2021年中考數(shù)學(xué)22 正方形

專題22正方形

專題常識回顧

1.正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。

2.正方形的性質(zhì)：

（1）具有平行四邊形、矩形、菱形的統(tǒng)統(tǒng)性質(zhì)：

（2）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等；

（3）正方形的兩條對角線相等，并且彼此垂直平分，每一條對角線平分一組對角；

（4）正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸；

（5）正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，兩條對角線把正方形分成四個全

等的小等腰直角三角形；

（6）正方形的一條對角線上的一點到另一條對角線的兩端點的間隔相等。

3.正方形的判斷

判斷一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：

先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等。即有一組鄰邊相等的矩形是正方形

先證它是菱形，再證有一個角是直角。即有一個角是直角的菱形是正方形。

4.正方形的面積：設(shè)正方形邊長為a,對角線長為b,S正方彩=“2=±

2

專題典型題考法及解析

【例題1】（2021湖南郴州）我國古代數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個

正方形和兩對全等的三角形，如圖所示，已知NA=90。，BD=4,CF=6,則正方形ADOF的邊長是

（）

B

E

A.V2B.2C.V3D.4

【例題2】（2021?四川省涼山州）如圖，正方形ABC。的對角線AC、80訂交于點O,E是OC上一

點，毗鄰EB.過點A作垂足為M,AM與8。訂交于點F.求證:OE=OF.

專題典型練習(xí)題

一、挑選題

1.（2021內(nèi)蒙古包頭）如圖，在正方形A8C。中，AB=\,點E,F分別在邊BC和CO上，AE=AF,

2.（2021湖南張家界）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長為1的正方形O4BC繞點。順

時針旋轉(zhuǎn)45。后得到正方形045G,依此方式，繞點。接連旋轉(zhuǎn)2021次得到正方形

)

c.（一冬一冬D.(0,-1)

3.（2021?四川省廣安市）把邊長分別為1和2的兩個正方形按圖的方式放置.則圖中陰影部分的面積為

(A)-(B)-(C)-(D)-

6354

4.（2021?貴州省銅仁市）如圖，正方形A8CQ中，AB=6,E為A8的中點，將△4￡>￡沿。E翻折得到

△FDE,耽誤EF交于G,FHLBC,垂足為凡毗鄰8F、DG.以下結(jié)論：①BF〃&）;?/\DFG

^△OCG；⑨XFHBsXEAD：④tan/GEB=&；⑤SABFG=2.6；其中對的個數(shù)是（）

3

5.（2021黑龍江省綏化）如圖，在正方形4BCD中，E、尸是對角線AC上的兩個動點，P是正方

形四邊上的隨意率性一點，且AB=4,EF=2,設(shè)A￡=x.當(dāng)△PEF是等腰三角形時，下列關(guān)于P點

個數(shù)的說法中，必然對的是（）

①當(dāng)尤=0（即E、A兩點重合）時，P點有6個

②當(dāng)0<x<4y[2-2時，P點最多有9個

③當(dāng)P點有8個時，x=20-2

④當(dāng)是等邊三角形時，尸點有4個

A.①③B.①④C.②④D.②③

二、填空題

6.（2021湖南邵陽）公元3世紀(jì)初，中國古代數(shù)學(xué)家趙爽注《周髀算經(jīng)》時，創(chuàng)造了“趙爽弦圖''.如圖,

設(shè)勾。=6,弦c=10,則小正方形ABC。的面積是.

7.（2021湖南張家界）如圖：正方形ABCQ的邊長為1,點E,F分別為BC,CQ邊的中點,

毗鄰AE,BF交于點P,毗鄰PD貝han/APZ）=

8.（2021?湖北省隨州市）如圖，已知正方形ABC。的邊長為a,E為8邊上一點（不與端點重合），

將△4OE沿AE對折至△AFE,耽誤EF交邊BC于點G,毗鄰4G,CF.給出下列判斷:

------\D

①/EAG=45。；

②若。E=3,則AG〃CF；

③若E為CD的中點，則4GFC的面積為

④若b=FG,則。a；

⑤BG?DE+AF?GE=aL

其中對的是.（寫出所有正確判斷的序號）

9.（2021福建）如圖，邊長為2的正方形ABCD中間與半徑為2的的圓心重合，E、F分別為AD.

8A的耽誤與。。的交點，則圖中陰影部分的面積是.（成果保留無）

10.（2021?四川省涼山州）如圖，正方形ABCQ中，AB=\2,AE=^AB,點尸在BC上運動（不與B、

4

C重合），過點尸作PQLEP,交CD于點、Q,則CQ的最大值為.

11.（2021?廣東廣州）如圖，正方形A8CZ）的邊長為a,點E在邊AB上運動（不與點A,B重合），

ZDAM=45°,點F在射線AM上，且CF與A。訂交于點G,毗鄰EC,EF,EG,則下

列結(jié)論：

①NEC/=45。；②AAEG的周長為（1+返）a；

2

③BE2+￡>G2=EG2；④的面積的最大值LA

8

其中對的結(jié)論是.（填寫所有正確結(jié)論的序號）

12.（2021?廣西賀州）如圖，正方形ABC。的邊長為4,點E是8的中點，AF平分NBAE交BC于

點F,將△AOE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得△ABG,則CF的長為

D

GBC

13.（2021?山東青島）如圖，在正方形紙片A8C。中，E是CD的中點，將正方形紙片折疊，點B落

在線段AE上的點G處，折痕為AF.若AD=4cm,則CF的長為,

14.（2021江蘇鎮(zhèn)江）將邊長為1的正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)到FECG的位置（如圖），使

得點。落在對角線C尸上，EF與訂交于點“，則”力=.（成果保留根號）

第10題圖

15.（2021遼寧撫順）如圖，在2x6的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，網(wǎng)格中小正

方形的極點叫格點，點A,B.C在格點上，毗鄰BC,則tan/ABC=.

三、解答題

16.（2021湖南湘西州）如圖，在正方形ABCD中，點、E,尸分別在邊CD,上，且AF

=CE.

（1）求證：ZiABF絲△C8E；

（2）若AB=4,AF=1,求四邊形下的面積.

17.(2021海南)如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，點P是邊AD上一點(與點

A,D不重合)，射線PE與BC的耽誤線交于點Q.

(1)求證:Z\PDE絲Z\QCE;

⑵過點E作EF〃BC交PB于點F,毗鄰AF,當(dāng)PB=P(^^①求證:四邊形AFEP是平行四邊形;②請判斷

四邊形AFEP是否為菱形，并說明來由.

18.(2021湖南株洲)如圖所示，已知正方形OEFG的極點。為正方形ABC。對角線AC、80的交

點，毗鄰CE、DG.

(1)求證：△DOG94COE；

(2)若DG±BD,正方形ABCD的邊長為2,線段AD與線段OG訂交于點M,AM=求正方形

2

OEFG的邊長.

19.(2021?湖北省仙桃市)如圖，E,尸分別為正方形A8CZ)的邊CB,0c耽誤線上的點，且BE=

CF,過點E作EG〃BF,交正方形外角的平分線CG于點G,毗鄰GF.求證:

(1)AE±BF；

(2)四邊形BEGF是平行四邊形.

20.（2021?山東泰安）如圖，四邊形A8C/）是正方形，△￡人?是等腰直角三角形，點E在AB上，且

NCEF=90。,FGLAD,垂足為點C.

（1）試判斷AG與FG是否相等？并給出證明；

（2）若點，為C尸的中點，GH與DH垂直嗎？若垂直,給出證明；若不垂直，說明來由.

21.（2021湖北襄陽）