.,.△AOC^AFOB,

氏-5

-0A.0C即4__

，，OF-OB，即-51一斤+5'

4

解得：OF=W,

2

11、如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A(-1,0),B(3,0)

兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C(0,-3).

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，PH_Lx軸于點(diǎn)H,與

BC交于點(diǎn)M,連接PC.

①求線(xiàn)段PM的最大值；

②當(dāng)△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解答】解：(1)將A,B,C代入函數(shù)解析式，得

a-b+c=0

<9a+3b+c=0?

c=-3

"a=l

解得b=-2，

c=-3

這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=x2-2x-3；

(2)設(shè)BC的解析是為y=kx+b,

將B,C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

[3k+b=0,

lb=-3'

解得(k=l,

lb=-3

BC的解析是為y=x-3,

設(shè)M(n,n-3),P(n,n2-2n-3),

PM=(n-3)-(n2-2n-3)=-n2+3n=-(n-—)2+—,

24

當(dāng)n=3時(shí)，PM最大二旦；

24

②當(dāng)PM=PC時(shí)，(-n2+3n)2=n2+(n2-2n-3+3)2,

解得(不符合題意，舍)，血二(不符合題意，舍)，3近,

M-2n-3=2-2>/2-3=-2^/2-1，

P(?,-2&-1).

當(dāng)PM=MC時(shí)，(-n2+3n)2=n2+(n-3+3)2,

解得廿0(不符合題意，舍)，n2=-7(不符合題意，舍)，n3=l,

n2-2n-3=1-2-3=-4,

P(1,-4)；

綜上所述：P(1,-4)或~2A/2-1)-

12、如圖，拋物線(xiàn)y=g/+A+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊),

與y軸交于點(diǎn)C.直線(xiàn)y=gx-2經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn).

備用圖

（1）求拋物線(xiàn)的解析式;

(2)點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且垂直于x軸的直線(xiàn)與直線(xiàn)8C及x軸

分別交于點(diǎn)D、M.PNLBC,垂足為N.設(shè)

①點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，若P、D、M三點(diǎn)中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線(xiàn)段的中

點(diǎn)(三點(diǎn)重合除外).請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的m的值；

②當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)BC下方的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在一點(diǎn)P,使△PNC與

△AOC相似.若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【詳解】解：(1)由直線(xiàn)y=；x—2經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)得B(4,0),C(0,-2)

將B、C坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)得

c__2h=—

Q〃Z解得2，

8+4/?+c=0°

i[c--2

i7

，拋物線(xiàn)的解析式為：y=^x2-^x-2；

(2)①：PN_LBC,垂足為N.M(m,0)

1,31

P(m,—~—m—2),D(m,一，九一2),

222

分以下幾種情況：

I13

M是PD的中點(diǎn)時(shí)，MD=PM,BP0-(-m-2)=-m2一一m-2

222

解得叫=-2,網(wǎng)=4(舍去);

ii3

P是MD的中點(diǎn)時(shí)，MD=2MP,即一，”一2=2(-/〃2一一m_2)

222

i3|

D是MP的中點(diǎn)時(shí)，2MD=MP,即一加2一一-2=2(-m-2)

22m2

解得"4=1,生=4（舍去）;

AA(-1,0),B(4,0),C(0,-2)

，AO=1,C0=2,B0=4,

又NAOC=NCOB=90。，

COBO

AAOCSACOB,

：.ZACO=ZABC,

"：與△AOC相似

:.ZACOZPCN,

:.ZABC=ZPCN,

AB//PC,

ia

點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是-2,代入拋物線(xiàn)y=一1x—2,得

—x2--x-2-—2

22

解得：西=。（舍去），無(wú)2=3,

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（3,-2）

13、綜合與探究

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=#+云+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-4,0),點(diǎn)M為拋物

線(xiàn)的頂點(diǎn)，點(diǎn)8在y軸上，且。4=。8,直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)在第一象限交于點(diǎn)

C(2,6),如圖①.

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)直線(xiàn)AB的函數(shù)解析式為y=x+4,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,-2),

cosNABO=」；

連接OC,若過(guò)點(diǎn)0的直線(xiàn)交線(xiàn)段AC于點(diǎn)P,將△AOC的面積分成1：2的

兩部分，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,2)或(0,4)；

(3)在y軸上找一點(diǎn)0,使得△AM。的周長(zhǎng)最小.具體作法如圖②，作點(diǎn)A

關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A,連接M4交y軸于點(diǎn)。，連接AM、AQ,此時(shí)△AM0

的周長(zhǎng)最小.請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(4)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使以點(diǎn)A、0、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平

行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖②

fl

-X16—4b+c=0

【解答】解:(1)將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)表達(dá)式得：《2

工x4+2b+c=6

12

解得｛"；，

故直線(xiàn)AB的表達(dá)式為：產(chǎn)

(2)點(diǎn)A(-4,0),OB=OA=4,故點(diǎn)3(0,4),

由點(diǎn)A、8的坐標(biāo)得，直線(xiàn)AB的表達(dá)式為：y=x+4；

則NABO=45°,故cosNA3O=j；

對(duì)于y=|x2+2x,函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為》=-2,故點(diǎn)M(-2,-2)；

OP將△AOC的面積分成1：2的兩部分，則AP=|AC或|AC,

則關(guān)=1或3即9=4/解得：”=2或%

故點(diǎn)尸(-2,2)或(0,4)；

故答案為:y=x+4；(-2,-2)；y；(-2,2)或(0,4)；

(3)△AMQ的周長(zhǎng)=AM+AQ+MQ=AM+A'M最小，

點(diǎn)A'(4,0),

設(shè)直線(xiàn)4M的表達(dá)式為：y=kx+b,則卜5。?1。,解得

I—2k+b=—2

故直線(xiàn)A'M的表達(dá)式為：

令x=0,則y=-￡故點(diǎn)Q(0,-1);

(4)存在，理由：

設(shè)點(diǎn)N(m,〃)，而點(diǎn)A、C、。的坐標(biāo)分別為(-4,0)、(2,6)、(0,0),

①當(dāng)AC是邊時(shí)，

點(diǎn)A向右平移6個(gè)單位向上平移6個(gè)單位得到點(diǎn)C,同樣點(diǎn)O(N)右平移6

個(gè)單位向上平移6個(gè)單位得到點(diǎn)N(。)，

即0土6=加，0±6=〃，解得：m=n=±6,

故點(diǎn)N(6,6)或(-6,-6)；

②當(dāng)AC是對(duì)角線(xiàn)時(shí)，

由中點(diǎn)公式得：-4+2=M+0,6+0=〃+0,

解得：加=-2,〃=6,

故點(diǎn)N(-2,6)；

綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(6,6)或(-6,-6)或(-2,6).

14、如圖，二次函數(shù)〉=/+法+3的圖像與y軸交于點(diǎn)4,過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行

線(xiàn)交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)8,拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)。(1,0),且頂點(diǎn)為。，連接AC、BC、BD、

CD.

(1)填空：b=；

(2)點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大于1,直線(xiàn)PC交直線(xiàn)8。于點(diǎn)Q.若

NCQD=ZACB,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)E在直線(xiàn)AC上，點(diǎn)E關(guān)