第三章恒定電場

第三章恒定電場第1頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月基本物理量J歐姆定律J的散度E

的旋度基本方程電位邊界條件邊值問題一般解法特殊解（靜電比擬）電導(dǎo)與接地電阻恒定電場的知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖第2頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1.1恒定電場3.1導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場、局外電場1)與靜電場的不同恒定電場也是由電荷引起的。與靜電場有所不同，這些電荷對(duì)觀察者來說是有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的。它們雖在空間有宏觀的運(yùn)動(dòng)，但在導(dǎo)電媒質(zhì)中的分布情況卻是不隨時(shí)間而改變的。也就是場域中各處電流密度的分布是不隨時(shí)間而改變的。2)橫定電場產(chǎn)生的原理電解溶液中存在著一種局外電場，將正電荷從負(fù)極板推向正極板。兩極板間還存在庫侖電場，是有兩極板上的電荷激發(fā)的。當(dāng)局外電場大于庫侖電場，局外電場將從負(fù)極板推移正電荷至正極板。若局外電場等于庫侖電場，則保持平衡。圖3-1a蓄電池內(nèi)的電場第3頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月圖3-1蓄電池內(nèi)的電場導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場1.局外電場強(qiáng)度2.庫侖電場3.恒定電流場：是恒定電場作用在導(dǎo)電媒質(zhì)中所引起的電荷流動(dòng)的物理過程。4.電源的電動(dòng)勢(3-1)（3-2）第4頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月1.體電流密度3.2.2恒定電場的基本物理量——電流密度電流密度是一個(gè)矢量，在各向同性線性導(dǎo)電媒質(zhì)中，它與電場強(qiáng)度方向一致。電流 3.2.1電流強(qiáng)度－概念回顧I是通量,并不反映電流在每一點(diǎn)的流動(dòng)情況。單位時(shí)間內(nèi)通過某一橫截面的電量，簡稱為電流。電荷在某一體積內(nèi)流動(dòng)所形成的電流。3.2導(dǎo)電媒質(zhì)中的電流第5頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月

?

同軸電纜的外導(dǎo)體視為電流線密度分布；?

交變電場的集膚效應(yīng)，即高頻情況下，電流趨於表面分布，可用電流線密度表示。?

媒質(zhì)的磁化，其表面產(chǎn)生磁化電流可用電流線密度表示,如圖示；工程意義：2.面電流密度電荷在一個(gè)幾何曲面上流動(dòng)所形成的電流。電流第6頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月J與E之關(guān)系電流管壓降取一電流管電阻定義恒定電流場與恒定電場相互依存。電流密度與電場E方向一致。電路理論中的歐姆定律由它積分而得，即U=RI3.2.3歐姆定律的微分形式第7頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月導(dǎo)電媒質(zhì)中有電流時(shí)，必伴隨功率損耗?？梢宰C明其功率的體密度為（W/m）3

——焦耳定律的微分形式電路中的焦耳定律，可由它的積分而得，即（W）——焦耳定律的積分形式3.3電源電勢要想在導(dǎo)線中維持恒定電流，必須依靠非靜電力將B極板的正電荷抵抗電場力搬到A極板。這種提供非靜電力將其它形式的能量轉(zhuǎn)為電能裝置稱為電源。恒定電流的形成3.2.4焦?fàn)柖傻奈⒎中问降?頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月圓柱形電容器內(nèi)導(dǎo)體的半徑為R1，外導(dǎo)體的半徑為R2，其間電介質(zhì)并非理想的絕緣介質(zhì)，其電容率為ε，電導(dǎo)率為γ，若于內(nèi)導(dǎo)體至外導(dǎo)體間施以恒定電壓U0。求單位長度上流過介質(zhì)的電流及功率消耗。例3.1解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體上單位長度的電荷為τ介質(zhì)內(nèi)電流密度介質(zhì)單位長度的電流介質(zhì)單位長度消耗的功率第9頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月在恒定電場中散度定理電流連續(xù)性原理：恒定電場是一個(gè)無源場，電流線是連續(xù)的。電荷守恒定律?恒定電場是無源無旋場。2.E的旋度恒定電場是無旋場。斯托克斯定理3.恒定電場（電源外）的基本方程1.J的散度3.3恒定電場的積分形式定理取積分路徑不經(jīng)過電源第10頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4分界面的銜接條件上式說明分界面上電場強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的，電流密度法向分量是連續(xù)的折射定律電流線的折射第11頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月a)兩種媒質(zhì)電導(dǎo)率相差很大由折射定理得，則它表明，只要，電流線垂直于良導(dǎo)體表面穿出，良導(dǎo)體表面近似為等位面。b)具有漏電流的兩非理想介質(zhì)交界面同時(shí)考慮介質(zhì)的導(dǎo)電性和介質(zhì)特性上式說明，媒質(zhì)分界面上一般存在自由電荷，該電荷是建立恒定電流場過程中積累在分界面處的。第12頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月c）媒質(zhì)1是導(dǎo)體，媒質(zhì)2是理想介質(zhì)情況。表明1導(dǎo)體表面是一條電流線。表明2導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面上必有恒定（動(dòng)態(tài)平衡下的）面電荷分布。表明3電場切向分量不為零，導(dǎo)體非等位體，導(dǎo)體表面非等位面。若（理想導(dǎo)體），導(dǎo)體內(nèi)部電場為零，電流分布在導(dǎo)體表面，導(dǎo)體不損耗能量。導(dǎo)體周圍介質(zhì)中的電場載流導(dǎo)體表面的電場第13頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月+τ同軸電纜其內(nèi)導(dǎo)體外半徑為R1，填充有兩種非理想電介質(zhì)，介質(zhì)分界面的半徑為R2，它們的電容率分別為ε1和ε2，電導(dǎo)率分別為γ1和γ2，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為R3。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間加電壓U0，試求兩介質(zhì)中的電場強(qiáng)度及介質(zhì)分界面的自由電荷密度。例3-2解：設(shè)介質(zhì)內(nèi)半徑為R的單位長度的柱面上，流過的電流為I0J1第14頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月分界面銜接條件很多恒定電場問題的解決，都可以歸結(jié)為一定條件下，求出拉普拉斯方程的解答（邊值問題）。無旋無源的場又稱之為調(diào)和場。拉普拉斯方程得常數(shù)由基本方程出發(fā)3.5恒定電場的邊值問題恒定電場中是否存在泊松方程？要考慮局外電場存在的情況。第15頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月圖3-8例3-3圖例3-3

厚度為h=4mm的薄鋼片，其形狀、尺寸、電極位置、電極上的電位如圖3-8所示，若鋼的電導(dǎo)率為5×106S/m，R1=30mm，R2＝60mm，求電極之間的電阻。解通過電位函數(shù)滿足拉普拉斯方程來求解。若選用圓柱坐標(biāo)系，可以看出僅與坐標(biāo)有關(guān)，而與r、z坐標(biāo)無關(guān)，因此所滿足的拉普拉斯方程不含對(duì)r、z的偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，簡化為：由邊界條件時(shí),時(shí)，可確定出待定常數(shù)為:直接積分得:第16頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月通過薄鋼片截面的電流:電流密度為:所以得到電位函數(shù):電場強(qiáng)度為:式中為方向單位矢量。第17頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月因此電極之間的電阻:最后，代入已知數(shù)據(jù)求得數(shù)字解答:課后作業(yè)：P93：3-103-11

第18頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月3.6導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場與靜電場的比擬3.6.1靜電比擬

實(shí)例：一面積為S的平板電容器，如果兩板間電壓為U，就能夠求得其中的電場強(qiáng)度E，電位函數(shù)，電位移矢量D以及極板電荷q的表達(dá)式。圖3-9平板電容器電介質(zhì)中的電場第19頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月

若設(shè)想電容器的極板為良導(dǎo)體，而將上述電容器中的電介質(zhì)，換以電導(dǎo)率γ很小的導(dǎo)電媒質(zhì)，此時(shí)電流密度線可視為與板面垂直，在兩極板間仍然施以電場U，則可求得極板間恒定電場的場量E、、J與I。圖3-9平板電容器電介質(zhì)中的電場第20頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月3.6導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場與靜電場的比擬3.6.2靜電與恒定電場的對(duì)應(yīng)關(guān)系表2兩種場對(duì)應(yīng)物理量表1兩種場所滿足的基本方程和重要關(guān)系式

導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場（電源外）靜電場

兩種場各物理量所滿足的方程一樣，若邊界條件也相同，那么，通過對(duì)一個(gè)場的求解或?qū)嶒?yàn)研究，利用對(duì)應(yīng)量關(guān)系便可得到另一個(gè)場的解。靜電場導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場（電源外）EEDJIq第21頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月?

兩種場的電極形狀、尺寸與相對(duì)位置相同（相擬）;?

相應(yīng)電極的電壓相同;3.6.2靜電比擬的條件?

若兩種場中媒質(zhì)分片均勻，只要分界面具有相似的幾何形狀，且滿足條件時(shí)，則這兩種場在分界面處折射情況仍然一樣，相似關(guān)系仍成立。靜電場便于計(jì)算——用靜電比擬方法計(jì)算恒定電場若為土壤為空氣則。3.6.3靜電比擬的應(yīng)用靜電場第22頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月上兩式中，S為圍繞任一輸電線所作的任意閉合高斯曲面(圓柱側(cè)面)，l為兩線間任意積分路徑。圖3-12兩平行輸電線間的漏電導(dǎo)(3-50)(3-49)又兩平行輸電線間電容C=q/U，故亦有運(yùn)用比擬法求兩導(dǎo)體間的漏電導(dǎo)（或電阻）

圖3-12為兩平行輸電線。求其間漏電導(dǎo)時(shí)，可設(shè)線間電壓為U，線間單位長度的漏電流為I，其漏電導(dǎo)為第23頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月由于兩場相似，則有

(3-51)(3-52)故兩平行輸電線間的漏電導(dǎo)為

式（3-51）具有普遍意義，它可用來求解導(dǎo)體的電阻以及接地體的接地電阻。另外，在場的實(shí)際測量中由于靜電場的測量比較困難，而恒定電場的測量則較為容易，因而亦常常運(yùn)用其相似性，以恒定場來模擬靜電場。第24頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月

例求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為R1、R2，長度為,中間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為，介電常數(shù)為。解法一

直接用電流場的計(jì)算方法設(shè)電導(dǎo)絕緣電阻解法二

靜電比擬法由靜電場解得則根據(jù)關(guān)系式得：同軸電纜電導(dǎo)絕緣電阻同軸電纜橫截面第25頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)需要考慮絕緣介質(zhì)的漏電時(shí)，這一電容器可用等值電路表示，如圖3-13所示。從而得到單位長度上的絕緣電阻利用式（3-51）得：解

由于圓柱形電容器單位長度上的電容為例3-4用靜電比擬法重新計(jì)算例3-1圓柱形電容器的絕緣電阻。圖3-13例3-4圖第26頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.7接地電阻的計(jì)算

接地電阻的計(jì)算方法——理論基礎(chǔ)是鏡像法，考慮大地的影響，采用靜電比擬公式進(jìn)行計(jì)算?！敖拥亍钡母拍睢姎庠O(shè)備和地之間的導(dǎo)體連接。接地裝置由連接導(dǎo)線和埋入地中的接地體（或稱接地電極）組成。通常，接地電阻值愈小愈好。第27頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月一.接地電阻１.安全接地與工作接地的概念和區(qū)別

安全接地：為了保護(hù)人身及設(shè)備安全的接地措施，又稱保護(hù)接地。工作接地：為了保證系統(tǒng)的正常運(yùn)行而采取的接地措施。2.接地電阻的組成第28頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月一.接地電阻接地體電阻土壤電阻土壤接觸電阻第29頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月一.接地電阻１.安全接地與工作接地的概念和區(qū)別

安全接地：為了保護(hù)人身及設(shè)備安全的接地措施，又稱保護(hù)接地。工作接地：為了保證系統(tǒng)的正常運(yùn)行而采取的接地措施。2.接地電阻的組成

接地電阻接地器電阻接地器與土壤之間的接觸電阻土壤電阻（接地電阻以此電阻為主）第30頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月1.深埋球形接地器

解：深埋接地器可不考慮地面影響,其電流場可與無限大區(qū)域的孤立圓球的電流場相似。二.接地電阻計(jì)算

深埋球形接地器解法一：

直接用電流場的計(jì)算方法解法二：

直接采用靜電比擬法IE第31頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月2.直立管形接地器解：考慮地面的影響，可用鏡像法求解。實(shí)際電導(dǎo)：即：

由靜電比擬法得

直立管形接地器靜電場的求解公式

得孤立導(dǎo)體的電容

第32頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月實(shí)際電導(dǎo)：

接地器接地電阻：

3.淺埋半球形接地器解：考慮地面的影響用鏡像法處理。由靜電比擬方法可得：

半球形接地體第33頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月半球型接地極附近地面的電位分布第34頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月三.跨步電壓跨步電壓：當(dāng)電流從接地體流入地中時(shí)，特別在發(fā)生事故的情況下，經(jīng)接地體流入地中的電流很大，此電流將沿地面流動(dòng)而造成地面各點(diǎn)具有較高的電位，此時(shí)人若走在電極附近區(qū)域，則其兩腳將承受一地面電壓UBC，由于此電壓為人跨步時(shí)兩腳所承受之電壓，故稱為跨步電壓。注：當(dāng)跨步電壓超過某一安全電壓值時(shí)，將出現(xiàn)人身傷亡事故！危險(xiǎn)！

當(dāng)單足站立時(shí)會(huì)怎么樣？第35頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月為保護(hù)人畜安全起見（安全電壓U0取36V)在電力系統(tǒng)的接地體附近，要注意危險(xiǎn)區(qū)。相應(yīng)為危險(xiǎn)區(qū)半徑。以淺埋半球接地器為例則x處的電位為：設(shè)人的步長為b，跨步電壓為：四.例題第36頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月半圓柱體的接地電阻圖3-19例3-5圖其對(duì)應(yīng)電阻：長為L直徑2R0的孤立圓柱體的電容為

例3-5如圖接地體為一半圓柱體。L=3m，R0=5cm，

計(jì)算其接地電阻值。解

運(yùn)用鏡象法，將上半空間的空氣換為土壤并補(bǔ)齊另一半圓柱體，則電流密度線仍與地表面重合，它保持了下半場域的邊界條件不變，問題轉(zhuǎn)化為求解無限大均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中的電場，利用靜電比擬法。第37頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月解角形場域的邊界條件為電流密度線沿地表面及陡壁表面，如圖設(shè)置鏡象，可滿